全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=｛0,1,2｝，N= ，则 =( )A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝2.设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则 （ ）A. - 5 B. 5 C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b满足|a+b|= ，|a-b|= ，则a b = ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 54.钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=( )A. 5B. C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优 良的概率是（ ）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中 粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 7.执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.设 x,y 满足约束条件 ，则 的最大值 为（ ）A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.设 F 为抛物线 C: 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的 直线交C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. B. C. D. 11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12.设函数 .若存在 的极值点 满足 ，则 m 的取值范围是（） A. B. C. D.第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第 22题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题13. 的展开式中， 的系数为 15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数 的最大值为_________.15.已知偶函数 在 单调递减， .若 ，则 的取值范围是__________.16.设点 M（ ,1），若在圆 O: 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 =1， .（Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；（Ⅱ）证明： .18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC；（Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积.19. （本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，20. （本小题满分 12 分） 设 , 分别是椭圆 C: 的左,右焦点，M 是 C 上一点且 与x轴垂直，直线与 C 的另一个交点为 N.（Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；（Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ，求a,b.21. （本小题满分 12 分）已知函数 =（Ⅰ）讨论 的单调性；（Ⅱ）设 ，当 时， ,求 的最大值；（Ⅲ）已知 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10）选修 4—1：几何证明选讲如图，P 是O外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O于点 E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=223. （本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 ，.（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标.24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数 =（Ⅰ）证明： 2；（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、 填空题（13） （14）1 （15）（ ） （16）三、 解答题 （17）解： （I）由 得 。 又 ，所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列。 ，因此 的通项公式为 . （Ⅱ）由（I）知 因为当 时， ，所以 。于是 。所以 （18）解：（I）连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB。 EO 平面 AEC,PB 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC.（Ⅱ）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直。 如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系，则 . 设 ，则 。 设 为平面 ACE 的法向量，则 即 ，可取 。又 为平面 DAE 的法向量，由题设 ，即，解得 。因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 的高为 .三菱锥 的体积 .（19）解：（I） 由所给数据计算得 （1+2+3+4+5+6+7）=4 （2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3 =9+4+1+0+1+4+9=28 =（ 3）×（ 1.4）+（ 2）×（ 1）+（ 1）×（ 0.7）+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14. ， .所求回归方程为 .（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元。 将 2015 年的年份代号 t=9 带入（I）中的回归方程，得 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.（20）解：（I）根据 及题设知 将 代入 ，解得 （舍去） 故 C 的离心率为 . （Ⅱ）由题意，原点 为 的中点， ∥ 轴，所以直线 与 轴的交点 是线段的中点，故 ，即 ①由 得 。设 ，由题意知 ，则，即代入 C 的方程，得 。将①及 代入②得解得 ，故 .（21）解：（I） = ，等号仅当 时成立。所以 在（Ⅱ） = = = （i）当 时， ≥0，等号仅当 时成立，所以 在 单调递增。而=0，所以对任意 ； （ii）当 时，若 满足 ，即 时＜0.而 =0，因此当 时， ＜0.综上，b 的最大值为 2.（Ⅲ）由（Ⅱ）知， . 当 b=2 时， ＞0； ＞ ＞0.6928； 当 时， ， = ＜0， ＜ ＜0.6934 所以 的近似值为 0.693.（22）解：（I） 连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD，从而 。因此 BE=EC. （Ⅱ）由切割线定理得 。 因为 PA=PD=DC，所以 DC=2PB,BD=PB。由相交弦定理得 ， 所以 .（23）解： （I）C 的普通方程为 .可得 C 的参数方程为（t 为参数， ） （Ⅱ）设 D .由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， . 故 D 的直角坐标为 ，即 。（24）解：（I）由 ，有 . 所以 ≥2.（Ⅱ） .当时 a＞3 时， = ，由 ＜5 得 3＜a＜ 。当 0＜a≤3 时， = ，由 ＜5 得 ＜a≤3. 综上，a 的取值范围是（ ， ）.