中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在 中， ，则 ， ，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】a b、c2 2 2a b c ABC90C  2 2c a b 2 2b c a 2 2a c b a b c、 、2 2 2a b c  ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ，满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等；③用含字母的代数式表示 组勾股数：（ 为正整数）；　 （ 为正整数）（ ， 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且 ，那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？【思路点拨】这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑.仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由 可以设 AB=4a，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF 和 Rt△CDE 中，分别利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形.【答案与解析】设正方形 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在 Rt△CDE 中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在△DEF 中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2∴△DEF 是直角三角形，且∠DEF=90°.a b c2 2 2a b c a bc2 2 2a c b a b c b2 2 2a b c a b ca b c3,4,56,8,105,12,13 7,24,25n2 21,2 , 1n n n 2,n n2 22 1,2 2 ,2 2 1n n n n n   n2 2 2 2,2 ,m n mn m n ,m nm nABFB41ABFB41 【总结升华】本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题.举一反三： 【变式】如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）.A.14 B.16 C.20 D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则 BD 的长为（　　）.A. B. C. D. 【思路点拨】以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交⊙A 于 F，连接 DF．在△BDF 中，由勾股定理即可求出 BD 的长．【答案与解析】以 A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长 BA 交⊙A 于 F，连接 DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD= ．故选 B．【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以 A 为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．举一反三： 【变式】（2011 四川广安）如图所示，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC＝ 6cm，点是母线 上一点且 ＝ ．一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是（ ）. A．（ ）cm B．5cm C． cm D．7cm【答案】B.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用141523322 215BF DF PBC PC23BC643 5 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将 Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到 AB＝ ，再根据扇形的面积公式计算出 S扇形 ABD，由旋转的性质得到 Rt△ADE≌Rt△ACB，于是 S阴影部分＝S△ADE＋S扇形 ABD－S△ABC＝S扇形 ABD【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝ ，∴S扇形 ABD＝ ,又∴Rt△ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到 Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形 ABD－S△ABC＝S扇形 ABD＝ ．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式： ．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4. 如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为( ).A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【思路点拨】先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出 CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长．【答案与解析】∵四边形 ABCD 是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF 是直角三角形，∴CE=8-3=5，在 Rt△CEF 中，CF= ，设 AB=x，226360)2(30263602RnS 在 Rt△ABC 中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得 x=6，故选 D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011 台湾）如图为梯形纸片 ABCD，E 点在 BC 上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以 AE 为折线，将 C 折至 BE 上，使得 CD 与 AB 交于 F 点，则 BF 长度为何（　　）.A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．【高清课堂：勾股定理及其逆定理 例 9】5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE＝ 米时，有 DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设 AE＝x，可得 EC＝12－x，利用勾股定理得出 DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，即可求出 x 的值．【答案与解析】假设 AE＝x，可得 EC＝12－x，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6 米， ∴AC＝12 米，∵正方形 DEFH 的边长为 2 米，即 DE＝2 米，∴DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，∵DC2＝AE2＋BC2，∴4＋（12－x）2＝x2＋36，解得：x＝ ．故答案为： ．314314 【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出 CE，AE的长度是解决问题的关键．【高清课堂：勾股定理及其逆定理 例 4】6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为 6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线 AC 翻折 180°后，得等腰三角形 ABD，如图 1；二是延长 BC 至点 D，使 CD＝4，则 BD＝AB＝10，得等腰三角形 ABD，如图 2；三是作斜边 AB 的中垂线交 BC 的延长线于点 D，则 DA＝DB，得等腰三角形 ABD，如图 3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图 1 所示，原来的花圃为 Rt△ABC，其中 BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC 沿直线 AC 翻折 180°后，得等腰三角形 ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为 12＋10＋10＝32（m）．（2）如图 2，因为 BC＝6m，CD＝4m，所以 BD＝AB＝10m，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AD＝＝4 ，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为 4 ＋10＋10＝20＋4 ．（3）如图 3，设△ABD 中 DA＝DB，再设 CD＝xm，则 DA＝(x＋6)m，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 x2＋82＝(x＋6)2，解得 x＝∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x＋6)＝ （m）． 【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路． 举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃 ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，请求出这块花圃的面积．【答案】2284 5 5 537380图1668DCBA图2486BCAD图3x+6x68BCDA 作 CD⊥AB．∵∠A=30°，∴CD= AC= ×40=20（m），AD= （m），BD= 15（m）．（1）当∠ACB 为钝角时，AB=AD+BD= +15，∴S△ABC= AB•CD= （ +15）×20=（200 +150）（m2）．（2）当∠ACB 为锐角时，AB=AD-BD=20 -15．∴S△ABC= AB•CD= AB•CD= (20 -15)×20=（200 -150）（m2）．12122 220 3AC CD 2 2BC CD 20 3121220 3 331212123 3