中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现　 有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现； 2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，　 并能进行有效的解答或计算； 3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运　 用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍； 4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．　 能够准确区分确定事件与不确定事件； 5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查.　　要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样. 3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．考点二.数据的分析1.基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．计算方差的公式：设一组数据是 ， 是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：　　标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差．用公式可表示为：要点诠释： 1．平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂.2.绘制频数分布直方图的步骤① 计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表； ⑤画出频数分布直方图．3.加权平均数　　在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．要点诠释：　　在通常计算平均数的过程中，各个数据在结果中所占的份量是相等的。而实际情况有时并非如此，如果要区分不同的数据的不同权重，就需要使用加权平均数.当我们改变一组数据中各个数值所占的权重时，这组数据的加权平均数就有可能随之改变.考点三、概率1．概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有 n 种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件 A包含其中 m 种结果，那么事件 A 发生的概率 P(A)= .2．概率的求法(1)用列举法(2)用频率来估计：事件 A 的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时，事件 A 发生的频率 ，总是接近于某个常数，在它附近摆动.这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P(A).3.事件必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．要点诠释：　　①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验；　　②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件 A 的概率；　　③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；　　④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；　　⑤必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0，因此 0≤P(A)≤1；⑥必然事件和不可能事件统称为确定事件．【典型例题】类型一、数据的统计1. 连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了 50 名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：次数612151820252730323536人数1 1 718105 2 2 1 1 2⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？ 【思路点拨】本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数.【答案与解析】 ⑴该组数据的平均数　　　　　　　　　　众数为 18，中位数为 18；　⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18 次较为合适，因为众数及中位数均为18，且 50 人中达到 18 次的人数有 41 人，确定 18 次能保证大多数人达标；　⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.【总结升华】确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识．举一反三： 【高清课堂：统计与概率 例 2】【变式】我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温(℃)25262728天数 1 1 2 3则这组数据的中位数与众数分别是( )．A．27℃，28℃ B．27.5℃，28℃ C．28℃，27℃ D．26.5℃，27℃【答案】A.2．某中学为促进课堂教学，提高教学质量，对七年级学生进行了一次“你最喜欢的课堂教学方式”的问卷调查．根据收回的问卷，学校绘制了“频率分布表”和“频数分布条形图”(如图 2)．请你根据图表中提供的信息，解答下列问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　频率分布表： 代号教学方式最喜欢的频数频率1老师讲，学生听200.102 老师提出问题，学生探索思考 100　3学生自行阅读教材，独立思考300.154分组讨论，解决问题　0.25① 补全“频率分布表”；② 在“频数分布条形图”中，将代号为“ 4”的部分补充完整. 【思路点拨】本题背景材料来源于同学们的生活实际，可从仔细阅读频率分布表和频数分布条形图中获取重要信息来解决问题．【答案与解析】①频数：50； 频率：0.5；　　②如图； 　　　　　　　　 【总结升华】频数、频率、频数分布表，频数分布直方图是重要考点，本题既考查了同学们对统计图表的应用，各种统计量的计算掌握情况，又考查了解释统计结果及根据结果做出简单判断的能力，同时还为同学们留有个性化的思考和创新的空间．3．（2012•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．óóóóóóóó 甲、乙两人射箭成绩统计表第 1次第 2次第 3次第 4次第 5次甲成绩9 4 7 4 6乙成绩7 5 7 a 7（1） =________; =________________.（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察图，可看出_____的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断． ② 请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【思路点拨】本题考点：方差；折线统计图；算术平均数．aX乙 【答案与解析】（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，则 a=30-7-7-5-7=4， =30÷5=6，故答案为：4，6；（2）如图所示：；（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；= [（7-6）2+（5-6）2+（7-6）2+（4-6）2+（7-6）2]=1.6．由于 ＜ ，所以上述判断正确．② 因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．【总结升华】主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出 a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可．举一反三：【变式】求下列数据的方差：－2，1，4.【答案】 .类型二、概率的应用4.（2012•遵义）如图，4 张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形 ABCD 是平行四边形的概率．【思路点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）求得能判断四边形 ABCD 是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．【答案与解析】（1）画树状图得：X乙2S乙152S乙2S甲 则共有 12 种等可能的结果；（2）∵能判断四边形 ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共 8 种情况，∴能判断四边形 ABCD 是平行四边形的概率为： = ．【总结升华】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=符合条件的情况数与总情况数之比．5． “六一”儿童节前夕，我市某县“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级 8 个班中只能选两个班级参加这项活动，且 8(1)班必须参加，另外再从其它班级中选一个班参加活动．8(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的 4 个扇形，并在每个扇形上分别标上 1，2，3，4 四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由．【思路点拨】本例是判断游戏公平的题，它的关键是正确求出概率，而后看它们获胜的概率是否相等．【答案与解析】方法不公平． 　用表格说明： 　　　　　　　　 　　　　所以，8(2)班被选中的概率为： ，8(3)班被选中的概率为： ，　　　　8(4)班被选中的概率为： ，8(5)班被选中的概率为： ，　　　 8(6)班被选中的概率为： ，8(7)班被选中的概率为： ，　　　　8(8)班被选中的概率为： ，所以这种方法不公平．【总结升华】81223 判断游戏是否公平的(或者奖项设置是否合理)原则是双方获胜的概率是否相等，公平的游戏机会是相等的；这类题既可以考查同学们正确掌握求概率方法的程度，也可以考查运用概率思想和知识解决实际问题的能力．无论是强化应用意识，还是培养综合能力，都是有价值的．【高清课堂：统计与概率 例 7】6 .在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是(1)试写出y与x的函数关系式． (2)若往盒中再放进 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求 x 和 y 的值．【思路点拨】概率公式；二元一次方程组的应用．【答案与解析】（1）根据题意得： =整理，得 8x=3x+3y，∴5x=3y，∴y= x；（2）解法一：根据题意，得 = ， 整理，得 2x+20=x+y+10， ∴y=x+10，（8 分） ∴5x=3（x+10）， ∴x=15，y=25．解法二：（2）根据题意，可得 ，整理得 ，解得 ． 【总结升华】考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．举一反三：【变式】五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成 12 份），并规定：读者每购买 100 元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得 45 元、30 元、25 元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得 10 元的购书券．8321xx y83531010xx y 123810 110 2xx yxx y 5 3 010x yy x  1525xymn 　　①写出转动一次转盘获得 45 元购书券的概率；　　②转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．【答案】① P（获得 45 元购书券） = ； 　　　　② （元）.　　　　∵15 元＞10 元，　　　　∴转转盘对读者更合算．