中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】 【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念 圆、圆心、半径、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧； 三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性．3．圆的确定 不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径 CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4) ，(5) ．若上述 5 个条件有 2 个成立，则另外 3 个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制 AB 不能为直径． (1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件 sinC＝ ，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决； (2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若 DF＝2，sinC＝ ，求 AE 的长； (3)第(2)问还可以过 O 作 OM⊥AF 于 M 后得 OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝ 加以解决. 5．圆心角、弧、弦之间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP＝d，则有：点 P 在圆外 d＞r；点 P 在圆上 d＝r； 点 P 在圆内 d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点 A、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系 （1）切线的判定 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理 切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线 是⊙O 的切线，必须符合两个条件：①直线 经过⊙O 上的一点 A；② OA⊥ ．3．圆和圆的位置关系 (1)基本概念 两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况． ③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r”时，要特别注意，R＞r．【典型例题】l l l 类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题 1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦 AB 的中点为 C，过点 C 的半径为 OD．(1)若 AB＝ ，OC＝1，求 CD 的长； (2)若半径 OD＝R，∠AOB＝120°，求 CD 的长.【思路点拨】 如图所示，一般的，若∠AOB＝2n°，OD⊥AB 于 C，OA＝R，OC＝h，则 AB＝2R·sin n°＝2n·tan n°＝ ；CD＝R－h； 的长 ．【答案与解析】解：∵半径 OD 经过弦 AB 的中点 C，∴半径 OD⊥AB．(1)∵AB＝ ，AC＝BC＝ ．∵OC＝1，由勾股定理得 OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即 CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝ ，∴ ．【总结升华】 圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】 解：过 M、N、B 三点作圆，显然 A 点在圆外， 设 MA 交圆于 C，则∠MAN＜∠MCN． 而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN． 因此在 B 点射门较好． 即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦 CM⊥AB，CN 是直径，F 是 的中点． (1)求证：CF 平分∠NCM；(2)求证： ． 【思路点拨】CN 为⊙O 的直径．连接 AN，可知∠CAN＝90°．∵∠N＝∠B，∴△CAN∽△CHB，则两个问题均可证．【答案与解析】证明：(1)连接 AN． ∵CN 为⊙O 的直径，∴∠CAN＝90°． ∵∠CHB＝90°，∴∠CAN＝∠CHB． 又∵∠N＝∠B，∴△CAN∽△CHB，∴∠3＝∠4．又∵F 是 中点，∴∠ACF＝∠BCF， ∴∠1＝∠2，即 CF 平分∠NCM． (2)由(1)得∠3＝∠4，∴ ．【总结升华】本题综合运用了垂径定理及圆周角定理的相关知识，由本题要细心领会遇直径，找90°的圆周角的思想方法．举一反三：【变式】如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，则⊙O 的半径为________cm． 【答案】解：如图所示，作直径 AD，连接 DB， ∵ AD 为⊙O 的直径， ∴∠ABD＝90°．又∵∠D＝∠C＝∠30°，∴AB＝ AD．∵AB＝2cm，∴⊙O 的半径为 2cm．答案：2类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于点 D，求证：AC 与⊙O 相切．【思路点拨】AC 与⊙O 有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点 O 向 AC 作垂线段 OE，长等于⊙O 的半径，则垂足 E 必在⊙O 上，从而 AC 与⊙O 相切．【答案与解析】证明：连接 OD，作 OE⊥AC，垂足为 E，连结 OA．∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD 为⊙O 半径，∴AC 与⊙O 相切． 【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC 的内切圆的半径．【答案】 解：设△ABC 的内切圆与三边的切点分别为 D、E、F，根据切线长定理可得： AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE， 而 AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c， 可求 ． 连接 OE、OD，易证 OE＝CE．即直角三角形的内切圆半径 ． 4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上， ，∠D＝30°．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若 AC＝6，求 AD 的长． 【思路点拨】 （1）连接 OA，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形 AOC，求出 OA，根据勾股定理求出 AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接 OA，∵ ，∴∠B＝30°．∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD 是⊙O 的切线． (2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°， ∴AD＝ AO＝ ．【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径 OA⊥OB，P 是 OB 延长线上一点，PA 交⊙O 于 D，过 D 作⊙O 的切线交 PO 于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接 OD．∵CE 切⊙O 于 D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD． 类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过 P 作⊙O 的切线，切点为C，∠APC 的平分线交 AC 于点 D，求∠CDP 的度数.【思路点拨】连接 OC，根据题意，可知 OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接 OC，∵OC=OA，，PD 平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC 为⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°． ABCDP·OE【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题 3】6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分∠BAF，交⊙O 于点 E，过点 E 作直线ED⊥AF 于点 D，交 AB 的延长线于点 C． (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若 DE＝4，sinC＝ ，求 AE 的长． 【思路点拨】 构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接 OE，BF，交于点 G，则 BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD 为⊙O 的切线． (2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形 DEGF 为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得 OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE＝ ．【总结升华】