中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.【知识网络】 【考点梳理】考点一、一元一次方程1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程.（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的过程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式: .（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成 1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤步骤名 称方 法 依 据 注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质 21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.2去括号去括号法则（可先分配再去括号）乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3移项把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）等式性质 1 移项一定要改变符号4 合并 同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的单独的一个未知数的系数为“±1” 加法法则5系数化为“1”在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质 2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）*6检根x=a方法：把 x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ①　若 左边＝右边，则 x=a 是方程的解；②　若 左边≠右边，则 x=a 不是方程的解.注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.说明：（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.考点二、二元一次方程组1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.要点诠释：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．2.二元一次方程组的一般形式要点诠释： a1、a2不同时为 0，b1、b2不同时为 0，a1、b1不同时为 0，a2、b2不同时为 0.3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法；(2) 加减消元法.要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当 y＝0 时，求 x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；4.解:解所列的方程(组)；5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；6.答:注意单位和语言完整.要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1．如果方程 是关于 x 的一元一次方程，则 n 的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1【思路点拨】未知数 x 的指数是 1 即可.【答案】B；【解析】由题意可知 2n-7=1，∴n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解.举一反三：【变式 1】已知关于 x 的方程 4x-3m=2 的解是 x=5，则 m 的值为 .【答案】由题意可知 4×5-3m＝2，∴m=6.【高清课程名称：一次方程及方程组 高清 ID 号：404191 关联的位置名称（播放点名称）：例 4】【变式 2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程2 ka+x3−x−bx6=2无论k为何值时，它的解总是 1，求a，b的值．【答案】a=0,b=11.2．某道路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏灯的距离为 36 米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 70 米，则需更换的新型节能灯有（　　）A．54 盏 B．55 盏 C．56 盏 D．57 盏【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有 x 盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相等，列出方程求解即可．【答案】B；【解析】设需更换的新型节能灯有 x 盏，则 70（x+1）=36×（106+1），70x=3782，x≈55则需更换的新型节能灯有 55 盏．故选 B．【总结升华】注意根据实际问题采取进 1 的近似数．举一反三：【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高 30%后标价，再打 8 折（标价的 80%）销售，售价为 2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】成本价提高 30%后标价为 ，打 8 折后的售价为 ．根据题意，列方程得 ，故选 A．类型二、二元一次方程组及其应用3．解方程组【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.【答案与解析】由②，得 y=2x-8 ③ 把③代入①，得 3x+2(2x-8)=5 3x+4x-16=5 ∴x=3 把 x=3 代入③，得 y=2×3-8=-2①② 1 30% 80% 2080x   30% 80% 2080x   2080 30% 80% x   30% 2080 80%x    1 30%x  1 30% 80%x   1 30% 80% 2080x   3 2 52 8x yx y   ∴方程组的解为 x=3，y=-2.【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度.举一反三：【变式 1 解方程组　　【答案】方程②化为 ，再用加减法解，答案：【高清课程名称：一次方程及方程组 高清 ID 号： 404191 关联的位置名称（播放点名称）：例3 】【变式 2】解方程组{a :b : c=3 :4 :5 , ¿ ¿¿¿【答案】a=9,b=12,c=15.4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位： ），解答下列问题：（1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多 212，且地面总面积是卫生间面积的 15 倍，铺 12地砖的平均费用为 80 元，求铺地砖的总费用为多少元？【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题.【答案与解析】（1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）2； （2）由题意，得解之，得 ∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2× ＋18＝45（2）． ∵铺 12地砖的平均费用为 80 元，∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.举一反三：【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】设桌子高度为 acm，木块竖放为 bcm，木块横放为 ccm.则 .故选 C.①②mm mm6 2 21,6 2 18 15 2 .x yx y y    4 ,3.2xy32mm80, a=7570a b ca c b    解得 类型三、一次方程（组）的综合运用5．某县为鼓励失地农民自主创业，在 2012 年对 60 位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励 10 万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予 1000 元奖励；自主创业且解决5 人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予 2000 元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予 1000 元奖励：自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予 2000 元奖励列方程求解．【答案与解析】方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人，则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有 40 人，自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有 20 人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有 x，y 人，根据题意列出方程组： 解得： 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有 40，自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有 20 人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三：【变式】某公园的门票价格如下表所示：购票人数 1～50 人 51～100 人 100 人以上票价 10 元／人 8 元／人 5 元／人某校七年级甲、乙两班共 多人去该公园举行联欢活动，其中甲班 多人，乙班不足 人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付 元．问：甲、乙两班分别有多少人？【答案】设甲班有 x 人，乙班有 y 人，由题意得： 解得： ． 答：甲班有 55 人，乙班有 48 人.6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：å甲同学说：“二环路车流量为每小时 10000 辆”；å乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多 2000 辆”；å丙同学说：“三环路车流量的 3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的 2 倍”；请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？100 50 509205158 10 9205( ) 515x yx y  5548xy 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解.【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时 辆，四环路的车流量为每小时 辆，根据题意得：å å 解得å答：高峰时段三环路的车流量为每小时 11000 辆，四环路的车流量为每小时 13000 辆.【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.