中考总复习：特殊的四边形-知识讲解（基础）撰稿：赵炜 审稿：杜少波【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图 1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图 2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图 3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图 4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图 5）．　… …　　　 图 1 　　　　　图 2 　　　　　　图 3 　　　　　　 图 4 　　　　图 5…【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．　 性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．　　　 （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．　　　 （3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 2】1. 在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ；（3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；（4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形 EGFH 是平行四边形；证明：∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，∴点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形 EGFH 是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形 EGFH 是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形 ABCD 是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形 ABCD 是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形 EGFH 是菱形，又 EF=GH，∴四边形 EGFH 是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？ 【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算 S=30 和 S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形，∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB，又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，∴AE=EC=CF=FA，∴四边形 AECF 是菱形．（2）方案一：S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4× ×6× =30（cm）2，方案二：设 BE=x，则 CE=12-x，∴AE= =由 AECF 是菱形，则 AE2=CE2∴x2+25=（12-x）2，∴x= ，S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2× ×5× ≈35.21（cm）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三： 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 6】【变式】如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若BC=3，则折痕 CE 的长为 （ ）. A.2 B. C. D.6 【答案】A.类型二、梯形的应用3.如图，点 C 是线段 AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在 AB 同侧的两个等边三角形，DM，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点 C 在线段 AB 上沿着从点 A 向点 B 的方向移动（不与点 A，B 重合），连接 DE，得到四边形 DMNE．这个四边形的面积变化情况为（　　）.A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.始终不变 D.先增大后变小 【思路点拨】此四边形为直角梯形，AB 的长度一定，那么直角梯形的高为 AB 的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变．【答案】C.【解析】当点 C 在线段 AB 上沿着从点 A 向点 B 的方向移动时，根据等边三角形的性质，等边△ACD 和△BCE 的高 DM 和 EN 的和不会改变，即 DM+EN= MC+ CN= AC+ CB= AB，而且 MN 的长度也不会改变，即 MN= AC+ CB= AB．∴四边形 DMNE 面积= AB2，∴面积不会改变．故选 C．【总结升华】考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．举一反三：【变式】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，AE=BE，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则 CE 的长为（　　）. A. B. C. 2.5 D.2.3　　 　　　　　　　　　【答案】D.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4.如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形 EFGH 是矩形；（2）若 E、F、G、H 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，且 DG⊥AC，OF=2cm，求矩形 ABCD 的面积．【思路点拨】（1）首先证明四边形 EFGH 是平行四边形，然后再证明 HF=EG；（2）根据题干求出矩形的边长 CD 和 BC，然后根据矩形面积公式求得．【答案与解析】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA=0B=OC=OD，∵AE=BF=CG=DH， ∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，即：OE=OF=OG=OH，∴四边形 EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是 OC 的中点，∴GO=GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO=∠DGC=90°，又∵DG=DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD=OD，∵F 是 BO 中点，OF=2cm，∴BO=4cm，∵四边形 ABCD 是矩形，∴DO=BO=4cm，∴DC=4cm，DB=8cm，∴CB= =4 ，∴矩形 ABCD 的面积=4×4 =16 cm2．【总结升华】主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．5．（2012•重庆）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 ME⊥CD 于点 E，∠1=∠2．（1）若 CE=1，求 BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME． 【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得 AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE，然后求出 CD 的长度，即为菱形的边长 BC 的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM 和△CFM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF，延长 AB 交DF 于点 G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得 AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF 和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明： 如图，∵F 为边 BC 的中点， ∴BF=CF= BC，∴CF=CE，在菱形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM 和△CFM 中，∵ ，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长 AB 交 DF 于点 G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF 和△BGF 中，∵ ，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知 ABC 的顶点 B、C 为定点，A 为动点(不在直线 BC 上)． 是点 B 关于直线 AC 的对称点， 是点 C 关于直线 AB 的对称点．连结 、 、 、 ．　(1)猜想线段 与 '的数量关系，并证明你的结论；…(2)当点 A 运动到怎样的位置时，四边形 为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点 A 在线段 BC 的垂直平分线 (BC 的中点及到 BC 的距离为 的点除外)上运动时，判断以点B、C、… 、 为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系． 【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点 B 关于直线 AC 的对称点∴AC 垂直平分 B B′∴BC= CB′同理 BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使 BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点 B 关于直线 AC 的对称点，C′是点 C 关于直线 AB 的对称点∴AC 垂直平分 B B′,AB 垂直平分 C C′,∴B B′、C C′应该同时过 A 点∴∠BAC=90°∴只要 AB⊥AC 即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当 A 是 BC 的中点时，没有形成四边形；当 A 到 BC 的距离为 BC 时,∵ 是 BC 的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当 BC 的中点及到 BC 的距离为 BC 的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC… O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行 C B′，B C′=C B′,四边形 BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 BC 的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC 与ED 相交于点 F．（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形 AECD 的面积． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形 ABCD 是等腰梯形．（2）当 AB⊥AC 时，四边形 AECD 是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形 AECD 是菱形．过 A 作 AG⊥BE 于点 G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE 是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG= ，∴S菱形 AECD=EC•AG=2× =2 .