中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式　　单项式和多项式统称整式．4.同类项　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除　　①幂的运算性质：　　　　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　　平方差公式：完全平方公式：　　　 　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. （3）公式 的推广： ( ， 均为正整数) （4）公式 的推广： ( 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解　　 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法：ma +mb +mc =m (a+b+c ) （2）运用公式法：平方差公式：a2−b2=(a+b)( a−b )；完全平方公式：a2±2 ab+b2=( a±b )2（3）十字相乘法：x2+(a+b )x +ab=( x+a)( x +b )3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若 3xm+5y2与 x3yn的和是单项式，则 nm ．【答案】【解析】由 3xm+5y2与 x3yn的和是单项式得 3xm+5y2与 x3yn是同类项，∴ 解得 ， nm=2-2= 【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.　　 同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式 是同类项，则 的值是( 　) 　A、-3 　　　B、-1　　　 C、 　　　D、3【答案】由题意单项式 是同类项，　　　 　所以 ，解得 ， ，应选 C.2．下列各式中正确的是( 　)　　 A. 　　　B.a2·a3=a6　　　 C.(-3a2)3=-9a6 　　　D.a5+a3=a8　　【答案】A；【解析】选项 B 为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以 B 错；选项 C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以 C错；选项 D 为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以 D 错；选项 A 为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A 正确.答案选 A.【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式 1】下列运算正确的是 ( )A． $$$$$$$$ B． $$$$$$$$ C． $$$$ D．【答案】A.2-3 = ； B. ；C. 正确 ；D. . 故选 C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清 ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例 1-例 2】【变式 2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a4·a3＝a12； (2)a6÷a3＝a2； (3)a5＋a5＝a10；(4)(a3)2＝a9； (5)(－ab2)2＝ab4； (6)A．无 B．1 个 C．2 个 D．3 个【答案】A.3．利用乘法公式计算：　 　(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将 a+b 看成一项，则　　　　(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]　　　　　 　=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2　　　　　 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.　　 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的 a，将符号相反的项，看成公式中的 b，　　原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]　　 =4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.举一反三：【变式】如果 a2+ma+9 是一个完全平方式，那么 m=______.【答案】利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9. m=±6.22212xx 类型二、因式分解4．因式分解：① 3a3-6a2+12a； ②(a+b)2-1； ③ x2-12x+36； ④(a2+b2)2-4a2b2　　【答案与解析】① 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)　　　 ② (a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)　　　 ③ x2-12x+36=(x-6)2　　 ④ (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清 ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例 3（1）-（2）】【变式】把下列各式分解因式：(1)6(a－b)2＋8a(b－a)； (2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4.【答案】(1)原式＝6(a－b)2－8a(a－b)＝2(a－b)[3(a－b)－4a]＝2(a－b)(3a－3b－4a)＝－2(a－b)(a＋3b)．(2)原式＝[(x＋y)－2]2＝(x＋y－2)2．5．若 能分解为两个一次因式的积，则 m 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2【思路点拨】 对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解： -6 可分解成 或 ，因此，存在两种情况： 由（1）可得： ，由（2）可得： . 故选择 C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解： _______________.【答案】类型三、因式分解与其他知识的综合运用 6．已知 a、b、c 是△ABC 的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】 式子 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把 2b2写成 b2+b2，故等式可变成 2 个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】 解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0 (a-b) 2+(b-c) 2=0 即: a-b=0 , b-c=0，所以 a=b=c.所以△ABC 是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．