中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：　　(1)具有三角形的一切性质.　　(2)两底角相等(等边对等角)　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60°. 3.判定：　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；　　(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.　要点诠释：　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2 性质：　(1)直角三角形中两锐角互余.　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°.　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形 1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )　　A.顶角的 2 倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半　　　　　【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图，△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于 D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°- (180-∠A)= ∠A，【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三： 【变式】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A．5 个 　　　B．4 个　　　 C．3 个　　　 D．2 个【答案】A．2．如图,已知 AB=AC，BD、CE 分别是∠B、∠C 的平分线，AM⊥BD 于点 M，AN⊥CE 于点 N，求证：ΔAMN 是等腰三角形.【思路点拨】证明等腰三角形两个思路，一是证明有两个等角，二是证明有两个等边，结合条件考虑选择哪种方式.【答案与解析】∵AB=AC.∴∠ABC=∠ACB;又 BD 和 CE 均为角平分线.∴∠ABD=∠ACE;又 AB=AC,∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(ASA),AE=AD;∠AEC=∠ADB.又∠ANE=∠AMD=90°.∴△ANE≌△AMD(AAS)即 AN=AM.【总结升华】证明等腰三角形可以证明两边相等，也可以证明两底角相等.类型二、直角三角形 3．将一张矩形纸片 如图所示折叠，使顶点 落在 点.已知 ， ，则折痕 的长为( ) A. 　　　B. 　　　 C. 　　　D. 　　　　　　　【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形 ABCD 中，∠C 等于 90°，CD=AB=2，　　　　所以在 Rt△DCE 中，DE=2CD=4.故选 C.　　【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC=4cm，BC=8cm，将△ABC 折叠，点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 DE 的长为( )．　A. 　　　 B. 　　　C. 　　　 D.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】B. 解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE= AB　　　 设 BD 为 x，则 CD=8-x　　　 ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2 　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB= ，∴BE=　　　在 Rt△ACD 中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得 x=5　　　在 Rt△BDE 中，BE2+DE2=BD2，即( )2+DE2=52，∴DE= ， 故选 B.4．已知：在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交 AC 于 D.　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；　　(2)若 AP 平分∠BAC 且交 BD 于 P，求∠BPA 的度数. 　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　图 1 　　　　　　　　　图 2【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30°，得出 AD=BD.　　　 (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°　　　　　　 又∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD； (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°　　　　　　∴ =45°　　　　　　∵ BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC　　　　　 　∠BAP= ，∠ABP=　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°　　　　　 ∴ =45°　　　　　 ∵BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC　　　　　　　∠DBC= ，∠PAC=　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°. 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．类型三、综合运用5 . 已知 ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5. （1）k 为何值时，ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形？并求出 ΔABC 的周长。【思路点拨】△ABC 的两边的长是关于 x 的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根, ∴AB+AC=2k+3,AB×AC= k2+3k+2 又∵ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC=5 ∴ ∴ 即 ∴ 当 k=-5 时，方程为 解得 （不合题意，舍去） 当 k=2 时，方程为 解得 ∴当 k=2 时，ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.(2)当 ΔABC 是等腰三角形时，则有① AB=AC,②AB=BC,③AB=BC 三种情况：∵△= =1>0∴AB≠AC,故第一种情况不成立；当 AB=BC 或 AC=BC 时，5 是方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的根∴当 k=3 时， ，∴∴等腰三角形的边长分别是 5,5,4.周长为 14；当 k=4 时， ，∴所以等腰三角形的边长是 5,5,6，周长是 16.【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.【变式】已知等腰三角形三边的长为 a、b、c 且 a=c，若关于 x 的一元二次方程 ax2- bx+c=0 的两根之差为 ，则等腰三角形的一个底角是（ ）. A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.6．已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求 的度数． 【思路点拨】直接求 很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与 全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．【答案与解析】将 沿 AB 翻折，得到 ，连结 CE，则 ，∴ ∠1＝∠5＝12°.∴ 60°∵ 48°∴ ．又∵∠2＝36°， 72°，∴∴BE＝BC∴ 为等边三角形. ∴又 垂直平分 BC．∴AE 平分 ．∴ 30°∴∠ADB＝30°【总结升华】不规则图形题求解时，运用翻折，平移，旋转是主要的思路.【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例 6】【变式】如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，BD⊥AE 于D，DM⊥AC 交 AC 的延长线于 M，连接 CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；② BD= AE；③ AC+CE=AB；④ AB-BC=2MC；其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个【答案】D.21