中考总复习：投影与视图—知识讲解【考纲要求】1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；2.会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．【知识网络】【考点梳理】考点一、生活中的几何体1．常见的几何体的分类 在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等．2．点、线、面、体的关系 (1)点动成线，线动成面，面动成体； (2)面面相交成线，线线相交成点．要点诠释：体体相交可成点，不一定成线．3．基本几何体的展开图 (1)正方体的展开图是六个正方形； (2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形； (3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形； (4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形．考点二、投影1．投影 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影 由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．正投影 投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影． 要点诠释：正投影是平行投影的一种．考点三、物体的三视图1．物体的视图 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图． 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面． 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体 左面看 正面看 上面看的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的 3 个图象．2．画三视图的要求 (1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图． (2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．【典型例题】类型一、三视图及展开图1．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为( ) A．22 B．19 C．16 D．13 【思路点拨】视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形.【答案】D；【解析】综合主视图和俯视图，这个几何体的底层最少有 3+3+1=7 个小正方体，第二层最少有 3 个，第三层最少有 2 个，第四层最少有 1 个，因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：7+3+2+1=13 个．故答案为：13．【总结升华】由三视图判断组成原几何体的小正方体的个数与由相同的小正方体构成的几何体画三视图正好相反．举一反三：【变式 1】如图是由棱长为 1 的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为 1 的正方体的个数是________．【答案】6.【高清课堂：《空间与图形》专题：投影与视图 例 6】【变式 2】下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B.2．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（　　） A． B．C． D．【思路点拨】动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．【答案】B【解析】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸，故选 B．【总结升华】用到的知识与正方体展开图有关，考察学生空间想象能力．建议学生在平时的教学过程中应结合实际模型将展开图的若干种情况分析清楚．举一反三：【变式】如图所示的是以一个由一些相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．设组成这个几何体的小正方体的个数为 n，请写出 n 的所有可能的值．【答案】n 为 8，9，10，11．3．下列图形中经过折叠能围成一个棱柱的是（　　） A． B． C． D．【思路点拨】利用四棱柱及其表面展开图的特点解题．【答案】D；【解析】A、侧面少一个长方形，故不能；B、侧面多一个长方形，折叠后不能围成棱柱，故不能；C、折叠后少一个底面，不能围成棱柱；只有 D 能围成四棱柱．故选 D．【总结升华】四棱柱的侧面展开图为四个长方形组成的大长方形．举一反三：【高清课堂：《空间与图形》专题：投影与视图 课堂练习 3】 【变式】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G 分别是 AB、BB1、BC 的中点，沿 EG、EF、FG 将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D．【答案】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得 1 个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段．故选 B．类型二、投影有关问题4．如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，求塔高 AB 的长. 【思路点拨】过点 D 构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的 BD，斜坡上的 DE．然后根据影长的比分别求得 AG，GB 长，把它们相加即可．【答案与解析】【解析 1】解：如图 1，过 D 作 DF⊥CD，交 AE 于点 F，过 F 作 FG⊥AB，垂足为 G．可得矩形 BDFG．由题意得： ． ∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）． ∴GF=BD= CD=6m． 又∵ ． ∴AG=1.6×6=9.6（m）． ∴AB=14.4+9.6=24（m）． 答：铁塔的高度为 24m． 图 1 图 2【解析 2】如图 2，作 DG∥AE，交 AB 于点 G，BG 的影长为 BD，AG 的影长为 DE，由题意得： ． ∴AG=18×1.6÷2=14.4（m）． 又∵ ． ∴BG=1.6×6=9.6（m）． ∴AB=14.4+9.6=24（m）． 答：铁塔的高度为 24m．【总结升华】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．类型三、投影视图综合问题5.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体最多要 小立方体．【思路点拨】从正视图和侧视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最多的数目．【答案】17.【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有 3 列，第一列 3 块，第二列 2 块，第三列 1 块．由俯视图可知，它自左而右共有 3 列，第二列各 3 块，第三列 1 块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；如图，最多时有 3×5+2×1=17 块小立方体．故答案为 17． 【总结升华】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，但很容易出错．6．太阳光线与水平线的夹角在新疆地区的变化较大，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，最小夹角约为 28 度．现有两幢居民住宅楼高为 15 米，两楼相距 20 米，如图所示． （1）在冬至时，甲楼的影子在乙楼上有多高？（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，楼距至少应该多少米，才不影响楼房的采光？（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）（计算结果精确到 0.1 米） 【思路点拨】（1）如图，构造直角三角形 ADE，则∠ADE=28°，DE=BC=20，在这个三角形中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出 AE 的长从而求得 CD 的长．（2）在△ABC 中，由角 C 的值和 AB 的高，满足解直角三角形的条件，可求出 BC 的长．【答案与解析】解：（1）如图所示，作 DE⊥AB，垂足为 E，由题意可知∠ADE=28°，DE=BC=20，在 Rt△ADE 中，tan∠ADE= ，AE=DE•tan∠DAE=20•tan28°≈10.6，则 DC=EB=AB-AE=15-10.6=4.4．即冬至时甲楼的影子在乙楼上约 4.4 米高． （2）若要不影响要房间的采光，如图所示在 Rt△ABC 中，AB=15，∠C=28°， BC= .答：楼距至少 28.2 米，才不影响楼房的采光．【总结升华】本题是解直角三角形在生活中的实际应用，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．7．如图，不透明圆锥体 DEC 放在直线 BP 所在的水平面上，且 BP 过底面圆的圆心，其高 m，底面半径为 2m．某光源位于点 A 处，照射圆锥体在水平面上留下的影长 BE=4m．（1）求∠B 的度数；（2）若∠ACP=2∠B，求光源 A 距平面的高度． 【思路点拨】（1）如下图所示，过点 D 作 DF 垂直 BC 于点 F．由题意，得 DF= ，EF=2，BE=4，在 Rt△DFB 中，tan∠B= ，由此可以求出∠B；（2）过点 A 作 AH 垂直 BP 于点 H．因为∠ACP=2∠B=60°所以∠BAC=30°，AC=BC=8．在 Rt△ACH 中，AH=AC•Sin∠ACP，所以可以求出 AH 了，即求出了光源 A 距平面的高度．【答案与解析】解：（1）过点 D 作 DF 垂直 BC 于点 F．由题意，得 DF= ，EF=2，BE=4．在 Rt△DFB 中，tan∠B= ，所以∠B=30°； （2）过点 A 作 AH 垂直 BP 于点 H．∵∠ACP=2∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=BC=8，在 Rt△ACH 中，AH=AC•Sin∠ACP= ，即光源 A 距平面的高度为 m．【总结升华】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．