中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-01 11:06:30浏览次数:2
中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解(基础)【考纲要求】1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;2. 会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程,叫做一元二次方程.它的一般形式为 (a≠0).2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:把方程变成 的形式,当 m>0 时,方程的解为 ;当 m=0时,方程的解 ;当 m<0 时,方程没有实数解. (2)配方法:通过配方把一元二次方程 变形为 的形式,再利用直接开平方法求得方程的解.(3)公式法:对于一元二次方程 ,当 时,它的解为 . (4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解.要点诠释:直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法.3.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 .△>0 方程有两个不相等的实数根;△=0 方程有两个相等的实数根;△<0 方程没有实数根.上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.要点诠释: △≥0 方程有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是 ,那么 .考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程,叫做分式方程.要点诠释:(1)分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量.  (2)分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于 的方程 和都是分式方程,而关于 的方程 和 都是整式方程. 2.分式方程的解法去分母法,换元法.3.解分式方程的一般步骤   (1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程;   (2)解这个整式方程;   (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公     分母等于零的根是原方程的增根.口诀:“一化二解三检验”.要点诠释:解分式方程时,有可能产生增根,增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零,因此必须验根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1.应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数,对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律. (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题ac4b20cbxax221xx 、acxxabxx2121 , 其中的几个关系式:利润=售价-成本价(进价),利润率= ×100%. 明确这几个关系式是解决这类问题的关键. (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系,能够设出未知数,并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题,也是易出错的问题,一定要分析其中的特点,同向而行一般是追及问题,相向而行一般是相遇问题. 注意:追及和相遇的综合题目,要分析出哪一部分是追及,哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量=原有量×增长率; 现有量=原有量+增长量; 现有量=原有量-降低量.2.解应用题的步骤(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;(3)找出相等关系,并用它列出方程;(4)解方程求出题中未知数的值;(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.要点诠释: 方程的思想,转化(化归)思想,整体代入,消元思想,分解降次思想,配方思想,数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想. 注意:①设列必须统一,即设的未知量要与方程中出现的未知量相同;②未知数设出后不要漏棹单位;③列方程时,两边单位要统一;④求出解后要双检,既检验是否适合方程,还要检验是否符合题意.【典型例题】类型一、一元二次方程1.用配方法解一元二次方程:【思路点拨】把二次项系数化为 1,常数项右移,方程两边都加上一次项系数一半的平方,再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与解析】移项,得二次项系数化为 1,得配方由此可得 ,【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤:   ①把原方程化为 的形式;   ②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为 1;   ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;   ④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;   ⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.举一反三:【变式】用配方法解方程 x2-7x-1=0.【答案】将方程变形为 x2-7x=1,两边加一次项系数的一半的平方 ,得    x2-7x+ =1+ ,所以有 =1+ .    直接开平方,得 x- = 或 x- =- .    所以原方程的根为 x= 或 x= .2.关于 x 的方程kx2+(k +2 )x +k4=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由【思路点拨】判别式大于 0,二次项系数不等于 0.【答案与解析】(1)由△=(k+2)2-4k·k4>0 ∴k>-1 又∵k≠0 ∴k 的取值范围是 k>-1,且 k≠0(2)不存在符合条件的实数 k理由:设方程 kx2+(k+2)x+k4=0 的两根分别为 x1、x2,由根与系数关系有: x1+x2=−k +2k,x1·x2=14,又1x1+1x2=0=0 则 −k +2k=0 ∴k =−2由(1)知,k =−2时,△<0,原方程无实解∴不存在符合条件的 k 的值.【总结升华】(1)注意隐含条件 k≠0;(2)由根与系数关系的应用,求出 k 的值,要验证 k 的值是否符合题意.举一反三:【变式】已知关于x的方程 .(1)求证方程有两个不相等的实数根.(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.【答案】(1)证明:因为△=(m +2)2−4 (2 m−1) =(m−2 )2+4 所以无论m取何值时, △>0,所以方程有两个不相等的实数根.(2)解:因为方程的两根互为相反数,所以x1+x2=0,根据方程的根与系数的关系得m +2=0,解得m=−2,所以原方程可化为x2− 5=0,解得x1=√5,x2=−√5.类型二、分式方程3.解方程:【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程,求出整式方程的解,再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以 ,得 【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根.举一反三:【变式 1】解分式方程: .【答案】方程两边同乘以 ,得 .   . .     经检验: 是原方程的解,所以原方程的解是 .【高清课程名称:一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号: 405754关联的位置名称(播放点名称):例 1(1)】【变式 2】方程x−3x−2+12−x=2的解是x= .【答案】 .4.若解分式方程 产生增根,则 m 的值是( ) A. B. C. D. 【思路点拨】先把原方程化为整式方程,再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值.【答案】D;【解析】由题意得增根是:化简原方程为: 把 代入解得 ,故选择 D.【总结升华】分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值.举一反三:【高清课程名称:一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号: 405754关联的位置名称(播放点名称):例 1(2)-例 2】【变式】若关于x的方程x−2x−3=mx−3+2无解,则m的值是 .【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5.轮船在一次航行中顺流航行 80 千米,逆流航行 42 千米,共用了 7 小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行 40 千米,逆流航行 70 千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度=静水速度+水流速度; 逆流速度=静水速度-水流速度”,两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为 x 千米/小时,水流速度为 y 千米/小时 由题意,得 答:水流速度为 3 千米/小时,船在静水中的速度为 17 千米/小时.【总结升华】流水问题公式:顺流速度=静水速度+水流速度; 逆流速度=静水速度-水流速度;静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2;水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2.举一反三:【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树,甲班种 60棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【答案】设甲班每小时种 x 棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树 20 棵,乙班每小时种树 22 棵.6.某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是 500 元,销售价为 625 元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低 20%,第二个月比第一个月提高 6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为 x,那么两个月后的销售价格为 625(1-20%)(1+6%),两个月后的成本价为 500(1-x)2,然后根据已知条件即可列出方程,解方程即可求出结果.【答案与解析】 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为 x. 625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)2=625-500 整理,得 500(1-x)2=405,(1-x)2=0.81. 1-x=±0.9,x=1±0.9, x1=1.9(舍去),x2=0.1=10%. 答:该产品的成本价平均每月应降低 10%.【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,Ÿ要求变化后的销售利润不变,即利润仍要达到 125 元,Ÿ关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价.
文档格式: docx,价格: 5下载文档
返回顶部