第 3 次作业一、填空题（本大题共 40 分，共 10 小题，每小题 4 分）1. 函数 的定义域为 ，则 的定义域为 ______ 2. 函数 的拐点坐标为 ______3. ______4. 设 ,则 ______5. ______6. 函数 的一个原函数是 ______7. ______8. = ______9. 函数 ，若 在 处连续，则 ＝ ______10. 根据定积分的几何意义，计算 二、计算题（本大题共 48 分，共 8 小题，每小题 6 分）1. 求函数 的定义域 2. 设 ,若要极限 存在，求3. 求定积分4. 应用分部积分法求。5. 求定积分 的值6. 已知隐函数： 求 。7. 求不定积分8. 对一个半径为 的圆作内接矩形，求使得矩形周长最长时的边长？三、证明题（本大题共 12 分，共 2 小题，每小题 6 分）1. 证明函数 单调增加2. 证明： 不存在。答案：一、填空题（40 分，共 10 题，每小题 4 分） 1. 参考答案：解题方案：定义域是使得函数有意义的实数集，那么 的取值应该在 内 评分标准：2. 参考答案：解题方案：找二阶导数大于 0 的区间和小于 0 的区间，分界点为拐点评分标准：3. 参考答案：0解题方案：观察得出结果即可评分标准：4. 参考答案：解题方案：利用求导公式和性质评分标准：5. 参考答案：1 解题方案：洛必达法则评分标准：6. 参考答案：解题方案：利用基本求积公式和原函数的定义求解评分标准：7. 参考答案：解题方案：利用三角公式化简，然后利用基本求积公式评分标准：8. 参考答案：0解题方案：定积分求出来是常数，常数的微分是多少呢？评分标准：9. 参考答案：0解题方案：求出左右极限，令其和函数值相等，即可得到结果评分标准：10. 参考答案：12解题方案：评分标准： 二、计算题（48 分，共 8 题，每小题 6 分）1. 参考答案：欲使原函数有意义，必须且 ,解得且 ,故，原函数的定义域为：解题方案：定义域是使得函数有意义的集合评分标准：2. 参考答案：因为 , .要使 存在,则必须要所以解题方案：利用极限的判别准则，分别计算左右极限，令其相等即可求解评分标准：3. 参考答案： 解：解题方案：牛 顿-莱布尼兹公式,先将绝对值去掉，再积分评分标准：4. 参考答案：解：解题方案： 分部积分法评分标准：5. 参考答案：解：它表示一个以原点为圆心，半径为 9 的 的圆，于是 。解题方案：定积分的几何意义评分标准：6. 参考答案：两边同时对 求导，得所以。解题方案：两边同时对 x 求导，再解方程评分标准：7. 参考答案：解：令 ，则 ， ，即 。故=解题方案：不定积分的第二类换元法评分标准： 8. 参考答案：解：设矩形其中的一个边长为 ，周长为 ，则另一个边长为： 。则： ， ，令 ，得： 。由于这是实际问题，因此 是 的唯一根，在此处必有周长最长，所以周长最长的边为 。解题方案：构造周长关于边长的函数，求极值和最值评分标准：三、证明题（12 分，共 2 题，每小题 6 分）1. 参考答案：证明： ，故函数 单调增加。解题方案：求一阶导数，证明一阶导数大于 0评分标准：2. 参考答案：证明：而所以 不存在。解题方案：计算左右极限评分标准：