中考总复习:二次函数--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-02 12:06:14浏览次数:5
中考总复习:二次函数—知识讲解(基础)撰稿:张晓新 审稿:杜少波【考纲要求】1.二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等;2.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3.抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难,在解答题中出现.【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地,如果 (a、b、c 是常数,a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数.要点诠释: 二次函数 (a≠0)的结构特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2.(2)二次项系数 a≠0.考点二、二次函数的图象及性质1.二次函数 (a≠0)的图象是一条抛物线,顶点为 .2.当 a>0 时,抛物线的开口向上;当 a<0 时,抛物线的开口向下.3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大. ② c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置.c=0 时,抛物线过原点;c>0 时,抛物线与 y 轴交于正半轴;c<0 时,抛物线与 y 轴交于负半轴. ③ ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置.当 ab=0 时,对称轴为 y 轴;当 ab>0 时,对称轴在y 轴左侧;当 ab<0 时,对称轴在 y 轴的右侧.4.抛物线 的图象,可以由 的图象移动而得到.将 向上移动 k 个单位得: .将 向左移动 h 个单位得: . A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1 C.x≥-3 D.x≤-1 或 x≥3【答案】由图象知,使 y=l 成立的 x 的值为 x=-1,x=3,使 y>1 的图象是在直线 y=1 上方的两部分.答案:D.【高清课程名称:二次函数与中考 高清 ID 号:359069 关联的位置名称(播放点名称):经典例题 3】【变式 2】已知:抛物线 ( 为常数,且 ).(1)求证:抛物线与 轴有两个交点;(2)设抛物线与 轴的两个交点分别为 、 ( 在 左侧),与 轴的交点为 . ①当 时,求抛物线的解析式;②将①中的抛物线沿 轴正方向平移 个单位( >0),同时将直线 : 沿 轴正方向平移个单位.平移后的直线为 ,移动后 、 的对应点分别为 、 .当 为何值时,在直线 上存在点 ,使得△ 为以A ' B'为直角边的等腰直角三角形?【答案】(1)证明:令 ,则 .△=(a−2)2+8 a=(a+2 )2.∵ a>0,∴ a+2>0.∴ △ . ∴ 方程 有两个不相等的实数根.∴ 抛物线与 轴有两个交点. (2)①令 ,则 ,解方程,得 .∵ 在 左侧,且 ,∴ 抛物线与 轴的两个交点为 , .∵ 抛物线与 轴的交点为 ,∴ . ∴ .在 Rt△ 中, ,.可得 .∵ ,∴ . ∴ 抛物线的解析式为 . ②依题意,可得直线 的解析式为 ,, , . ∵ △ 为以A ' B'为直角边的等腰直角三角形,∴ 当 时,点 的坐标为 或 .∴ .解得 或 . 当 时,点 的坐标为 或 .∴ .解得 或 (不合题意,舍去).综上所述, 或 . 将 先向上移动 k(k>0)个单位,再向右移动 h(h>0)个单位,即得函数 的图象.要点诠释:求抛物线 (a≠0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式1.一般式: (a≠0). 若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数为 ,将已知条件代入,求出a、b、c 的值.2.交点式(双根式): . 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为,将第三点(m,n)的坐标(其中 m、n 为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.3.顶点式: . 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为,将已知条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式.4.对称点式: .若已知二次函数图象上两对称点(x1,m),(x2,m),则可设所求二次函数为,将已知条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式.要点诠释: 已知图象上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成 的图象平移后所对应的函数).已知图象与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式:(a≠0).(由此得根与系数的关系: ).考点四、二次函数 (a≠0) 的图象的位置与系数 a、b、c 的关系1.开口方向:a>0 时,开口向上,否则开口向下.2.对称轴: 时,对称轴在 y 轴的右侧;当 时,对称轴在 y 轴的左侧.3.与 x 轴交点: 时,有两个交点; 时,有一个交点; 时,没有交点.要点诠释: 当 x=1 时,函数 y=a+b+c; 当 x=-1 时,函数 y=a-b+c;2y ax bx c   当 a+b+c>0 时,x=1 与函数图象的交点在 x 轴上方,否则在下方; 当 a-b+c>0 时,x=-1 与函数图象的交点在 x 轴的上方,否则在下方.考点五、二次函数的最值1.当 a>0 时,抛物线 有最低点,函数有最小值,当 时, .2.当 a<0 时,抛物线 有最高点,函数有最大值,当 时, .要点诠释: 在求应用问题的最值时,除求二次函数 的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1.二次函数 y=x2-2(k+1)x+k+3 有最小值-4,且图象的对称轴在 y 轴的右侧,则 k 的值是 .【思路点拨】因为图象的对称轴在 y 轴的右侧,所以对称轴 x=k+1>0,即 k>-1;又因为二次函数 y=x2-2(k+1)x+k+3 有最小值-4,所以 y最小值= =-4,可以求出 k 的值.【答案与解析】解:∵图象的对称轴在 y 轴的右侧,∴对称轴 x=k+1>0,解得 k>-1,∵二次函数 y=x2-2(k+1)x+k+3 有最小值-4,∴y最小值= =k+3-(k+1)2=-k2-k+2=-4,整理得 k2+k-6=0,解得 k=2 或 k=-3,∵k=-3<-1,不合题意舍去,∴k=2.【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.举一反三:【变式】已知 是二次函数,求 k 的值.【答案】∵ 是二次函数,则由 得 ,即 ,得 , .显然,当 k=-3 时,原函数为 y=0,不是二次函数.∴ k=2 即为所求. 类型二、二次函数的图象及性质的应用2.把抛物线 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位,则平移后抛物线的解析式为( ). A. B. C. D.【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线 y=-x2顶点坐标为(0,0),向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位后,顶点坐标为(-1,3),根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.【答案】 D;【解析】根据抛物线的平移规律可知: 向左平移 1 个单位可变成 ,再向上平移 3 个单位后可变成 .【总结升华】(1) 图象向左或向右平移|h|个单位,可得 的图象(h<0 时向左,h>0时向右). (2) 的图象向上或向下平移|k|个单位,可得 的图象(k>0 时向上,k<0 时向下).举一反三:【变式】将二次函数 的图象向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后,所得图象的函数表达式是( )A. B. C. D.【答案】按照平移规律“上加下减,左加右减”得 .故选 A.类型三、求二次函数的解析式3.已知二次函数 的图象经过点(1,0),(-5,0),顶点纵坐标为 ,求这个二次函数的解析式. 【思路点拨】将点(1,0),(-5,0)代入二次函数 y=ax2+bx+c,再由 ,从而求得 a,b,c 的值,即得这个二次函数的解析式.【答案与解析】 解法一:由题意得 解得所以二次函数的解析式为 .解法二:由题意得 .把 代入,得 ,解得 .所以二次函数的解析式为 ,即 .解法三:因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为(1,0),(-5,0),由其对称性知,对称轴是直线 .所以,抛物线的顶点是 .可设函数解析式为 .即 .【总结升华】根据题目的条件,有多种方法求二次函数的解析式.举一反三:【高清课程名称:二次函数与中考 高清 ID 号:359069 关联的位置名称(播放点名称):经典例题 1】【变式】已知:抛物线 经过点 .(1)求 的值;(2)若 ,求这条抛物线的顶点坐标;(3)若 ,过点 作直线 轴,交 轴于点 ,交抛物线于另一点 ,且 ,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示:请画示意图思考)【答案】解:(1)依题意得: , . (2)当 时, , 2( 1)y x b x c   ( 1 2 )P b ,b c3b 3b PPA yyA B2BP PA2( 1) ( 1)( 1) 2b c b     2b c  3b 5c 2 22 5 ( 1) 6y x x x       yxOBPA抛物线的顶点坐标是 . (3)解法 1:当 时,抛物线对称轴 ,对称轴在点 的左侧.因为抛物线是轴对称图形, 且 . .. 又 , .抛物线所对应的二次函数关系式 . 解法 2:当 时, ,对称轴在点 的左侧.因为抛物线是轴对称图形,,且 .又 ,解得:这条抛物线对应的二次函数关系式是 . 解法 3: , , 轴, 即: .( 1 6) ,3b 112bx  P( 1 2 )P b ,2BP PA( 3 2 )B b  ,122b  5b 2b c 7c 24 7y x x  3b 112bx  P( 1 2 )P b  , 2 ( 3 2 )BP PA B b   , ,2( 3) 3( 2) 2b c b     2b c  5 7b c ,24 7y x x  2b c  2c b  2( 1) 2y x b x b     BP x∥2( 1) 2 2x b x b b     2( 1) 2 0x b x b     解得: ,即 由 , .这条抛物线对应的二次函数关系式 . 类型四、二次函数图象的位置与 a、b、c 的关系4.如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过 A 点(3,0),对称轴为 x=1,给出四个结论:① b2-4ac>0;② 2a+b=0;③ a+b+c=0;④当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0.把正确结论的序号填在横线上 . 【思路点拨】根据函数图象得出抛物线开口向下得到 a 小于 0,且抛物线与 x 轴交于两个点,得出根的判别式大于 0,即选项①正确;对称轴为 x=1,利用对称轴公式列出关于 a 与 b 的关系式,整理后得到 2a+b=0,选项②正确;由图象得出 x=1 时对应的函数值大于 0,将 x=1 代入抛物线解析式得出 a+b+c 大于 0,故选项③错误;由抛物线与 x 轴的一个交点为 A(3,0),根据对称轴为 x=1,利用对称性得出另一个交点的横坐标为-1,从而得到 x=-1 或 x=3 时,函数值 y=0,选项④正确,即可得出正确的选项序号.【答案与解析】解:由图象可知:抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧,对称轴为 x=1,与 y 轴交点在正半轴,与 x 轴有两个交点,∴a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0,选项①正确;当 x=1 时,y=a+b+c>0,选项③错误;∵图象过 A 点(3,0),对称轴为 x=1,∴另一个交点的横坐标为-1,即坐标为(-1,0),又 ,∴2a+b=0,选项②正确;∴当 x=-1 或 x=3 时,函数 y 的值都等于 0,选项④正确,则正确的序号有①②④.故答案为:①②④.【总结升华】此题考查了抛物线图象与系数的关系,其中 a 由抛物线的开口方向决定,a 与 b 同号对称轴在 y 轴左边;a 与 b 异号对称轴在 y 轴右边,c 的符合由抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴有关;抛物线与 x 轴的交点个数决定了根的判别式的正负,此外还要在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断.举一反三:【变式】如图所示是二次函数 图象的一部分,图象经过点 A(-3,0),对称轴为.给出四个结论:① ;② ;③ ;④ .其中正确结论是( 1 21 ( 2)x x b  , ( 2)Bx b 2BP PA1 ( 2) 2 1b    5 7b c  ,24 7y x x   ). A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【答案】本例是利用二次函数图象的位置与 a、b、c 的和、差、积的符号问题,其中利用直线 , 交抛物线的位置来判断 , 的符号问题应注意理解和掌握.由图象开口向下,可知 a<0,图象与 x 轴有两个交点,所以 , ,①正确.对称轴为 ,所以 ,又由 a<0,b=2a,可得 5b<b,④正确.故选 B.类型五、求二次函数的最值5.某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 210 件;如果每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为)y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围. (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于 2200 元?【思路点拨】(1)每件商品的售价每上涨 1 元,则每个月少卖 10 件,当每件商品的售价上涨 x 元时,每个月可卖出(210-10x)件,每件商品的利润为 x+50-40=10+x;(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积,即(210-10x)(10+x),当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程(210-10x)(10+x)=2200.求此方程中 x 的值.【答案与解析】(1)y=(210-l0x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100(0<x≤15 且 x 为整数). (2)y=-10(x-5.5)2+2402.5. ∵ a=-10<0,∴ 当 x=5.5 时,y 有最大值 2402.5. ∵ 0<x≤15,且 x 为整数, ∴ 当 x=5 时,50+x=55,y=2400(元);当 x=6 时,50+x=56,y=2400(元). ∴ 当售价定为每件 55 元或 56 元时,每个月的利润最大,最大的月利润是 2400 元. (3)当 y=2200 时,-10x2+110x+2100=2200, 解得 x1=1,x2=10. ∴ 当 x=1 时,50+x=51;当 x=10 时,50+x=60. ∴ 当售价定为每件 51 元或 60 元时,每个月的利润为 2200 元.【总结升华】做此类应用题时,要明确题目中所给的信息,并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程.举一反三: 【变式】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元,市场调查发现,若每箱以 50 元的价格销售,平均每天销售 90 箱,价格每提高 l 元,平均每天少销售 3 箱。 (1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式. (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式.(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】解:(1) , 化简得 y=-3x+240(50≤x≤55).(2)w=(x-40)(-3x+240)(50≤x≤55). (3)w= , ∵ a<0,∴ 抛物线开口向下.当 时,w 有最大值, 又 x<60,w 随 x 的增大而增大. ∴ 当 x=55 元时,w 的最大值为 l125 元。∴ 当每箱苹果的销售价为 55 元时,可以获得 1125 元的最大利润.类型六、二次函数综合题6.根据下列表格中二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的对应值,判断方程(a≠0,a,b,c 常数)的一个解 x 的取值范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20-0.03-0.010.02 0.04A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20【思路点拨】利用二次函数和一元二次方程的性质,由表格中的数据看出-0.01 和 0.02 更接近于 0,故 x 应取对应的范围.【答案】C;【解析】方程 的一个解即使 y=0 的一个 x 值.因为 y=0 在-0.01~0.02 之间,所以对应的 x 满足 6.18<x<6.19,故选 C.【总结升华】每个二次函数 令 都对应着一个一元二次方程 .一元二次方程 的解 二次函数 令 时对应的 x 的值.举一反三:【变式 1】已知函数 的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( )
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