中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图，在 中， ， 是 上异于 、 的一点，则 的值　是（ ）．A．16　　　 B．20 　　　C．25　　　 D．30　2. 如图 1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 → → → 方向运动至点 处停止．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图 2 所示，则当时，点 应运动到（ ）.　A． 处 　　　TB． 处 　　　TC． 处T　　　D． 处　　　　　　　　　　　　　　3．（2012•孝感）如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，E、F 分别是 AB，AD 的中点，DE、BF 相交于点 G，连接 BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；② BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④ S△ABD= AB2其中正确的结论有（　　）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）.A. 2004 B. 2005 C. 2006 D. 20075．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是 .若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）.　　A． T　　　B． 　　　 C． T　　　D． ∵K为BE的中点，BE=2AH, ∴BK=AH. ∵BK∥AH， ∴四边形AKBH为平行四边形. 又∵ , ∴四边形AKBH为矩形. ∴ . ∴AK是BE的垂直平分线. ∴AB=AE. ∵AB=AE，EC=BD，AC=AD, ∴ ≌ . ∴ . ∴ . 即 . ∵ ， 为锐角, ∴ . ∵AB=AE, ∴ . ∴ . ∴ =2 . ∴ =2 . ABCQRMD　　　　　　　第 5 题 第 6 题6. 如图,正方形ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．A．2 B． C． D．二、填空题7. 如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直　 时，菱形的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是_________． 第 7 题 第 8 题8. 如图，在等腰梯形 中， ， = 4 = ， =45°．直角三角板含 45°角　的顶点 在边 上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 ．若 为等腰三角　形，则 的长等于____________．T　　　9.（2012•锦州）如图，正方形 A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…，AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线 OA 上，点 B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线 OB 上．若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作 S1，S2，S3，…，Sn，则 Sn=________________-． 第 9 题 第 10 题10.（2012•深圳）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点 O，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 ，则另一直角边 BC 的长为　　 ．11.（2012•天津）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以顶点 A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，以顶点 C、D 为圆心，1 为半径的两弧交于点 F，则 EF 的长为　 ．4 πππ 1 第 11 题 第 12 题12.（2012•丽水）如图，在直角梯形 ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD= ，AB=6．在底边 AB上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得∠DEF=120°．（1）当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是______；（2）若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是_______.三、解答题13.如图，在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别按 A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A 的方向同时出发，以 1cm/s 的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形 EFGH 的面积为 S（cm2），运动时间为 t（s）．（1）试证明四边形 EFGH 是正方形；（2）写出 S 关于 t 的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？（3）是否存在某一时刻 t，使四边形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积比是 5：8？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由． 14.如图,在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，点 P 在线段 AB 上运动，设 AP=x，现将纸片还原，使点 D 与P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。（1）当 x=0 时，折痕 EF 的长为 ；当点与 E 与 A 重合时，折痕 EF 的长为 ；（2）请求出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出 x=2 时菱形的边长：（3）令 EF2为 y，当点 E 在 AD，点 F 在 BC 上时，写出 y 与 x 的函数关系式。当 y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似；若相似，求出 x 的值；若不相似，请说明理由。15.如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ，点 由B出发沿BD方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为 1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题：（1）当 为何值时， ？（2）设 的面积为 （cm2），求 与 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由．（4）连接 ，在上述运动过程中，五边形 的面积是否发生变化？说明理由． AEDQPBFCABCD1图ABCD2图ABCDH3图16.已知 ，以AC为边在 外作等腰 ，其中AC=AD.（1）如图 1，若 ，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则 °；（2）如图 2，若 ， 是等边三角形， AB=3，BC=4.求BD的长； （3）如图 3，若 为锐角，作 于H，当 时，是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论. 【答案与解析】一．选择题1．【答案】A．2．【答案】C.3．【答案】C．【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC 是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得 DG= CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出 BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边 BG≠FD，因为 BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF 不全等△CGB，即③错误；④ S△ABD= AB•DE= AB•（ BE）= AB• AB= AB2，即④正确．综上可得①②④正确，共 3 个．4．【答案】B.根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过 k 次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．因为这(k＋1)个多边形中有 34 个六十二边形，它们的内角和为 34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得 k≥2005．当我们按如下方式剪 2005 刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下 1 个三角形，得到 1个三角形和 1 个五边形；再在五边形上剪下 1 个三角形，得到 2 个三角形和 1 个六边形……如此下去，剪了 58 刀后，得到 58 个三角形和 1 个六十二边形．再取 33 个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到 33 个三角形和 33 个四边形，对这 33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪 58 刀，便34 个六十二边形和 33×58 个三角形．于是共剪了 58＋33＋33×58=2005（刀）．5．【答案】C.【解析】提示：可得 A(1,1)，B(1+ ,1).　 6．【答案】B. 【解析】根据题意得点 M 到正方形各顶点的距离都为 1，点 M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以 1 为半径的四个扇形，∴点 M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形 ABCD 的面积减去 4 个扇形的面积．而正方形 ABCD 的面积为 2×2=4，4 个扇形的面积为 4× =π，∴点 M 所经过的路线围成的图形的面积为 4 -π．二．填空题7．【答案】17.【解析】提示：当两张矩形纸条的对角线重合时，矩形纸条的一条对角线也是菱形的对角线，菱形的对角线有最大值，那么菱形的边长也有最大值。菱形的边长就成为不重叠的两个全等直角三角形的斜边，此时重叠部分的菱形有最大值.设菱形边长为 x,根据勾股定理，x²=2²+（8-x）², 解得：X=4.25，所以，周长为 4×4.25=17.T8．【答案】 .9．【答案】 .【解析】根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出 OB1=A1B1=1，求出A1C1=A2C1=1，A2C2=A3C2=2，A3C3=A4C3=4，根据三角形的面积公式求出 S1= ×20×20，S2=×21×21,S3= ×22×22，推出 Sn= ×2n-1×2n-1，求出即可． 10．【答案】7.【解析】如图 2 所示，过点 O 作 OM⊥CA，交 CA 的延长线于点 M；过点 O 作 ON⊥BC 于点 N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O 点在∠ACB 的平分线上，∴△OCM 为等腰直角三角形．∵OC=6 ，∴CM=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．11.【答案】 ﹣1．【解析】解：连接 AE，BE，DF，CF．∵以顶点 A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB 是等边三角形，∴边 AB 上的高线为： ，同理：CD 边上的高线为： ， 延长 EF 交 AB 于 N，并反向延长 EF 交 DC 于 M，则 E、F、M，N 共线，∵AE=BE，∴点 E 在 AB 的垂直平分线上，同理：点 F 在 DC 的垂直平分线上，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴MN⊥AB，MN⊥DC，设 F 到 AB 到距离为 x，E 到 DC 的距离为 x′，EF=y，由题意可知：x=x′，则 x+y+x=1，∵x+y= ，∴x=1﹣ ，∴EF=1﹣2x= ﹣1．12．【答案】6；2 或 5．【解析】（1）过 E 点作 EG⊥DF，由 E 是 AB 的中点，得出 DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由 tan60°= 即可求出 GF 的长，进而得出结论；（2）过点 B 作 BH⊥DC，延长 AB 至点 M，过点 C 作 CM⊥AB 于 F，则 BH=AD= ，再由锐角三角函数的定义求出 CH 及 BC 的长，设 AE=x，则 BE=6-x，利用勾股定理用 x 表示出 DE 及 EF 的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于 x 的方程，求出 x 的值即可．三.综合题13．【解析】（1）∵点 E，F，G，H 在四条边上的运动速度相同，∴AE=BF=CG=DH，在正方形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，且 AB=BC=CD=DA，∴EB=FC=GD=HA，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），∴四边形 EFGH 是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），又∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，∴四边形 EFGH 为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．（2）∵运动时间为 t（s），运动速度为 1cm/s，∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，由（1）知四边形 EFGH 为正方形，∴S=EH2=AE2+AH2=t2+（4-t）2即 S=2t2-8t+16=2（t-2）2+8，当 t=2 秒时，S 有最小值，最小值是 8cm2；（3）存在某一时刻 t，使四边形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积 比是 5：8．∵S= S正方形 ABCD，∴2（t-2）2+8= ×16，∴t1=1，t2=3；当 t=1 或 3 时，四边形 EFGH 的面积与正方形 ABCD 的面积的比是 5：8．14．【解析】（1）∵纸片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF，当 AP=x=0 时，点 D 与点 P 重合，即为 A，D 重合，B，C 重合，那么 EF=AB=CD=3； 当点 E 与点 A 重合时，∵点 D 与点 P 重合是已知条件，∴∠DEF=∠FEP=45°，∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，利用勾股定理得出 EF=∴折痕 EF 的长为 ；（2）∵要使四边形 EPFD 为菱形，∴DE=EP=FP=DF，只有点 E 与点 A 重合时，EF 最长为 ，此时 x=1，当 EF 最短时，即 EF=BC，此时 x=3，∴探索出 1≤x≤3当 x=2 时，如图，连接 DE、PF．∵EF 是折痕，∴DE=PE，设 PE=m，则 AE=2-m∵在△ADE 中，∠DAE=90°，∴AD2+AE2=DE2，即 12+（2-m）2=m2解得 m= ，此时菱形 EPFD 的边长为 ．（3）过 E 作 EH⊥BC；∵∠OED+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，∴∠ODE=∠FEO，∴△EFH∽△DPA，∴ ，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；当 F 与点 C 重合时，如图，连接 PF；∵PF=DF=3，∴PB= =2 ，∴0≤x≤3-2 ．15．【解析】（1）∵PE∥AB，∴ ．而 DE=t，DP=10-t，∴ ，∴t= ， ∴当 t= （s），PE∥AB．（2）∵线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，∴EF 平行且等于 CD，∴四边形 CDEF 是平行四边形．∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．∵BC=BD=10，∴△DEQ∽△BCD．∴ ．． ∴EQ= t．过 B 作 BM⊥CD，交 CD 于 M，过 P 作 PN⊥EF，交 EF 于 N，∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，∴CM= CD=2cm，∴BM= = cm，∵EF∥CD，∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，又∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BQF=∠BFG，∵ED∥BC，∴∠DEQ=∠QFB，又∵∠EQD=∠BQF，∴∠DEQ=∠DQE，∴DE=DQ，∴ED=DQ=BP=t，∴PQ=10-2t．又∵△PNQ∽△BMD，∴ ．∴ ．∴PN=4 (1- )． AEBCD2图3图ABCDHEK∴S△PEQ= EQ•PN= × t× (1- )= .（3）S△BCD= CD•BM= ×4×4 =8 ，若 S△PEQ= S△BCD，则有 = ×8 ，解得 t1=1，t2=4．（4）在△PDE 和△FBP 中，∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，∴△PDE≌△FBP（SAS）．∴S五边形 PFCDE=S△PDE+S四边形 PFCD=S△FBP+S四边形 PFCD=S△BCD=8 ．∴在运动过程中，五边形 PFCDE 的面积不变．16. 【解析】（1）45； （2）如图 2，以A为顶点AB为边在 外作 =60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE.∵ 是等边三角形,∴AD=AC， =60°.∵ =60°,∴ + = + .即 = .∴ ≌ . ∴EC=BD.∵ =60°，AE=AB=3,∴ 是等边三角形，∴ =60°, EB= 3， ∵ ,∴ .∵ ，EB=3，BC=4,∴EC=5.∴BD=5. （3） =2 成立. 以下证明：如图３，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连结EA，EC. 并取BE的中点K，连结AK. ∵ 于H， ∴ . ∵BE∥AH, ∴ . ∵ ，BE=2AH, ∴ . ∵ , ∴EC=BD.