中考总复习:锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)

发布时间:2024-06-01 11:06:32浏览次数:6
中考总复习:锐角三角函数综合复习—知识讲解(提高)【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A 所对的边 BC 记为 a,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边,∠B 所对的边 AC 记为 b,叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边,直角 C 所对的边 AB 记为 c,叫做斜边. 锐角 A 的对边与 斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sinA,即;锐角 A 的邻边与 斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cosA,即;锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作 tanA,即 .同理 ; ; .要点诠释:  (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.  (2)sinA,cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成 , ,,不能理解成 sin 与∠A,cos 与∠A,tan 与∠A 的乘积.书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外, 、 、 常写成 、 、 .  (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.ABCabc (3)作 BD⊥AC 于 D,则 BC=25, 204. 当 AC=3 时,∠ACB 为钝角,BC=25, .【总结升华】 对一个斜三角形,通常可以作一条高,将它转化为两个直角三角形,并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如 30°、45°、60°的角),然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小.举一反三:【变式】如图,AB 是江北岸滨江路一段,长为 3 千米,C 为南岸一渡口,为了解决两岸交通困难,拟在渡口 C 处架桥.经测量得 A 在 C 北偏西 30°方向,B 在 C 的东北方向,从 C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米?(精确到 0.1 千米)            【答案】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.             CD 就是连接两岸最短的桥.设 CD=x(千米).    在直角三角形 BCD 中,∠BCD=45°,所以 BD=CD=x.    在直角三角形 ACD 中,∠ACD=30°,所以 AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°= x.    因为 AD+DB=AB,所以 x+ x=3,x= ≈1.9(千米). 答:从 C 处连接两岸的最短的桥长约为 1.9 千米.类型三、解直角三角形及应用4.如图所示,D 是 AB 上一点,且 CD⊥AC 于 C, , ,AC+CD=18,求 tanA 的值和 AB 的长.【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题,转化的目标主要有两个,一是构造可解的直角三角形;二是利用已知条件通过设参数列方程.【答案与解析】解:作 DE∥AC 交 CB 于 E,则∠EDC=∠ACD=90°. ∵ ,设 CD=4k(k>0),则 CE=5k,由勾股定理得 DE=3k. ∵△ACD 和△CDB 在 AB 边上的高相同,∴AD:DB= .即 .∴ . ∵AC+CD=18, ∴5k+4k=18,解得 k=2. ∴ . ∴AB=AD+DB=AD+ AD= .【总结升华】在解直角三角形时,常用的等量关系是:勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等.5.如图所示,山脚下有一棵树 AB,小华从点 B 沿山坡向上走 50 m 到达点 D,用高为 1.5m 的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10°,已知山坡的坡角为 15°,求树 AB 的高(精确到 0.1m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题,可以通过添加辅助线构造直角三角形来解.【答案与解析】解:如图所示,延长 CD 交 PB 于 F,则 DF⊥PB. ∴DF=DB·sinl5°≈50×0.26=13.0, CE=BF=DB·cos15°≈50×0.97=48.5. ∴AE=CE·tan10°≈48.5×0.18=8.73. ∴AB=AE+CD+DF=8.734+1.54+13.0≈23.2(m).答:树高约为 23.2 m.【总结升华】 一些特殊的四边形,可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解.举一反三:【变式】如图所示,正三角形 ABC 的边长为 2,点 D 在 BC 的延长线上,CD=3. (1)动点 P 在 AB 上由 A 向 B 移动,设 AP=t,△PCD 的面积为 y,求 y 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围;(2)在(1)的条件下,设 PC=z,求 z 与 t 之间的函数关系式. 【答案】解:(1)作 PE⊥BC 于 E,则 BP=AB-AP=2-t(0≤t<2).∵∠B=60°,∴ ,即 .(2)由(1)不难得出, , .∴ .∵ .∴ .6.如图(1)所示,一架长 4 米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙 ON 上,梯子与地面的倾斜角 α 为 60°. (1)求 AO 与 BO 的长. (2)若梯子顶端 A 沿 NO 下滑,同时底端 B 沿 OM 向右滑行. ①如图(2)所示,设 A 点下滑到 C 点,B 点向右滑行到 D 点,并且 AC:BD=2:3,试计算梯子顶端 A 沿 NO 下滑了多少米;②如图(3)所示,当 A 点下滑到 A′点,B 点向右滑行到 B′点时,梯子 AB 的中点 P 也随之运动到 P′点,若∠POP′=15°,试求 AA′的长. 【思路点拨】(1)在直角△AOB 中,已知斜边 AB,和锐角∠ABO,即可根据正弦和余弦的定义求得 OA,OB 的长;(2)△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形,根据等腰三角形的两底角相等,即可求得∠PAO 的度数, 和∠P′A′O 的度数,在直角△ABO 和△A′B′O 中,根据三角函数即可求得 OA 与 OA′,即可求得AA′的长.【答案与解析】解:(1)Rt△AOB 中,∠O=90°,α=60°, ∴∠OAB=30°.又 AB=4 米, ∴OB= AB=2 米. OA=AB·sin 60°=4× = (米). (2)① 设 AC=2x,BD=3x, 在 Rt△COD 中, OC= ,OD=2+3x,CD=4, 根据勾股定理:OC2+OD2=CD2, ∴ . ∴ . ∵x≠0,∴ .∴ .. 即梯子顶端 A 沿 NO 下滑了 米. ②∵点 P 和点 P′分别是 Rt△AOB 的斜边 AB 与 Rt△A′OB′的斜边 A′B′的中点, ∴PA=PO,P′A′=P′O. ∴∠PAO=∠AOP,∠P′A′O=∠A′OP′. ∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°. ∵∠PAO=30°, ∴∠P′A′O=45°. ∴A′O=A′B′·cos 45°= .∴AA′=OA-A′O= 米.【总结升华】解答本题的关键是理解题意.此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而求出∠P′A′O=45°,让我们感受到了数学题真的很有意思,做数学题是一种享受.   (4)由锐角三角函数的定义知:当角度在 0°<∠A<90°之间变化时, , ,tanA>0.考点二、特殊角的三角函数值   利用三角函数的定义,可求出 0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下: 要点诠释:  (1)通过该表可以方便地知道 0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ,则锐角.  (2)仔细研究表中数值的规律会发现:     、 、 、 、 的值依次为 0、 、 、 、1,而 、、 、 、 的值的顺序正好相反, 、 、 的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在 0°<∠A<90°之间变化时,    ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)    ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°.  (1)互余关系: , ;  (2)平方关系: ;  (3)倒数关系: 或 ;  (4)商数关系: .   要点诠释:  锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形  在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.  在直角三角形中,除直角外,一共有 5 个元素,即三条边和两个锐角.  设在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,则有:  ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).  ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.  ③边角之间的关系:    , , ,    , , .  ④ ,h 为斜边上的高.要点诠释:  (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°),是已知的值.  (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).  (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件 解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由 求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由 求∠A,∠B=90°-∠A,一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,,锐角、对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A,, 斜边、锐角(如 c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点诠释:  1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.  2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.  解这类问题的一般过程是:  (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.  (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.  (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.  (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.  拓展:  在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:  (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母 表示.  坡度(坡比):坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度,用字母 表示,则 ,如图,坡度通常写成 = ∶ 的形式.                    (2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.                   (3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向 PA,PB,PC 的方位角分别为是 40°,135°,245°.               (4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线 OA,OB,OC,OD 的方向角分别表示北偏东 30°,南偏东 45°,南偏西 80°,北偏西 60°.特别如:东南方向指的是南偏东 45°,东北方向指的是北偏东 45°,西南方向指的是南偏西 45°,西北方向指的是北偏西 45°.要点诠释:  1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.  2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:        3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, (1)三边之间的关系: ; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边与角之间的关系: , , , . (4) 如图,若直角三角形 ABC 中,CD⊥AB 于点 D,设 CD=h,AD=q,DB=p,则由△CBD∽△ABC,得 a2=pc;由△CAD∽△BAC,得 b2=qc;由△ACD∽△CBD,得 h2=pq; 由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积,得 ab=ch.(5)如图所示,若 CD 是直角三角形 ABC 中斜边上的中线,则 ① CD=AD=BD= AB; ②点 D 是 Rt△ABC 的外心,外接圆半径 R= AB.(6)如图所示,若 r 是直角三角形 ABC 的内切圆半径,则 .直角三角形的面积:①如图所示, .(h 为斜边上的高) ②如图所示, .【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例 2】1.(1)如图所示,在△ABC 中,若∠C=90°,∠B=50°,AB=10,则 BC 的长为( ). A.10·tan50° B.10·cos50° C.10·sin50° D.(2)如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,sinA= ,求 cosA+tanB 的值.(3)如图所示的半圆中,AD 是直径,且 AD=3,AC=2,则 sinB 的值等于________.【思路点拨】(1)在直角三角形中,根据锐角三角函数的定义,可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边. (2)直角三角形中,某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比.知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小,可以用比例系数 k 表示各边. (3)要求 sinB 的值,可以将∠B 转化到一个直角三角形中.【答案与解析】 (1)选 B. (2)在△ABC,∠C=90°, . 设 BC=3k,则 AB=5k(k>0). 由勾股定理可得 AC=4k, ∴ . (3)由已知,AD 是半圆的直径,连接 CD,可得∠ACD=90°∠B=∠D,所以 sinB=sinD= . 【总结升华】 已知一个角的某个三角函数值,求同角或余角的其他三角函数值时,常用的方法是:利用定义,根据三角函数值,用比例系数表示三角形的边长; (2)题求 cosA 时,还可以直接利用同角三角函数之间的关系式 sin2 A+cos2 A=1,读者可自己尝试完成.举一反三:【变式】Rt△ABC 中,∠C=90°,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,那么 c 等于( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】选 B.过点 C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt△ACD 中, ,所以 AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以 cosA=sinB,cosB=sinA,所以 c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂:锐角三角函数综合复习 例 1】2.解答下列各题: (1)化简求值: ; (2)在△ABC 中,∠C=90°,化简 .【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式 sin2 A+cos2 A=1 对根号内的式子进行变形,配成完全平方的形式.【答案与解析】解 (1) (2)∵,∴ .【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式:1±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.例如,若设 sinα+cosα=t,则 .举一反三:【高清课堂:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例 1】 【变式】若 , ,(2α,β 为锐角),求 的值.【答案】∵ ,且 2α 为锐角,∴2α=60°,α=30°.∴ ,∴β=45°.∴ .3. (1)如图所示,在△ABC 中,∠ACB=105°,∠A=30°,AC=8,求 AB 和 BC 的长; (2)在△ABC 中,∠ABC=135°,∠A=30°,AC=8,如何求 AB 和 BC 的长?(3)在△ABC 中,AC=17,AB=26,锐角 A 满足 ,如何求 BC 的长及△ABC 的面积?若 AC=3,其他条件不变呢? 【思路点拨】 第(1)题的条件是“两角一夹边”.由已知条件和三角形内角和定理,可知∠B=45°;过点 C 作CD⊥AB 于 D,则 Rt△ACD 是可解三角形,可求出 CD 的长,从而 Rt△CDB 可解,由此得解;第(2)题的条件是“两角一对边”;第(3)题的条件是“两边一夹角”,均可用类似的方法解决.【答案与解析】 解: (1)过点 C 作 CD⊥AB 于 D.∵∠A=30°,∠ACD=105°,∴∠B=45°. ∵AC·sinA=CD=BC·sin B, ∴ .∴AB=AD+BD=AC·cosA+BC·cosB=8cos30°+ cos45°= . (2)作 CD⊥AB 的延长线于 D,则 AB= , .
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