中考总复习：勾股定理及其逆定理（提高）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方（即： ）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在 中， ，则 ， ，;②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系;③可运用勾股定理解决一些实际问题.知识点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. a b、c2 2 2a b c ABC90C  2 2c a b 2 2b c a 2 2a c b a b c、 、2 2 2a b c  【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 与较长边的平方 作比较，若它们相等时，以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以 ，， 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以 ， ， 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ，满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边；　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数;②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等;③用含字母的代数式表示 组勾股数：（ 为正整数）；　 （ 为正整数）（ ， 为正整数）知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．2.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用【高清课堂：勾股定理及其逆定理 例 2】1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）．图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ABCD，正方2 2a b2ca b c2 2 2a b c ab c2 2 2a b c a b ca b c2 2 2a b c a b c2 2 2a c b a b c b2 2 2a b c a b ca b c3,4,56,8,105,12,13 7,24,25n2 21,2 , 1n n n 2,n n2 22 1,2 2 ,2 2 1n n n n n   n2 2 2 2,2 ,m n mn m n ,m nm n 形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是__________． 【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【答案与解析】∵图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2，∴S2= ．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出 S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．【变式】若△ABC 三边 a、b、c 满足 a ＋b ＋c ＋338=10a+24b+26c，△ABC 是直角三角形吗？为什么？【答案】∵a ＋b ＋c ＋338=10a+24b+26c∴a ＋b ＋c ＋338－10a－24b－26c =0（a －10a+25）＋（b －24b+144）＋（c －26c+169）=0即 ∵∴a=5，b=12，c=13又∵a ＋b =c =169，∴△ABC 是直角三角形.2．（2012•北京）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= ，BE=2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积．1032 2 【思路点拨】此题涉及到的知识点有勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形．【答案与解析】过点 D 作 DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE= ，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC= ，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2 ，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+ =3+ ，∴S四边形 ABCD= ×2×（3+ ）+ ×1×（3+ ）= ．【总结升华】此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．举一反三： 【变式】如图，△ABC 中，有一点 P 在 AC 上移动．若 AB=AC=5，BC=6，则 AP+BP+CP 的最小值为（　）A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用。【高清课堂：勾股定理及其逆定理 例 7】3.王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为 a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米．2323 31231233 3+92 （1）请用 a 表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为 7 米吗？请说明理由，并求出 a 的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出 a 的取值范围．（3）本题需先求出 a 的值，然后即可得出三角形的三边长．【答案与解析】（1）∵第二条边长为 2a+2，∴第三条边长为 30-a-（2a+2）=28-3a．（2）当 a=7 时，三边长分别为 7，16，7．由于 7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为 7 米．由可解得 .即 a 的取值范围是 ．（3）在（2）的条件下，注意到 a 为整数，所以 a 只能取 5 或 6．当 a=5 时，三角形的三边长分别为 5，12，13．由 52+122=132知，恰好能构成直角三角形；当 a=6 时，三角形的三边长分别为 6，14，10．由 62+102≠142知，此时不能构成直角三角形；综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为 5 米，12 米，13 米．【总结升华】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．4.（2011 黑龙江大庆）如图，ABCD 是一张边 AB 长为 2，边 AD 长为 1 的矩形纸片，沿过点 B 的折痕将 A 角翻折，使得点 A 落在边 CD 上的点 A′处，折痕交边 AD 于点 E．（1）求∠DA′E 的大小；（2）求△A′BE 的面积．【思路点拨】（1）先根据图形翻折变换的性质得出 Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E 的度数；（2）设 AE=x，则 ED=1﹣x，A′E=x，在 Rt△A′DE 中，利用 sin∠DA′E= 可求出 x 的值，在根据 Rt△A′BE 中，A′B=AB，利用三角形的面积公式即可求解．【答案与解析】（1）∵△A′BE 是△ABE 翻折而成，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴在 Rt△A′BC 中，A′B=2，BC=1 得，∠BA′C=30°，13 133 2a 13 133 2a  又∵∠BA′E=90°，∴∠DA′E=60°；（2）解法 1：设 AE=x，则 ED=1-x，A′E=x，在 Rt△A′DE 中，sin∠DA′E= ，即 = ，得 x=4-2 ，在 Rt△A′BE 中，A′E=4﹣2 ，A′B=AB=2，∴S△A′BE= ×2×（4﹣2 ）=4-2 ；解法 2：在 Rt△A′BC 中，A′B=2，BC=1，得 A′C= ，∴A′D=2- ，设 AE=x，则 ED=1-x，A′E=x，在 Rt△A′DE 中，A′D2+DE2=A′E2，即（2- ）2+（1﹣x）2=x2，得 x=4-2 ，在 Rt△A′BE 中，A′E=4-2 ，A′B=AB=2，∴S△A′BE= ×2×（4-2 ）=4-2 ．【总结升华】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在 AB 上，一组对边分别在 AC 上或与 AC 平行，另一组对边分别在 BC 上或与 BC 平行．若各矩形在 AC 上的边长相等，矩形 a 的一边长是 72cm，则这样的矩形 a、b、c…的个数是（　　）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】D.5 .如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且∠QPN＝30°，点 A 处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 　　　 【思路点拨】（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m， 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度.（2）要求出学校受影响的333 3333 333 3 时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响过程中所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.【答案与解析】作 AB⊥MN，垂足为 B 　　　　 　在 RtΔABP 中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，　　　　　 ∴ AB＝ AP＝80 （直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） 　　　　　 ∵点 A 到直线 MN 的距离小于 100m，　　　　　 ∴这所中学会受到噪声的影响.　　　 如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处时学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，　　　 由勾股定理得： BC2＝1002－802＝3600， ∴ BC＝60m 　　　　　　　　　 　　 　同理，假设拖拉机行驶到点 D 处时学校开始不受影响，那么 AD＝100(m)，BD＝60(m)，　　 　∴ CD＝120(m). 　　 　∵拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s 　　　 ∴t＝120m÷5m/s＝24s 答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒 .【总结升华】勾股定理是求线段长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法，构造直角三角形，以便利用勾股定理.6．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2．动点 M、N分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PWQ．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值．　　　　　　　　 【思路点拨】解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.【答案与解析】（1）由题意可知 P、W、Q 分别是 ΔFMN 三边的中点，∴PW 是 ΔFMN 的中位线，即 PW∥MN∴ΔFMN∽ΔQWP（2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 = ，= += +①当 = + 时， + = + +解得 ;②当 = + 时， + = + +此方程无实数根;③ = + 时， = + + +解得 （不合题意，舍去）， ;综上，当 或 时，ΔPQW 为直角三角形；当 0≤x＜ 或 ＜x＜4 时，ΔPQW 不为直角三角形.（3）①当 0≤x≤4，即 M 从 D 到 A 运动时，只有当 x=4 时，MN 的值最小，等于 2；②当 4＜x≤6 时， = + = + =当 x=5 时， 取得最小值 2，∴当 x=5 时，线段 MN 最短，MN= ．【总结升华】题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识．举一反三：【变式】在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性． 问题 1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究 S1+S2与 S3的关系（如图 1）．问题 2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究 S′+S″与 S 的关系（如图 2）．问题 3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究 S1+S2与 S3的关系（如图 3）．【答案】问题 1：由等边三角形的性质知：S1= a2，S2= b2，S3= c2，2FM24 x2MN2)4( x2)6( x2FN2)4( x162MN2FM2FN2)4( x2)6( x24 x2)4( x1634x2FN2FM2MN2)4( x1624 x2)4( x2)6( x2FM2MN2FN24 x2)4( x2)6( x2)4( x16101x 42x34x4x34342MN2AM2AN2)4( x2)6( x2)5(22x2MN2343434 则 S1+S2= （a2+b2），因为 a2+b2=c2，所以 S1+S2=S3．问题 2：由等腰直角三角形的性质知：S′= a2，S″= b2，S= c2．则 S′+S″= （a2+b2），因为 a2+b2=c2，所以 S′+S″=S．问题 3：由圆的面积计算公式知：S1= πa2，S2= πb2，S3= πc2．则 S1+S2= π（a2+b2），因此 a2+b2=c2，所以 S1+S2=S3．341414141418181818