西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教 专业：数学与应用数学 ( 数学教育 ) 课程名称【编号】：中学几何研究【0775】 A 卷大作业 满分：100 分 一、证明题（每小题 20 分，共 60 分） 1 ． 设 是 的 平 分 线 上 的任一点， 过 引 交 的 延 长 线 于 ， 过 引 交 的延长线于 . 求证： .证明：如图，CGGA=BEBA,BHHA=FCAC，故 1=AHHB⋅BDDC⋅CGGA=ACCF⋅BDDC⋅BEAB=BECF⋅BDDC⋅ACAB=BECF,所以 BE=CF。2.以四边形 的各边为斜边向外作等腰直角三角形 、 、 、 . 求证： 且 .证明：由　 　知　同理可得　 ， ， ，计算∴ ，故 RP⊥QS 且 RP＝QS.　　　3. 是等边 内一点， ， ， ，求等边三角形的边长.解：将△ABC 以定点 C 旋转 60 度,使 CA 转到 CB 位置,P 的新位置为 P',B 的新位置为 B'.A 的新位置同原 B 点重合，C 点位置不变。P'B'=PB=4 P'B=PA=5 P'C=PC=3 连接 PP' 因为∠PCP'=60°,且 PC=P'C所以，△PP'C 为等边三角形所以∠P'PC=60° 所以:PP'=PC=3 在三角形 BPP'中: PP'=3 PB=4 P'B=5 此 3 边满足勾股定律. 可得: PP'B△ 为直角三角形, P'PB=90° ∠所以：∠BPC= P'PB+ P'PC=150°∠ ∠在△PBC 中,PC=3,PB=4,角 BPC=150 度,求 BC 长度?过 B 作 CP 的垂线,交 CP 延长线于 Q.QPB=180°- BPC=30°∠ ∠在直角△QPB 中,30 度对应的直角边为斜边长度的一半.- 1 -EABCDPFGH BQ=BP/2=2根据勾股定律易得:所以，在直角△形 QCB 中， ，AQ=2根据勾股定律得: 所以，二、尺规作图题（每小题 10 分，共 20 分，只写作法及讨论，不用证明。）1．以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧.解；过定线段 AB 中点作垂线，以 AB 为一边，在点 A 作圆周角 a，另一边同 AB 中垂线的交点 O 即为圆心，以 O 点为圆心，OA 或 OB 为半径作圆，所得圆弧 AB 即为所求。2.已知 ，求作 的内切圆. 解：一直△ABC，过∠A 和∠B 分别做两角的平分线，交于点 O，过点 O 做 AB 的垂线，交点为 K，以点 O 为圆心，OK 为半径作圆，所得圆即为所求内切圆。三、叙述并证明梅涅劳斯定理.（20 分）答：梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》。任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。定理内容：当直线交△ABC 三边所在直线 BC，AC，AB 于点 D，E，F 时证明如下：过点 C 作 CP DF∥ 交 AB 于 P，则两式相乘得- 2 -