中考总复习:特殊三角形--巩固练习(提高)

发布时间:2024-06-16 13:06:19浏览次数:124
中考总复习:全等三角形—巩固练习(提高)【巩固练习】一、选择题1. 已知等边△ABC 的边长为 a,则它的面积是( ) A. a2    B. a2    C. a2    D. a22.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,若 AC 平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论中:(1)AC⊥BD;(2)BC=DE;(3)∠DBC= ∠DAB;(4)△ABE 是正三角形,其中正确的是(  )A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(3)和(4) D.(1)和(4) 3.如图,等腰三角形 ABC 中,∠BAC=90°,在底边 BC 上截取 BD=AB,过 D 作 DE⊥BC 交 AC 于 E,连接 AD,则图中等腰三角形的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.44.如图,三角形纸片 ABC 中,∠B=2∠C,把三角形纸片沿直线 AD 折叠,点 B 落在 AC 边上的 E 处,那么下列等式成立的是(  )A.AC=AD+BD B.AC=AB+BD C.AC=AD+CD D.AC=AB+ CD 5.(2012•镇江)边长为 a 的等边三角形,记为第 1 个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第 1 个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第 2 个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第 2 个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,则第 6 个正六边形的边长为(  )A. B. C. D. 6. 用含 30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形,下列四种图形:①平行四边形,②菱形,③矩形,④直角梯形,其中可以被拼成的图形是(  )A.①② B.①③ C.③④ D.①②③二、填空题7.如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合),在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ.以下五个结论:① AD=BE;② PQ∥AE;③ AP=BQ;④ DE=DP; ⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).8.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 ,那么在大量角器上对应的度数为_____ (只需写出 ~ 的角度).    9. 若直角三角形两直角边的和为 3,斜边上的高为 ,则斜边的长为 .10.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,△BPC 是等边三角形,则△CDP 的面积是_________;△BPD的面积是_________.         11.如图,P 是正三角形 ABC 内的一点,且 PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后,得到△P′AB ,则点 P 与点 P′ 之间的距离为_________,∠APB=_________.    12..以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1,……,如此作下去,若 OA=OB=1,则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn=________.三、解答题13. 已知:在△ABC 中,∠ABC=90°,点 E 在直线 AB 上,ED 与直线 AC 垂直,垂足为 D,且点 M 为 EC 中点,连接 BM,DM.(1)如图 1,若点 E 在线段 AB 上,探究线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论;(2)如图 2,若点 E 在 BA 延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若点 E 在 AB 延长线上,请你根据条件画出相应的图形,并直接写出线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系.  14. (1) 如图 1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.  求证:BE=CF.              图 1(2) 如图 2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF=4.求GH的长.            图 2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:① 如图 3,矩形ABCD由 2 个全等的正方形组成,求GH的长;② 如图 4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).            图 3                图 4  15.①如图 1,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边(不含端点 B、C)上任意一点,P 是 BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.证明:在边 AB 上截取 AE=MC,连 ME.正方形 ABCD 中,∠B=∠BCD=90°,   AB=BC.∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.    (下面请你完成余下的证明过程)       ②若将①中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”(如图 2),N 是∠ACP 的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论 AM=MN 是否还成立?请说明理由.        ③若将①中的“正方形 ABCD”改为“正 边形 ABCD…X”,请你做出猜想:   当∠AMN=_____________°时,结论 AM=MN 仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)  16.如图,四边形 ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN,连接 EN、AM、CM.  ⑴ 求证:△AMB≌△ENB;  ⑵ ①当 M 点在何处时,AM+CM 的值最小;    ②当 M 点在何处时,AM+BM+CM 的值最小,并说明理由;  ⑶ 当 AM+BM+CM 的最小值为 时,求正方形的边长.  【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做.(1)AB=AE,所以△ABE 是等腰的,等腰三角形底角∠AEB 不可能 90°,所以 AC⊥BD 不成立.排除 A,D;(2)∵AC 平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.∴△DAE≌△CAB,∴BC=DE 成立,排除 C. 3.【答案】D.【解析】三角形 ABC 是等腰三角形,且∠BAC=90°,所以∠B=∠C=45°,又 DE⊥BC,所以∠DEC=∠C=45°,所以△EDC 是等腰三角形,BD=AB,所以△ABD 是等腰三角形,∠BAD=∠BDA,而∠EAD=90°-∠BAD,∠EDA=90°-∠BDA,所以∠EAD=∠EDA,所以△EAD 是等腰三角形,因此图中等腰三角形共 4 个.4.【答案】B.【解析】根据题意证得 AB=AE,BD=DE,DE=EC.据此可以对以下选项进行一一判定.选 B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】 当把完全重合的含有 30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况:(1)当把 60 度角对的边重合,且两个直角的顶角也重合时,所成的图形是等边三角形; (2)当把 30 度角对的边重合,且两个直角的顶角也重合时,所成的图形是等腰三角形;(3)当斜边重合,且一个三角形的 30 度角的顶点与另一个三角形 60 度角的顶点重合时,所成的图形是矩形,矩形也是平行四边形.选 B二、填空题7.【答案】①②③⑤.【解析】提示:证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.8.【答案】50°.9.【答案】 .【解析】设直角边为 a,b,斜边为 c,则 + =3, , ,代入即可.10.【答案】1, .【解析】∵△BPC 是等边三角形,∴∠PCD=30°做 PE⊥CD,得 PE=1,即△CDP 的面积是= ×2×1=1;根据即可推得 .11.【答案】6 ,150°.12.【答案】 .三、解答题13.【答案与解析】(1)结论:BM=DM,∠BMD=2∠BCD.理由:∵BM、DM 分别是 Rt△DEC、Rt△EBC 的斜边上的中线,∴BM=DM= CE;又∵BM=MC,∴∠MCB=∠MBC,即∠BME=2∠BCM;同理可得∠DME=2∠DCM;∴∠BME+∠DME=2(∠BCM+∠DCM),即∠BMD=2∠BCD.(2)在(1)中得到的结论仍然成立.即 BM=DM,∠BMD=2∠BCD证法一:∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点,∴BM= EC=MC,又点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点,∴DM= EC=MC,∴BM=DM; ∵BM=MC,DM=MC,∴∠CBM=∠BCM,∠DCM=∠CDM,∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2(∠BCM+∠DCM)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD.证法二:∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点,∴BM= EC=ME;又点 M 是 Rt△DEC 的斜边 EC 的中点,∴DM= EC=MC,∴BM=DM;∵BM=ME,DM=MC,∴∠BEC=∠EBM,∠MCD=∠MDC,∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD,∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME),=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD.(3)所画图形如图所示:图 1 中有 BM=DM,∠BMD=2∠BCD;图 2 中∠BCD 不存在,有 BM=DM;图 3 中有 BM=DM,∠BMD=360°-2∠BCD.解法同(2).14.【答案与解析】(1) 证明:如图 1,∵ 四边形ABCD为正方形,   ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,    ∴ ∠EAB+∠AEB=90°.   ∵ ∠EOB=∠AOF=90°,   ∴ ∠FBC+∠AEB=90°,∴ ∠EAB=∠FBC,    ∴ △ABE≌△BCF , ∴ BE=CF. (2) 解:如图 2,过点A作AM//GH交BC于M, 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/, 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,  ∴ EF=BN,GH=AM,  ∵ ∠FOH=90°, AM//GH,EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴ AM=BN, ∴ GH=EF=4.  (3) ① 8.② 4n. 15.【答案与解析】(1)∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°,       ∵CN 平分∠DCP,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=∠MCN=135°      在△AEM 和△MCN 中:∵ ∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN    (2)仍然成立.       在边 AB 上截取 AE=MC,连接 ME       ∵△ABC 是等边三角形,       ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,       ∴∠ACP=120°.       ∵AE=MC,∴BE=BM       ∴∠BEM=∠EMB=60°       ∴∠AEM=120°.       ∵CN 平分∠ACP,∴∠PCN=60°,       ∴∠AEM=∠MCN=120°       ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM       ∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN    (3)16.【答案与解析】⑴ ∵△ABE 是等边三角形,          ∴BA=BE,∠ABE=60°.          ∵∠MBN=60°,          ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.          即∠BMA=∠NBE.          又∵MB=NB,          ∴△AMB≌△ENB(SAS).        ⑵ ①当 M 点落在 BD 的中点时,AM+CM 的值最小.          ②如图,连接 CE,当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,          AM+BM+CM 的值最小. 理由如下:连接 MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,          ∴AM=EN.          ∵∠MBN=60°,MB=NB,          ∴△BMN 是等边三角形.          ∴BM=MN.          ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.           根据“两点之间线段最短”,得 EN+MN+CM=EC 最短          ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时,AM+BM+CM 的值最小,即等于 EC 的长.        ⑶ 过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F,          ∴∠EBF=90°-60°=30°.          设正方形的边长为 x,则 BF= x,EF= .          在 Rt△EFC 中,∵EF2+FC2=EC2,          ∴( )2+( x+x)2= .           解得,x= (舍去负值).           ∴正方形的边长为 . 
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