中考总复习:特殊三角形--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-21 12:06:34浏览次数:4
中考总复习:特殊三角形—知识讲解(基础)【考纲要求】【高清课堂:等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念,会识别这三种图形;理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定;2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题;3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质:  (1)具有三角形的一切性质.  (2)两底角相等(等边对等角)  (3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(三线合一)  (4)等边三角形的各角都相等,且都等于 60°. 3.判定:  (1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);  (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;  (3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释:  (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;  (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形1.直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2 性质: (1)直角三角形中两锐角互余. (2)直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30°. (4)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定:  (1)有两内角互余的三角形是直角三角形.  (2)一条边上的中线等于该边的一半,则这条边所对的角是直角,这个三角形是直角三角形.  (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形,第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形 1.如图,等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )  A.顶角的 2 倍    B.顶角的一半    C.顶角    D.底角的一半     【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图,△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D,所以∠ABC=∠C,∠BDC=90°,所以∠DBC=90°-∠C=90°- (180-∠A)= ∠A,【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立;总结规律,等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三: 【变式】如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形有( )A.5 个    B.4 个    C.3 个    D.2 个【答案】A.2.如图,已知 AB=AC,BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线,AM⊥BD 于点 M,AN⊥CE 于点 N,求证:ΔAMN 是等腰三角形.【思路点拨】证明等腰三角形两个思路,一是证明有两个等角,二是证明有两个等边,结合条件考虑选择哪种方式.【答案与解析】∵AB=AC.∴∠ABC=∠ACB;又 BD 和 CE 均为角平分线.∴∠ABD=∠ACE;又 AB=AC,∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(ASA),AE=AD;∠AEC=∠ADB.又∠ANE=∠AMD=90°.∴△ANE≌△AMD(AAS)即 AN=AM.【总结升华】证明等腰三角形可以证明两边相等,也可以证明两底角相等.类型二、直角三角形 3.将一张矩形纸片 如图所示折叠,使顶点 落在 点.已知 , ,则折痕 的长为( ) A.    B.     C.    D.        【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形,在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余,三边满足勾股定理和直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知,∠CED=∠C′ED =30°,因为在矩形 ABCD 中,∠C 等于 90°,CD=AB=2,    所以在 Rt△DCE 中,DE=2CD=4.故选 C.  【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等,对应的角相等.【变式】 如图,一张直角三角形纸片,两直角边 AC=4cm,BC=8cm,将△ABC 折叠,点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 DE 的长为( ). A.     B.    C.     D.5                  【答案】B. 解析:由折叠可知,AD=BD,DE⊥AB, ∴BE= AB    设 BD 为 x,则 CD=8-x    ∵∠C=90°,AC=4,BC=8,∴AC2+BC2=AB2     ∴AB2=42+82=80,∴AB= ,∴BE=   在 Rt△ACD 中,AC2+CD2=AD2 ,∴42+(8-x)2=x2,解得 x=5   在 Rt△BDE 中,BE2+DE2=BD2,即( )2+DE2=52,∴DE= , 故选 B.4.已知:在直角△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 且交 AC 于 D.  (1)若∠BAC=30°,求证: AD=BD;  (2)若 AP 平分∠BAC 且交 BD 于 P,求∠BPA 的度数.                                图 1          图 2【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余,求得∠ABD=∠A=30°,得出 AD=BD.    (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】 (1)证明:∵∠BAC=30°,∠C=90°,∴∠ABC=60°       又∵ BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=30°,∴ ∠BAC =∠ABD,∴BD=AD; (2)解法一: ∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°      ∴ =45°      ∵ BD 平分∠ABC,AP 平分∠BAC       ∠BAP= ,∠ABP=        即∠BAP+∠ABP=45°      ∴∠APB=180°-45°=135° 解法二: ∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°      ∴ =45°      ∵BD 平分∠ABC,AP 平分∠BAC       ∠DBC= ,∠PAC=     ∴∠DBC+∠PAD=45°     ∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°. 【总结升华】本题利用了:1、直角三角形的性质,两锐角互余,2、角的平分线的性质,3、三角形的外角与内角的关系.类型三、综合运用5 . 已知 ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根,第三边 BC 的长为 5. (1)k 为何值时,ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形? (2)k 为何值时,ΔABC 是等腰三角形?并求出 ΔABC 的周长。【思路点拨】△ABC 的两边的长是关于 x 的一元二次方程的两个实数根,应该想到一元二次方程中根与系数的关系.【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根, ∴AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2 又∵ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,BC=5 ∴ ∴ 即 ∴ 当 k=-5 时,方程为 解得 (不合题意,舍去) 当 k=2 时,方程为 解得 ∴当 k=2 时,ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.(2)当 ΔABC 是等腰三角形时,则有① AB=AC,②AB=BC,③AB=BC 三种情况:∵△= =1>0∴AB≠AC,故第一种情况不成立;当 AB=BC 或 AC=BC 时,5 是方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的根∴当 k=3 时, ,∴∴等腰三角形的边长分别是 5,5,4.周长为 14;当 k=4 时, ,∴所以等腰三角形的边长是 5,5,6,周长是 16.【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.【变式】已知等腰三角形三边的长为 a、b、c 且 a=c,若关于 x 的一元二次方程 ax2- bx+c=0 的两根之差为 ,则等腰三角形的一个底角是( ). A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.6.已知,如图,∠1=12°,∠2=36°,∠3=48°,∠4=24°. 求 的度数. 【思路点拨】直接求 很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与 全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求.【答案与解析】将 沿 AB 翻折,得到 ,连结 CE,则 ,∴ ∠1=∠5=12°.∴ 60°∵ 48°∴ .又∵∠2=36°, 72°,∴∴BE=BC∴ 为等边三角形. ∴又 垂直平分 BC.∴AE 平分 .∴ 30°∴∠ADB=30°【总结升华】不规则图形题求解时,运用翻折,平移,旋转是主要的思路.【高清课堂:等腰三角形与直角三角形 例 6】【变式】如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AE 平分∠BAC 交 BC 于 E,BD⊥AE 于D,DM⊥AC 交 AC 的延长线于 M,连接 CD,给出四个结论:①∠ADC=45°;② BD= AE;③ AC+CE=AB;④ AB-BC=2MC;其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个【答案】D.21
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