中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为 (a≠0)．2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成 的形式，当 m＞0 时，方程的解为 ；当 m＝0时，方程的解 ；当 m＜0 时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程 变形为 的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程 ，当 时，它的解为 ． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ．△>0 方程有两个不相等的实数根；△＝0 方程有两个相等的实数根；△<0 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释： △≥0 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ，那么 ．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程 和都是分式方程，而关于 的方程 和 都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；　　　(2)解这个整式方程；　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公　　　 　分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题ac4b20cbxax221xx 、acxxabxx2121 ， 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝ ×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：【思路点拨】把二次项系数化为 1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与解析】移项，得二次项系数化为 1，得配方由此可得 ，【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：　　　①把原方程化为 的形式；　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程 x2-7x-1=0．【答案】将方程变形为 x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方 ，得　　　　x2-7x+ =1+ ，所以有 =1+ ．　　　　直接开平方，得 x- = 或 x- =- ．　　　　所以原方程的根为 x= 或 x= ．2．关于 x 的方程kx2+(k +2 )x +k4=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由【思路点拨】判别式大于 0，二次项系数不等于 0.【答案与解析】（1）由△=(k+2)2－4k·k4＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0 ∴k 的取值范围是 k＞－1，且 k≠0（2）不存在符合条件的实数 k理由：设方程 kx2+(k+2)x+k4=0 的两根分别为 x1、x2，由根与系数关系有： x1+x2=−k +2k，x1·x2=14，又1x1+1x2=0=0 则 −k +2k=0 ∴k =−2由（1）知，k =−2时，△＜0，原方程无实解∴不存在符合条件的 k 的值.【总结升华】（1）注意隐含条件 k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出 k 的值，要验证 k 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x的方程 ．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（1）证明:因为△=(m +2)2−4 (2 m−1) =(m−2 )2+4 所以无论m取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以x1+x2=0，根据方程的根与系数的关系得m +2=0，解得m=−2，所以原方程可化为x2− 5=0，解得x1=√5，x2=−√5.类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以 ，得 【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.举一反三：【变式 1】解分式方程： ．【答案】方程两边同乘以 ，得 ． 　 ． ． 　　　 经检验： 是原方程的解，所以原方程的解是 ．【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754关联的位置名称（播放点名称）：例 1（1）】【变式 2】方程x−3x−2+12−x=2的解是x= ．【答案】 .4．若解分式方程 产生增根，则 m 的值是（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值.【答案】D；【解析】由题意得增根是：化简原方程为： 把 代入解得 ，故选择 D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754关联的位置名称（播放点名称）：例 1（2）-例 2】【变式】若关于x的方程x−2x−3=mx−3+2无解，则m的值是 ．【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行 80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行 40 千米，逆流航行 70 千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为 x 千米/小时，水流速度为 y 千米/小时 由题意，得 答：水流速度为 3 千米/小时，船在静水中的速度为 17 千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得： 答：甲班每小时种树 20 棵，乙班每小时种树 22 棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为 x，那么两个月后的销售价格为 625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为 500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为 x． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得 500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%． 答：该产品的成本价平均每月应降低 10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，Ÿ要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到 125 元，Ÿ关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．