全国统一考试 文科数学（宁夏卷）word版
发布时间：2024-05-21 09:05:02浏览次数：14普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（文史类）第 I 卷一、 选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 ,则 (A) (B) (C) (D) （2） 复数（A） （B） （C） (D)（3）对变量 有观测数据（ ， ）（ ），得散点图 1；对变量 有观测数据（， ）（i=1,2,…，10）,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。（A）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关（C）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 （D）变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关（4）有四个关于三角函数的命题：： x R, + = : , : x , : 其中假命题的是（A） ， （B） ， （3） ， （4） ，（5）已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（A） + =1 （B） + =1（C） + =1 （D） + =1 1,3,5,7,9 , 0,3,6,9,12A B A B 3,53, 63, 73,93 22 3ii11ii,x y1x1y1, 2,...,10i ,u v1u1v1p2sin2x2cos2x 122p,x y R sin( ) sin sinx y x y 3p 0,1 cos 2sin2xx4psin cos2x y x y 1p4p2p4p1p3p2p3p1C2( 1)x 2( 1)y 2C1C1 0x y 2C2( 2)x 2( 2)y 2( 2)x 2( 2)y 2( 2)x 2( 2)y 2( 2)x 2( 2)y
（6）设 满足 则（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值（7）已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值为（A） （B） （C） （D）（8）等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ,则（A）38 （B）20 （C）10 （D）9（9） 如图，正方体 的棱线长为 1， 线段 上有两个动点E，F，且 ，则下列结论中错误的是 （A）（B） （C）三棱锥 的体积为定值 （D）（10）如果执行右边的程序框图，输入 ， 那么输出的各个数的和等于 （A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单 位： ）为（A） （B） （C） （D）（12）用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最 小值。设 (x 0),则 的最大 值为（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13 题）~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22 题）~第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）曲线 在点（0,1）处的切线方程为 。（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若为 的中点，则抛物线 C 的方程为 。,x y2 4,1,2 2,x yx yx y z x y 3, 2 , 1, 0a b a b2a b17171616 nanS21 10m m ma a a 2 138mSm 1 1 1 1ABCD A B C D1 1B D12EF AC BE//EF ABCD平面A BEFAEF BEF 的面积与 的面积相等2, 0.5x h 2cm48 12 248 24 236 12 236 24 2 ( ) min 2 , 2,10xf x x x f x2 1xy xe x 2,2PAB
（15）等比数列{ }的公比 , 已知 =1， ，则{ }的前 4 项和 = 。（16）已知函数 的图像如图所示，则 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知 ，，于 A 处测得水深 ，于 B 处测得水深 ，于 C 处测得水深 ，求∠DEF的余弦值。 （18）（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，求三棱锥 体积。（19）（本小题满分 12 分）某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训 （称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用 分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（Ⅰ）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？（Ⅱ）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2表 1：生产能力分组人数 4 8 5 3表 2：生产能力分组na0q 2a2 16n n na a a na4S( ) 2sin( )f x x 712f !50AB m120BC m80AD m200BE m 110CF mP ABCPAB4PC PAC PBCP ABC100,110110,120120,130130,140140,150x110,120120,130130,140140,150
人数 6 y 36 18（1） 先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） (ii)分别估计 类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。（20）(本小题满分 12 分)已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1（Ⅰ）求椭圆 的方程（Ⅱ）若 为椭圆 的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点，（e 为椭圆 C 的离心率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（21）（本小题满分 12 分）已知函数 .(1)设 ，求函数 的极值；(2)若 ，且当 时， 12a 恒成立，试确定 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4—1；几何证明选讲如图，已知 ABC 中的两条角平分线 和 相交 于 ， B=60 ，在 上，且 。（1）证明： 四点共圆； （2）证明：CE 平分 DEF。（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程。 已知曲线 C ： （t 为参数）， C ： （ 为参数）。,x yA BCxOyxCPCMPxOPeOMM3 2 2 3( ) 3 9f x x ax a x a 1a f x14a 1, 4x a)('xfaADCEH"#FACAE AF, , ,B D H E"14 cos ,3 sin ,x ty t 28cos ,3si n ,xy$$$
（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C 上的点 P 对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线 （t 为参数）距离的最小值。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲如图， 为数轴的原点， 为数轴上三点， 为线段 上的动点，设 表示 与原点的距离， 表示 到 距离 4 倍与 到 距离的 6 倍的和.（1）将 表示为 的函数；（2）要使 的值不超过 70， 应该在什么范围内取值？ 参考答案一、选择题 （1）D （2）C （3）C （4）A （5）B (6)B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）A (12)C二、填空题 (13) (14) (15) (16)0三、解答题(17) 解：作 交BE于N，交CF于M．，，． ．．．．．．6 分在 中，由余弦定理，. ．．．．．．12 分（18）解：（Ⅰ）因为 是等边三角形， ,所以 ,可得 。如图，取 中点 ，连结 , ,则 , ,1212t2PQM33 2 ,:2x tCy t O, ,A B MC OMxCyCACByxyx3 1y x 24y x152//DM AC2 2 2 230 170 10 198DF MF DM 2 2 2 250 120 130DE DN EN 2 2 2 2( ) 90 120 150EF BE FC BC DEF2 2 2 2 2 2130 150 10 298 16cos2 2 130 150 65DE EF DFDEFDE EF %" % % %PAB90PAC PBC" " &Rt PBC Rt PAC ' AC BCABDPDCDPD ABCD AB
所以 平面 ,所以 。 ．．．．．．6 分（Ⅱ）作 ，垂足为 ，连结 ．因为 ，所以 ， ．由已知，平面 平面 ，故 ． ．．．．．．8 分因为 ，所以 都是等腰直角三角形。由已知 ，得 ， 的面积 ．因为 平面 ，所以三角锥 的体积 ．．．．．．．12 分（19）解：（Ⅰ） 类工人中和 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 ．．．．．．4 分（Ⅱ）(ⅰ)由 ，得 ， ，得 。频率分布直方图如下 ．．．．．．8 分从直方图可以判断： 类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9 分 （ii） ， ， A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，133.8 和 131.1.（20）解：AB PDCAB PCBE PCEAERt PBC Rt PAC ' AE PCAE BEPACPBC90AEB" &Rt AEB Rt PEB ' , ,AEB PEB CEB 4PC 2AE BE AEB2S PC AEBP ABC1 83 3V S PC % % A B4 8 5 3 25x 5x 6 36 18 75y 15y B4 8 5 5 3105 115 125 135 145 12325 25 25 25 25Ax % % % % % 6 15 36 18115 125 135 145 133.875 75 75 75Bx % % % % 25 75123 133.8 131.1100 100x % %
（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 解得 a=4,c=3,所以椭圆 C 的方程为（Ⅱ）设 M（x,y）,P(x, ),其中 由已知得而 ，故 ①由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得所以点 M 的轨迹方程为 轨迹是两条平行于 x 轴的线段（21）解：（Ⅰ）当 a=1 时，对函数 求导数，得 令 列表讨论 的变化情况：（-1，3）3+ 0 — 0 +极大值6极小值-26所以， 的极大值是 ，极小值是（Ⅱ） 的图像是一条开口向上的抛物线，关于 x=a 对称.若 上是增函数，从而上的最小值是 最大值是由 于是有17a ca c 2 21.16 7x y 1y 4,4 .x 2 2212 2.x yex y34e 2 2 2 2116( ) 9( ).x y x y 221112 7,16xy29 112,y 4 7( 4 4),3y x( ( )f x' 2( ) 3 6 9.f x x x '1 2( ) 0, 1, 3.f x x x 解得'( ), ( )f x f xx( , 1) ) 1(3, ))'( )f x( )f x* + *( )f x( 1) 6f (3) 26.f ' 2 2( ) 3 6 9f x x ax a '11, ( )4a f x, 则 在[ 1, 4a]'( )f x 在[ 1, 4a]' 2(1) 3 6 9 ,f a a ' 2(4 ) 15 .f a a' 2 2| ( ) | 12 , 12 3 6 9 12 ,f x a a x ax a a 得
由所以若 a>1,则 不恒成立.所以使 恒成立的 a 的取值范围是（22）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为 AD,CE 是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以 B,D,H,E 四点共圆。（Ⅱ）连结 BH，则 BH 为 的平分线， 得 30°由（Ⅰ）知 B，D，H，E 四点共圆，所以 30°又 60°，由已知可得 ，可得 30°所以 CE 平分（23）解：（Ⅰ）为圆心是 ，半径是 1 的圆。为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆。（Ⅱ）当 时， ，故为直线 ，M 到 的距离从而当 时， 取得最小值' 2 ' 2(1) 3 6 9 12 , (4 ) 15 12 .f a a a f a a a 且' '1 4(1) 12 1, (4 ) 12 0 .3 5f a a f a a a 得 由 得1 1 4 1 4( ,1] [ ,1] [0, ] , ( , ].4 3 5 4 5a a 即' 2 '| ( ) | 12 12 . [1, 4 ] | ( ) | 12f a a a x a f x a 故当 时'| ( ) | 12 ( [1, 4 ])f x a x a 1 4( , ].4 5ABC"HBD" CED HBD" " AHE EBD" " EF ADCEF" DEF"2 22 21 2: ( 4) ( 3) 1, : 164 9x yC x y C 1C( 4,3)2Cx2t( 4, 4). (8cos ,3sin )P Q$ $3( 2 4 cos , 2 sin )2M$ $ 3C2 7 0x y 3C5| 4 cos 3sin 13 |5d$ $ 4 3cos ,sin5 5$ $ d8 55
（24）解：（Ⅰ）（Ⅱ）依题意， 满足解不等式组，其解集为所以 4 | 10 | 6 | 20 |,0 30y x x x x4 | 10 | 6 | 20 | 70,0 30x xx [9,23][9,23]x
