中考总复习：二次函数—知识讲解（基础）撰稿：张晓新 审稿：杜少波【考纲要求】1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现．【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地，如果 （a、b、c 是常数，a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数．要点诠释： 二次函数 (a≠0)的结构特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2．(2)二次项系数 a≠0．考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数 (a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为 ．2.当 a＞0 时，抛物线的开口向上；当 a＜0 时，抛物线的开口向下．3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ② c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置．c＝0 时，抛物线过原点；c＞0 时，抛物线与 y 轴交于正半轴；c＜0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴． ③ ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置．当 ab＝0 时，对称轴为 y 轴；当 ab＞0 时，对称轴在y 轴左侧；当 ab＜0 时，对称轴在 y 轴的右侧．4.抛物线 的图象，可以由 的图象移动而得到．将 向上移动 k 个单位得： ．将 向左移动 h 个单位得： ． A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1 或 x≥3【答案】由图象知，使 y＝l 成立的 x 的值为 x＝-1，x＝3，使 y＞1 的图象是在直线 y＝1 上方的两部分．答案：D.【高清课程名称：二次函数与中考 高清 ID 号：359069 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 3】【变式 2】已知：抛物线 （ 为常数，且 ）.（1）求证：抛物线与 轴有两个交点；（2）设抛物线与 轴的两个交点分别为 、 （ 在 左侧），与 轴的交点为 . ①当 时，求抛物线的解析式；②将①中的抛物线沿 轴正方向平移 个单位（ >0），同时将直线 ： 沿 轴正方向平移个单位.平移后的直线为 ，移动后 、 的对应点分别为 、 .当 为何值时，在直线 上存在点 ，使得△ 为以A ' B'为直角边的等腰直角三角形?【答案】（1）证明：令 ,则 .△=(a−2)2+8 a=(a+2 )2．∵ a>0,∴ a+2>0．∴ △ . ∴ 方程 有两个不相等的实数根.∴ 抛物线与 轴有两个交点. （2）①令 ,则 ，解方程，得 .∵ 在 左侧,且 ,∴ 抛物线与 轴的两个交点为 ， .∵ 抛物线与 轴的交点为 ，∴ . ∴ .在 Rt△ 中， ，．可得 ．∵ ，∴ ． ∴ 抛物线的解析式为 . ②依题意，可得直线 的解析式为 ，, , . ∵ △ 为以A ' B'为直角边的等腰直角三角形，∴ 当 时，点 的坐标为 或 .∴ .解得 或 . 当 时，点 的坐标为 或 .∴ .解得 或 （不合题意，舍去）.综上所述， 或 . 将 先向上移动 k(k＞0)个单位，再向右移动 h(h＞0)个单位，即得函数 的图象．要点诠释：求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．考点三、二次函数的解析式1.一般式： (a≠0)． 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求出a、b、c 的值．2.交点式（双根式）： ． 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．3.顶点式： ． 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．4.对称点式： ．若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．要点诠释： 已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成 的图象平移后所对应的函数).已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系： ).考点四、二次函数 (a≠0) 的图象的位置与系数 a、b、c 的关系1.开口方向：a＞0 时，开口向上，否则开口向下．2.对称轴： 时，对称轴在 y 轴的右侧；当 时，对称轴在 y 轴的左侧．3.与 x 轴交点： 时，有两个交点； 时，有一个交点； 时，没有交点．要点诠释： 当 x＝1 时，函数 y＝a+b+c； 当 x＝-1 时，函数 y＝a-b+c；2y ax bx c   当 a+b+c＞0 时，x＝1 与函数图象的交点在 x 轴上方，否则在下方； 当 a-b+c＞0 时，x＝-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方，否则在下方．考点五、二次函数的最值1.当 a＞0 时，抛物线 有最低点，函数有最小值，当 时， ．2.当 a＜0 时，抛物线 有最高点，函数有最大值，当 时， ．要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数 的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围．【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1．二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值是 ．【思路点拨】因为图象的对称轴在 y 轴的右侧，所以对称轴 x=k+1＞0，即 k＞-1；又因为二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，所以 y最小值= =-4，可以求出 k 的值．【答案与解析】解：∵图象的对称轴在 y 轴的右侧，∴对称轴 x=k+1＞0，解得 k＞-1，∵二次函数 y=x2-2（k+1）x+k+3 有最小值-4，∴y最小值= =k+3-（k+1）2=-k2-k+2=-4，整理得 k2+k-6=0，解得 k=2 或 k=-3，∵k=-3＜-1，不合题意舍去，∴k=2．【总结升华】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．举一反三：【变式】已知 是二次函数，求 k 的值．【答案】∵ 是二次函数，则由 得 ，即 ，得 ， ．显然，当 k＝-3 时，原函数为 y＝0，不是二次函数．∴ k＝2 即为所求． 类型二、二次函数的图象及性质的应用2．把抛物线 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为( )． A． B． C． D．【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线 y=-x2顶点坐标为（0，0），向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为（-1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．【答案】 D；【解析】根据抛物线的平移规律可知： 向左平移 1 个单位可变成 ，再向上平移 3 个单位后可变成 ．【总结升华】(1) 图象向左或向右平移|h|个单位，可得 的图象(h＜0 时向左，h＞0时向右)． (2) 的图象向上或向下平移|k|个单位，可得 的图象(k＞0 时向上，k＜0 时向下)．举一反三：【变式】将二次函数 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是( )A． B． C． D．【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减”得 ．故选 A.类型三、求二次函数的解析式3．已知二次函数 的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为 ，求这个二次函数的解析式． 【思路点拨】将点（1，0），（-5，0）代入二次函数 y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得 a，b，c 的值，即得这个二次函数的解析式．【答案与解析】 解法一：由题意得 解得所以二次函数的解析式为 ．解法二：由题意得 ．把 代入，得 ，解得 ．所以二次函数的解析式为 ，即 ．解法三：因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线 ．所以，抛物线的顶点是 ．可设函数解析式为 ．即 ．【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式．举一反三：【高清课程名称：二次函数与中考 高清 ID 号：359069 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1】【变式】已知：抛物线 经过点 ．（1）求 的值；（2）若 ，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若 ，过点 作直线 轴，交 轴于点 ，交抛物线于另一点 ，且 ，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）【答案】解：（1）依题意得： ， ． （2）当 时， ， 2( 1)y x b x c   ( 1 2 )P b ，b c3b 3b PPA yyA B2BP PA2( 1) ( 1)( 1) 2b c b     2b c  3b 5c 2 22 5 ( 1) 6y x x x       yxOBPA抛物线的顶点坐标是 ． （3）解法 1：当 时，抛物线对称轴 ，对称轴在点 的左侧．因为抛物线是轴对称图形， 且 ． ．． 又 ， ．抛物线所对应的二次函数关系式 ． 解法 2：当 时， ，对称轴在点 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，，且 ．又 ，解得：这条抛物线对应的二次函数关系式是 ． 解法 3： ， ， 轴， 即： ．( 1 6) ，3b 112bx  P( 1 2 )P b ，2BP PA( 3 2 )B b  ，122b  5b 2b c 7c 24 7y x x  3b 112bx  P( 1 2 )P b  ， 2 ( 3 2 )BP PA B b   ， ，2( 3) 3( 2) 2b c b     2b c  5 7b c ，24 7y x x  2b c  2c b  2( 1) 2y x b x b     BP x∥2( 1) 2 2x b x b b     2( 1) 2 0x b x b     解得： ，即 由 ， ．这条抛物线对应的二次函数关系式 . 类型四、二次函数图象的位置与 a、b、c 的关系4．如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，给出四个结论：① b2-4ac＞0；② 2a+b=0；③ a+b+c=0；④当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0．把正确结论的序号填在横线上 ． 【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0，且抛物线与 x 轴交于两个点，得出根的判别式大于 0，即选项①正确；对称轴为 x=1，利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式，整理后得到 2a+b=0，选项②正确；由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0，将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0，故选项③错误；由抛物线与 x 轴的一个交点为 A（3，0），根据对称轴为 x=1，利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1，从而得到 x=-1 或 x=3 时，函数值 y=0，选项④正确，即可得出正确的选项序号．【答案与解析】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=1，与 y 轴交点在正半轴，与 x 轴有两个交点，∴a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，选项①正确；当 x=1 时，y=a+b+c＞0，选项③错误；∵图象过 A 点（3，0），对称轴为 x=1，∴另一个交点的横坐标为-1，即坐标为（-1，0），又 ，∴2a+b=0，选项②正确；∴当 x=-1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，选项④正确，则正确的序号有①②④．故答案为：①②④.【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系，其中 a 由抛物线的开口方向决定，a 与 b 同号对称轴在 y 轴左边；a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边，c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关；抛物线与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负，此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断．举一反三：【变式】如图所示是二次函数 图象的一部分，图象经过点 A(-3，0)，对称轴为．给出四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论是（ 1 21 ( 2)x x b  ， ( 2)Bx b 2BP PA1 ( 2) 2 1b    5 7b c  ，24 7y x x   ）． A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】本例是利用二次函数图象的位置与 a、b、c 的和、差、积的符号问题，其中利用直线 ， 交抛物线的位置来判断 ， 的符号问题应注意理解和掌握．由图象开口向下，可知 a＜0，图象与 x 轴有两个交点，所以 ， ，①正确．对称轴为 ，所以 ，又由 a＜0，b＝2a，可得 5b＜b，④正确．故选 B.类型五、求二次函数的最值5．某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元)．设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为)y 元．(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元?【思路点拨】（1）每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨 x 元时，每个月可卖出（210-10x）件，每件商品的利润为 x+50-40=10+x；（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-10x）（10+x），当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程（210-10x）（10+x）=2200．求此方程中 x 的值．【答案与解析】(1)y＝(210-l0x)(50+x-40)＝-10x2+110x+2100(0<x≤15 且 x 为整数)． (2)y＝-10(x-5.5)2+2402.5． ∵ a＝-10＜0，∴ 当 x＝5.5 时，y 有最大值 2402.5． ∵ 0<x≤15，且 x 为整数， ∴ 当 x＝5 时，50+x＝55，y＝2400(元)；当 x＝6 时，50+x＝56，y＝2400(元)． ∴ 当售价定为每件 55 元或 56 元时，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元． (3)当 y＝2200 时，-10x2+110x+2100＝2200， 解得 x1＝1，x2＝10． ∴ 当 x＝1 时，50+x＝51；当 x＝10 时，50+x＝60． ∴ 当售价定为每件 51 元或 60 元时，每个月的利润为 2200 元．【总结升华】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程．举一反三： 【变式】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 l 元，平均每天少销售 3 箱。 (1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式． (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式．(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少?【答案】解：(1) ， 化简得 y＝-3x+240(50≤x≤55)．(2)w＝(x-40)(-3x+240)(50≤x≤55)． (3)w＝ ， ∵ a＜0，∴ 抛物线开口向下．当 时，w 有最大值， 又 x＜60，w 随 x 的增大而增大． ∴ 当 x＝55 元时，w 的最大值为 l125 元。∴ 当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1125 元的最大利润．类型六、二次函数综合题6．根据下列表格中二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程(a≠0，a，b，c 常数)的一个解 x 的取值范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20-0.03-0.010.02 0.04A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20【思路点拨】利用二次函数和一元二次方程的性质，由表格中的数据看出-0.01 和 0.02 更接近于 0，故 x 应取对应的范围．【答案】C；【解析】方程 的一个解即使 y＝0 的一个 x 值．因为 y＝0 在-0.01～0.02 之间，所以对应的 x 满足 6.18＜x＜6.19，故选 C．【总结升华】每个二次函数 令 都对应着一个一元二次方程 ．一元二次方程 的解 二次函数 令 时对应的 x 的值．举一反三：【变式 1】已知函数 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( )