中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．　已知等边△ABC 的边长为 a，则它的面积是（ ）　A． a2　　　 B． a2 　　　C． a2 　　　D． a22．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 AC 平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC= ∠DAB；（4）△ABE 是正三角形，其中正确的是（　　）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（3）和（4） D．（1）和（4）　3.如图，等腰三角形 ABC 中，∠BAC=90°，在底边 BC 上截取 BD=AB，过 D 作 DE⊥BC 交 AC 于 E，连接 AD，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．44.如图，三角形纸片 ABC 中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的 E 处，那么下列等式成立的是（　　）A．AC=AD+BD B．AC=AB+BD C．AC=AD+CD D．AC=AB+ CD 5．（2012•镇江）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第 1 个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第 2 个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第 6 个正六边形的边长为（　　）A. B． C． D. 6. 用含 30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（　　）A．①② B．①③ C．③④ D．①②③二、填空题7．如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A，E 重合)，在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论：① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ；④ DE=DP；　⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).8．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点 在小量角器上对应的度数为 ，那么在大量角器上对应的度数为_____ （只需写出 ～ 的角度）．　　　　9. 若直角三角形两直角边的和为 3，斜边上的高为 ，则斜边的长为 .10.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，△BPC 是等边三角形，则△CDP 的面积是_________；△BPD的面积是_________.　　　　　 　　　11．如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到△P′AB ，则点 P 与点 P′ 之间的距离为_________，∠APB=_________.　　　　12．.以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，……，如此作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn=________.三、解答题13. 已知：在△ABC 中，∠ABC=90°，点 E 在直线 AB 上，ED 与直线 AC 垂直，垂足为 D，且点 M 为 EC 中点，连接 BM，DM．（1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图 2，若点 E 在 BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系． 　14. (1) 如图 1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.　 求证：BE＝CF. 　　　　　　　　　　　　　图 1(2) 如图 2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.　　　　　　　　　　　　图 2(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：① 如图 3,矩形ABCD由 2 个全等的正方形组成,求GH的长；② 如图 4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).　　 　　　　　　　　　图 3　　　　　　　　　　　　　　　　图 4　　15．①如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、C）上任意一点,P 是 BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME．正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90°，　　　AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE． 　　　（下面请你完成余下的证明过程）　　　　　　　②若将①中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由． 　　　　　　　③若将①中的“正方形 ABCD”改为“正 边形 ABCD…X”，请你做出猜想：　　　当∠AMN=_____________°时，结论 AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）　　16.如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM.　　⑴ 求证：△AMB≌△ENB；　　⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小；　　　 ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；　　⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 时，求正方形的边长.　 【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此题采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE 是等腰的，等腰三角形底角∠AEB 不可能 90°，所以 AC⊥BD 不成立．排除 A，D；（2）∵AC 平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE 成立，排除 C． 3.【答案】D．【解析】三角形 ABC 是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又 DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC 是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD 是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD 是等腰三角形，因此图中等腰三角形共 4 个．4.【答案】B.【解析】根据题意证得 AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选 B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】 当把完全重合的含有 30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：（1）当把 60 度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形； （2）当把 30 度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；（3）当斜边重合，且一个三角形的 30 度角的顶点与另一个三角形 60 度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．选 B二、填空题7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.8．【答案】50°.9．【答案】 .【解析】设直角边为 a,b,斜边为 c，则 + =3， ， ，代入即可.10．【答案】1， .【解析】∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30°做 PE⊥CD,得 PE=1，即△CDP 的面积是= ×2×1=1；根据即可推得 .11．【答案】6 ，150°.12．【答案】 .三、解答题13.【答案与解析】（1）结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．理由：∵BM、DM 分别是 Rt△DEC、Rt△EBC 的斜边上的中线，∴BM=DM= CE；又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；同理可得∠DME=2∠DCM；∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即 BM=DM，∠BMD=2∠BCD证法一：∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点，∴BM= EC=MC，又点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点，∴DM= EC=MC，∴BM=DM； ∵BM=MC，DM=MC，∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．证法二：∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点，∴BM= EC=ME；又点 M 是 Rt△DEC 的斜边 EC 的中点，∴DM= EC=MC，∴BM=DM；∵BM=ME，DM=MC，∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．（3）所画图形如图所示：图 1 中有 BM=DM，∠BMD=2∠BCD；图 2 中∠BCD 不存在，有 BM=DM；图 3 中有 BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．解法同（2）．14.【答案与解析】(1) 证明：如图 1，∵ 四边形ABCD为正方形，　　　∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， 　　　∴ ∠EAB+∠AEB=90°.　　　∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,　　　∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， 　　　∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图 2,过点A作AM//GH交BC于M，　过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，　则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， 　∴ EF=BN,GH=AM， 　∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,　故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，　∴ GH=EF=4． 　(3) ① 8．② 4n． 15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, 　　 　　 ∵CN 平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135° 　　 　 在△AEM 和△MCN 中：∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN　　　　（2）仍然成立．　　 　　　　在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME　　 　　　　∵△ABC 是等边三角形，　　 　　　　∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，　　 　　　　∴∠ACP=120°．　　 　　　　∵AE=MC，∴BE=BM　　 　　　　∴∠BEM=∠EMB=60°　　 　　　　∴∠AEM=120°．　　 　　　　∵CN 平分∠ACP，∴∠PCN=60°，　　 　　　　∴∠AEM=∠MCN=120°　　 　　　　∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM　　 　　　　∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN　　　　（3）16.【答案与解析】⑴ ∵△ABE 是等边三角形，　　　　　　　　　 ∴BA＝BE，∠ABE＝60°.　　　　　　　　　 ∵∠MBN＝60°，　　　　　　　　　 ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.　　　　　　　　　 即∠BMA＝∠NBE.　　　　　　　　　 又∵MB＝NB，　　　　　　　　　 ∴△AMB≌△ENB（SAS）.　　　　　　　　⑵ ①当 M 点落在 BD 的中点时，AM＋CM 的值最小.　　　　　　　　　 ②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，　　　　　　　　　 AM＋BM＋CM 的值最小. 理由如下：连接 MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，　　　　　　　　　 ∴AM＝EN.　　　　　　　　　 ∵∠MBN＝60°，MB＝NB，　　　　　　　　　 ∴△BMN 是等边三角形.　　　　　　　　　 ∴BM＝MN.　　　　　　　　　 ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 　　　　　　　　　 根据“两点之间线段最短”，得 EN＋MN＋CM＝EC 最短　　　　　　　　　 ∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小，即等于 EC 的长.　　　　　　　　⑶ 过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F，　　　　　　　　　 ∴∠EBF＝90°－60°＝30°.　　　　　　　　　 设正方形的边长为 x，则 BF＝ x，EF＝ .　　　　　　　　　 在 Rt△EFC 中，∵EF2＋FC2＝EC2，　　　　　　　　　 ∴（ ）2＋（ x＋x）2＝ . 　　　　　　　　　 解得，x＝ （舍去负值）. 　　　　　　　　　 ∴正方形的边长为 .