中考总复习:特殊的四边形--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-21 12:06:17浏览次数:10
中考总复习:特殊的四边形-知识讲解(基础)撰稿:赵炜 审稿:杜少波【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形;2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质,会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题.3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定,会用性质和判定解决实际问题.【知识网络】【考点梳理】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1.解决梯形问题常用的方法:(1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图 1);(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中(图 2);(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中(图 3);(4)“延腰”:构造具有公共角的两个三角形(图 4);(5)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图 5). … …    图 1      图 2       图 3        图 4     图 5…【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.在学习时注意它们的作用,掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助.2.特殊的梯形1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.  性质:(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等.    (2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.    (3)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过两底中点的一条直线.2)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.考点三、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念:把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.2. 若中点四边形为矩形,则原四边形满足条件对角线互相垂直;若中点四边形为菱形,则原四边形满足条件对角线相等;若中点四边形为正方形,则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等. 【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 2】1. 在平行四边形 ABCD 中,AC、BD 交于点 O,过点 O 作直线 EF、GH,分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点,连结 EG、GF、FH、HE.(1)如图①,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由;(2)如图②,当 EF⊥GH 时,四边形 EGFH 的形状是 ;(3)如图③,在(2)的条件下,若 AC=BD,四边形 EGFH 的形状是 ;(4)如图④,在(3)的条件下,若 AC⊥BD,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【答案与解析】(1)四边形 EGFH 是平行四边形;证明:∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,∴点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心;∴EO=FO,GO=HO;∴四边形 EGFH 是平行四边形;(2)菱形;(提示:菱形的对角线垂直平分)(3)菱形;(提示:当 AC=BD 时,对四边形 EGFH 的形状不会产生影响,故结论同(2))(4)四边形 EGFH 是正方形;证明:∵AC=BD,∴平行四边形 ABCD 是矩形;又∵AC⊥BD,∴平行四边形 ABCD 是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°;∴∠BOG=∠COF;∴△BOG≌△COF(ASA);∴OG=OF,∴GH=EF;由(3)知四边形 EGFH 是菱形,又 EF=GH,∴四边形 EGFH 是正方形.【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质;熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.2.动手操作:在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内,要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH(见方案一),小明同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形 AECF(见方案二).(1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗?(2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大? 【思路点拨】(1)、要证所折图形是菱形,只需证四边相等即可.(2)、按照图形用面积公式计算 S=30 和 S=35.21,可知方案二小明同学所折的菱形面积较大.【答案与解析】(1)小颖的理由:依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形,小明的理由:∵ABCD 是矩形,∴AD∥BC,则∠DAC=∠ACB,又∵∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB,∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB,∴AE=EC=CF=FA,∴四边形 AECF 是菱形.(2)方案一:S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4× ×6× =30(cm)2,方案二:设 BE=x,则 CE=12-x,∴AE= =由 AECF 是菱形,则 AE2=CE2∴x2+25=(12-x)2,∴x= ,S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2× ×5× ≈35.21(cm)2,比较可知,方案二小明同学所折的菱形面积较大.【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定,以及图形面积的计算与比较.举一反三: 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 6】【变式】如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若BC=3,则折痕 CE 的长为 ( ). A.2 B. C. D.6 【答案】A.类型二、梯形的应用3.如图,点 C 是线段 AB 上的一个动点,△ACD 和△BCE 是在 AB 同侧的两个等边三角形,DM,EN 分别是△ACD 和△BCE 的高,点 C 在线段 AB 上沿着从点 A 向点 B 的方向移动(不与点 A,B 重合),连接 DE,得到四边形 DMNE.这个四边形的面积变化情况为(  ).A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.始终不变 D.先增大后变小 【思路点拨】此四边形为直角梯形,AB 的长度一定,那么直角梯形的高为 AB 的长度的一半,上下底的和也一定,所以面积不变.【答案】C.【解析】当点 C 在线段 AB 上沿着从点 A 向点 B 的方向移动时,根据等边三角形的性质,等边△ACD 和△BCE 的高 DM 和 EN 的和不会改变,即 DM+EN= MC+ CN= AC+ CB= AB,而且 MN 的长度也不会改变,即 MN= AC+ CB= AB.∴四边形 DMNE 面积= AB2,∴面积不会改变.故选 C.【总结升华】考查等边三角形的性质和梯形的面积公式.举一反三:【变式】如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 在 BC 上,AE=BE,点 F 是 CD 的中点,且 AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则 CE 的长为(  ). A. B. C. 2.5 D.2.3            【答案】D.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4.如图,O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形 EFGH 是矩形;(2)若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点,且 DG⊥AC,OF=2cm,求矩形 ABCD 的面积.【思路点拨】(1)首先证明四边形 EFGH 是平行四边形,然后再证明 HF=EG;(2)根据题干求出矩形的边长 CD 和 BC,然后根据矩形面积公式求得.【答案与解析】(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH, ∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即:OE=OF=OG=OH,∴四边形 EFGH 是矩形;(2)解:∵G 是 OC 的中点,∴GO=GC,∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°,又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD,∵F 是 BO 中点,OF=2cm,∴BO=4cm,∵四边形 ABCD 是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,∴CB= =4 ,∴矩形 ABCD 的面积=4×4 =16 cm2.【总结升华】主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.5.(2012•重庆)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2.(1)若 CE=1,求 BC 的长;(2)求证:AM=DF+ME. 【思路点拨】(1)根据菱形的对边平行可得 AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得 CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE,然后求出 CD 的长度,即为菱形的边长 BC 的长度;(2)先利用“边角边”证明△CEM 和△CFM 全等,根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF,延长 AB 交DF 于点 G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得 AM=GM,再利用“角角边”证明△CDF 和△BGF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF,最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证.【答案与解析】(1)解:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB∥CD,∴∠1=∠ACD,∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2,∴MC=MD,∵ME⊥CD,∴CD=2CE,∵CE=1,∴CD=2,∴BC=CD=2;(2)证明: 如图,∵F 为边 BC 的中点, ∴BF=CF= BC,∴CF=CE,在菱形 ABCD 中,AC 平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD,在△CEM 和△CFM 中,∵ ,∴△CEM≌△CFM(SAS),∴ME=MF,延长 AB 交 DF 于点 G,∵AB∥CD,∴∠G=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=MG,在△CDF 和△BGF 中,∵ ,∴△CDF≌△BGF(AAS),∴GF=DF,由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME.【总结升华】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键.6 . 如图,己知 ABC 的顶点 B、C 为定点,A 为动点(不在直线 BC 上). 是点 B 关于直线 AC 的对称点, 是点 C 关于直线 AB 的对称点.连结 、 、 、 . (1)猜想线段 与 '的数量关系,并证明你的结论;…(2)当点 A 运动到怎样的位置时,四边形 为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述;(不用证明)(3)当点 A 在线段 BC 的垂直平分线 (BC 的中点及到 BC 的距离为 的点除外)上运动时,判断以点B、C、… 、 为顶点的四边形的形状,画出相应的示意图.(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质,综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定.在运动变化过程中,认识图形之间的内在联系. 【答案与解析】(1)猜想:BC′=CB′∵B′是点 B 关于直线 AC 的对称点∴AC 垂直平分 B B′∴BC= CB′同理 BC= BC′∴B C′=C B′(2)要使 BCB′C′是菱形,根据菱形的性质,对角线互相垂直平分∵B′是点 B 关于直线 AC 的对称点,C′是点 C 关于直线 AB 的对称点∴AC 垂直平分 B B′,AB 垂直平分 C C′,∴B B′、C C′应该同时过 A 点∴∠BAC=90°∴只要 AB⊥AC 即可满足要求,这样的位置有无数个.(3)如图,当 A 是 BC 的中点时,没有形成四边形;当 A 到 BC 的距离为 BC 时,∵ 是 BC 的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当 BC 的中点及到 BC 的距离为 BC 的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC… O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行 C B′,B C′=C B′,四边形 BC B′ C′为等腰梯形.【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力,按照要求画出图形可以更清楚的解题.举一反三:【变式】(2012•襄阳)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 BC 的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC 与ED 相交于点 F.(1)求证:梯形 ABCD 是等腰梯形;(2)当 AB 与 AC 具有什么位置关系时,四边形 AECD 是菱形?请说明理由,并求出此时菱形 AECD 的面积. 【答案】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,又∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∴∠DEC=∠AEB,又∵EB=EC,∴△DEC≌△AEB,∴AB=CD,∴梯形 ABCD 是等腰梯形.(2)当 AB⊥AC 时,四边形 AECD 是菱形.证明:∵AD∥BC,BE=EC=AD,∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形.∴AB=ED,∵AB⊥AC,∴AE=BE=EC,∴四边形 AECD 是菱形.过 A 作 AG⊥BE 于点 G,∵AE=BE=AB=2,∴△ABE 是等边三角形,∴∠AEB=60°,∴AG= ,∴S菱形 AECD=EC•AG=2× =2 .
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