中考总复习:整式与因式分解--知识讲解(基础)

发布时间:2024-05-30 22:05:42浏览次数:16
中考总复习:整式与因式分解—知识讲解(基础)【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用,多以选择题、填空题的形式出现;2.因式分解是中考必考内容,题型多以选择题和填空题为主,也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式  数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式. 要点诠释:(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.2.多项式  几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.要点诠释:(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.(3)多项式的次数是 n 次,有 m 个单项式,我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式. (4)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.3.整式  单项式和多项式统称整式.4.同类项  所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项.5.整式的加减  整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.  把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.  如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.  整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.6.整式的乘除  ①幂的运算性质:     ②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.  ③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:  ④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:   平方差公式:完全平方公式:       在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.  ⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.  ⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即 ( 都是正整数). (3)公式 的推广: ( , 均为正整数) (4)公式 的推广: ( 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解   把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解常用的方法 (1)提取公因式法:ma +mb +mc =m (a+b+c ) (2)运用公式法:平方差公式:a2−b2=(a+b)( a−b );完全平方公式:a2±2 ab+b2=( a±b )2(3)十字相乘法:x2+(a+b )x +ab=( x+a)( x +b )3.因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;(4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释:(1)因式分解的对象是多项式;(2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到每个因式都不能再分解为止.(4)十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1.若 3xm+5y2与 x3yn的和是单项式,则 nm .【答案】【解析】由 3xm+5y2与 x3yn的和是单项式得 3xm+5y2与 x3yn是同类项,∴ 解得 , nm=2-2= 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组,负整数指数幂的计算.   同类项的概念为:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三:【变式】若单项式 是同类项,则 的值是(  )  A、-3    B、-1    C、    D、3【答案】由题意单项式 是同类项,     所以 ,解得 , ,应选 C.2.下列各式中正确的是(  )   A.    B.a2·a3=a6    C.(-3a2)3=-9a6    D.a5+a3=a8  【答案】A;【解析】选项 B 为同底数幂乘法,底数不变,指数相加,a2·a3=a5,所以 B 错;选项 C 为积的乘方,应把每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,(-3a2)3=-27a6,所以 C错;选项 D 为两个单项式的和,此两项不是同类项,不能合并,所以 D 错;选项 A 为负指数幂运算,一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数,A 正确.答案选 A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三:【变式 1】下列运算正确的是 ( )A. $$$$$$$$ B. $$$$$$$$ C. $$$$ D.【答案】A.2-3 = ; B. ;C. 正确 ;D. . 故选 C.【高清课程名称: 整式与因式分解 高清 ID 号:399488关联的位置名称(播放点名称):例 1-例 2】【变式 2】下列运算中,计算结果正确的个数是( ).(1)a4·a3=a12; (2)a6÷a3=a2; (3)a5+a5=a10;(4)(a3)2=a9; (5)(-ab2)2=ab4; (6)A.无 B.1 个 C.2 个 D.3 个【答案】A.3.利用乘法公式计算:   (1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式,将 a+b 看成一项,则    (a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]       =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2      =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.   (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中,每一项都只有符号的区别,所以,我们考虑用平方差公 式,将符号相同的看作公式中的 a,将符号相反的项,看成公式中的 b,  原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]   =4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【点评】利用乘法公式去计算时,要特别注意公式的形式及符号特点,灵活地进行各种变形.举一反三:【变式】如果 a2+ma+9 是一个完全平方式,那么 m=______.【答案】利用完全平方公式:(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.22212xx 类型二、因式分解4.因式分解:① 3a3-6a2+12a; ②(a+b)2-1; ③ x2-12x+36; ④(a2+b2)2-4a2b2  【答案与解析】① 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)    ② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)    ③ x2-12x+36=(x-6)2   ④ (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2【点评】把一个多项式进行因式分解,首先要看多项式是否有公因式,有公因式就要先提取公因式,再看是否还可以继续进行分解,是否可以利用公式法进行分解,直到不能进行分解为止.举一反三:【高清课程名称: 整式与因式分解 高清 ID 号:399488关联的位置名称(播放点名称):例 3(1)-(2)】【变式】把下列各式分解因式:(1)6(a-b)2+8a(b-a); (2)(x+y)2-4(x+y)+4.【答案】(1)原式=6(a-b)2-8a(a-b)=2(a-b)[3(a-b)-4a]=2(a-b)(3a-3b-4a)=-2(a-b)(a+3b).(2)原式=[(x+y)-2]2=(x+y-2)2.5.若 能分解为两个一次因式的积,则 m 的值为( ) A. 1 B. -1 C. D. 2【思路点拨】 对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解: -6 可分解成 或 ,因此,存在两种情况: 由(1)可得: ,由(2)可得: . 故选择 C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三:【变式】因式分解: _______________.【答案】类型三、因式分解与其他知识的综合运用 6.已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】 式子 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,把 2b2写成 b2+b2,故等式可变成 2 个完全平方式,从而得到结论.【答案与解析】 解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0 (a-b) 2+(b-c) 2=0 即: a-b=0 , b-c=0,所以 a=b=c.所以△ABC 是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系.
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