中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ,则 tan A 等于 ( ) A． B． C． D． 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 cotA= ．则下列关系式中不成立的是（　 ）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1 第 2 题 第 3 题3．如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、AD 的中点，若 EF=2，BC=5，CD=3，则 tanC 等于（　） A． B． C． D．4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B重合，折痕为 DE，则 tan∠CBE 的值是( )A． B． C． D．5．如图所示，已知∠α 的终边 OP⊥AB，直线 AB 的方程为 y＝－ x＋ ，则 cosα 等于 ( ) A． B． C． D． 第 5 题 第 6 题 6．如图所示，在数轴上点 A 所表示的数 x 的范围是（　　）A. B.3535453443ab34433545333312223233330 sin 602sin x < <3cos302x < < cos45 C. D.二、填空题7．设 θ 为锐角，且 x2＋3x＋2sinθ＝0 的两根之差为 ．则 θ＝ ．8．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，沿 CE 折叠矩形 ABCD，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，若AB=4，BC=5，则 tan∠AFE 的值为 .9．已知△ABC 的外接圆 O 的半径为 3，AC=4，则 sinB= . 第 8 题 第 9 题 第 11 题10．当 0°＜α＜90°时，求 的值为 ．11．如图，点 E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦．则 tan∠OBE= ．12．已知：正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 是直线 CD 上一点，若 DP=1，则 tan∠BPC 的值是　 ．三、解答题13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为 AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离 AB＝6m 为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点 A 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长．(精确到 0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道 1:3 上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算 CE(精确到 0.1 m) （sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249） 15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山 AB 上，测量湖中两个小岛 C、D 间的距离．从山顶 A 处测得湖中小岛 C 的俯角为 60°，测得湖中小岛 D 的俯角为 45°．已知小山 AB 的高为 180 米，求小岛 C、D 间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)3tan 302x < <t an453cot 45 02x < <cot 3521 sincos 16. 在△ABC 中，AB＝AC，CG⊥BA，交 BA 的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B．(1)在图①中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿 AC 方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于点 E．此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE+DF 与 CG 之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿 AC 方向继续平移到图③所示的位置(点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) 【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】在 Rt△ABC 中，设 AC＝3k，AB＝5k，则 BC＝4k，由定义可知 tan A＝ ．故选 D.2.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA= =1，关系式成立；B、sinA= ，tanA•cosA= ，关系式成立；C、cosA= ，cotA•sinA= ，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（ ）2+（ ）2≠1，关系式不成立．故选 D．3.【答案】B；【解析】连接 BD．4 43 3BC kAC k abbacacacbbacbabcabaab ∵E、F 分別是 AB、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD 是直角三角形．∴tanC= 故选 B．4.【答案】C；【解析】设 CE＝x，则 AE＝8-x．由折叠性质知 AE＝BE＝8-x．在 Rt△CBE 中，由勾股定理得 BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得 ，∴ tan∠CBE ．5.【答案】A；【解析】∵y＝－ x＋ ，∴当 x＝0 时，y＝ ，当 y＝0 时，x＝1，∴A(1，0)，B ，∴OB＝ ，OA＝1，∴AB＝ ＝ ，∴cos∠OBA＝ . ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝ ．故选 A.6.【答案】D；【解析】由数轴上 A 点的位置可知， ＜A＜2．A、由 sin30°＜x＜sin60°可知， × ＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项错误；B、由 cos30°＜x＜ cos45°可知， ＜x＜ × ，即 ＜x＜ ，故本选项错误；C、由 tan30°＜x＜tan45°可知， × ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本选项错误；4333333330,3    332 2OB OA2 3312OBAB123232321232343232323222323 2432323332 D、由 cot45°＜x＜cot30°可知， ×1＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本选项正确．故选 D．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝( )2，∴sinθ＝ ，∴θ＝30°．8．【答案】 ；【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在 Rt△DCF 中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．9．【答案】 ；【解析】连接 AO 并延长交圆于 E，连 CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形 ACE 中，AC=4，AE=6，∴sin∠E= ；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB= ．10．【答案】1；【解析】由 sin2α＋cos2α＝1，可得 1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α． ∴ . ∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．3232332351234DFDC342323ACAE232 21 sin cos | cos |cos cos cos      ∴原式＝ ＝1．11．【答案】 ； 【解析】连接 EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在 Rt△EOC 中，OE=4，OC=5，则 tan∠ECO= ．故 tan∠OBE= ．12．【答案】2 或 ； 【解析】此题有两种可能：（1）当点 P 在线段 CD 上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC= =2；（2）当点 P 在 CD 延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC= ．故答案为：2 或 ．三、解答题13.【答案与解析】 解：如图所示，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F． 在 Rt△ABE 中， ，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；，∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．coscos2323 在 Rt△BDF 中， ，∴ (m)． ∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．14.【答案与解析】解：在 Rt△ABD 中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴ ，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在 Rt△DCE 中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，∴ ， ＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中 CE 的长约为 2.3m．15.【答案与解析】 解：如图所示，由已知可得∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．∴在 Rt△ABD 中，BD＝AB．又在 Rt△ABC 中，∵ ，∴ ，即 ．∵BD＝BC+CD，∴ ．∴CD＝AB- AB＝180-180× ＝（180-60 )米．答：小岛 C、D 间的距离为(180- )米．16.【答案与解析】 解：(1)BF＝CG．证明：在△ABF 和△ACG 中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG(AAS)， ABCEFGHD∴BF＝CG．(2)DE+DF＝CG．证明：过点 D 作 DH⊥CG 于点 H(如图所示)．∵DE⊥BA 于点 E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形 EDHG 为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即 DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结 AD)