中考总复习:特殊的四边形--知识讲解(提高)

发布时间:2024-06-20 11:06:15浏览次数:10
中考总复习:特殊的四边形—知识讲解(提高)【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形;2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质,会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题.3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定,会用性质和判定解决实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形 性 质 判 定边 角 对角线矩形 对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形;2、有三个角是直角的四边形是矩形;3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形 四条边相等对角相等,邻角互补垂直且互相平分,每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2、四条边都相等的四边形是菱形;3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .中心对称图形正方形 四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分,并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行,两腰相等同一底上的两个角相等相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形;2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形 在 Rt△DGP 中,PD= = (3-x)= .【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识,解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度,然后运用所学知识进行求解.举一反三:【变式】如图,E 是矩形 ABCD 边 BC 的中点,P 是 AD 边上一动点,PF⊥AE,PH⊥DE,垂足分别为F,H.(1)当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时,四边形 PHEF 是矩形?请予以证明;(2)在(1)中,动点 P 运动到什么位置时,矩形 PHEF 变为正方形?为什么?【答案】(1)AD=2AB.证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC,AB=CD;∵E 是 BC 的中点,∴AB=BE=EC=CD;则△ABE、△DCE 是等腰 Rt△;∴∠AEB=∠DEC=45°;∴∠AED=90°;四边形 PFEH 中,∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°,故四边形 PFEH 是矩形;(2)点 P 是 AD 的中点时,矩形 PHEF 变为正方形;理由如下:由(1)可得∠BAE=∠CDE=45°;∴∠FAP=∠HDP=45°;又∵∠AFP=∠PHD=90°,AP=PD,∴Rt△AFP≌Rt△DHP;∴PF=PH;在矩形 PFEH 中,PF=PH,故 PFEH 是正方形.. 【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们具有平行四边形的一切性质.考点二、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念:把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.2. 若中点四边形为矩形,则原四边形满足条件对角线互相垂直;若中点四边形为菱形,则原四边形满足条件对角线相等;若中点四边形为正方形,则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等.【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.考点三、重心1.线段的中点是线段的重心;三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心;三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.(2012•湛江)如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH,如此下去….若正方形 ABCD 的边长记为 a1,按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,…,an,则 an=___________. 【思路点拨】求 a2的长即 AC 的长,根据直角△ABC 中 AB2+BC2=AC2可以计算,同理计算 a3、a4.由求出的 a2= a1,a3= a2…,an= an-1=( )n-1,可以找出规律,得到第 n 个正方形边长的表达式.【答案】( )n-1.【解析】∵a2=AC,且在直角△ABC 中,AB2+BC2=AC2,∴a2= a1= ,同理 a3= a2=2,,a4= a3=2 ,…由此可知:an= an-1=( )n-1故答案为:( )n-1.【总结升华】考查了正方形的性质,以及勾股定理在直角三角形中的运用,考查了学生找规律的能力,本题中找到 an的规律是解题的关键.举一反三: 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 4】【变式】(2011 德州)长为 1,宽为 a 的矩形纸片( ),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第 n 此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当 n=3 时,a 的值为________.121 a 第一次操作 第二次操作【答案】 或 .2.O 是△ABC 所在平面内一动点,连接 OB、OC,并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接,如果 DEFG 能构成四边形,(1)如图,当 O 点在△ABC 内部时,判断四边形 DEFG 是什么特殊的四边形,并证明.(2)若四边形 DEFG 为矩形,O 点所在位置应满足什么条件?画出图形并说明理由.(3)若四边形 DEFG 为菱形,O 点所在位置应满足什么条件?画出图形并说明理由.【思路点拨】(2)分析:四边形 DEFG 是平行四边形.若要四边形 DEFG 为矩形,需要 EF⊥FG.(3)分析:四边形 DEFG 是平行四边形.若要四边形 DEFG 为菱形,需要 EF=FG.【答 案与解析】(1)四边形 DEFG 是平行四边形.  证明: ∵D、G 分别是 AB、AC 的中点,     ∴ ,且 .     同理, ,且 .     ∴ ,且 .     ∴四边形 DEFG 是平行四边形. (2) 解:当 AO⊥BC 时,四边形 DEFG 是矩形.   连接 OA,易知 , .   所以 AO⊥BC 时,EF⊥FG,此时平行四边形 DEFG 为矩形.(3)              解:当 AO=BC 时,四边形 DEFG 是菱形.    连接 OA,可知 , .    所以当 AO=BC 时,EF=FG,此时平行四边形 DEFG 是菱形.【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.类型二、梯形的应用3.(2011•资阳)如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段 BC 上任取一点 E,连接 DE,作 EF⊥DE,交直线 AB 于点 F.(1)若点 F 与 B 重合,求 CE 的长;(2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF=CE,求 CE 的长;(3)设 CE=x,BF=y,写出 y 关于 x 的函数关系式(直接写出结果可).【思路点拨】(1)先证明四边形 ABED 为矩形,CE=BC-AD,继而即可求出答案;(2)设 AF=CE=x,则 HE=x-3,BF=7-x,再通过证明△BEF∽△HDE,根据对应边成比例,然后代入求解即可;(3)综合(1)(2)两种情况,然后代入求出解析式即可.【答案与解析】(1)∵F 与 B 重合,且 EF⊥DE,∴DE⊥BC,∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=∠B=90°,∴四边形 ABED 为矩形,∴BE=AD=9,∴CE=12-9=3.(2)作 DH⊥BC 于 H,则 DH=AB=7,CH=3.设 AF=CE=x,∵F 在线段 AB 上,∴点 E 在线段 BH 上,CH=3,CE=x,∴HE=x-3,BF=7-x,∵∠BEF+90°+∠HED=180°,∠HDE+90°+∠HED=180°,∴∠BEF=∠HDE,又∵∠B=∠DHE=90°,∴△BEF∽△HDE ∴ = ,∴ = ,整理得 x2-22x+85=0,(x-5)(x-17)=0,∴x=5 或 17,经检验,它们都是原方程的解,但 x=17 不合题意,舍去.∴x=CE=5.(3)作 DH⊥BC 于 H,∵AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12, CE=x,BF=y,∴则 HE=x-3,BF=y,当 3≤x≤12 时,易证△BEF∽△HDE,∴ = ,∴y=- x2+ x- ,当 0≤x<3,易证△BEF∽△HDE,则 HE=3-x,BF=y,∴ = ,∴y= x2- x+ .【总结升华】本题考查直角梯形的知识,同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,是一道小的综合题,注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用.举一反三:【变式】(2011•台湾)如图为菱形 ABCD 与正方形 EFGH 的重迭情形,其中 E 在 CD 上,AD 与 GH 相交于 I 点,且 AD∥HE.若∠A=60°,且 AB=7,DE=4,HE=5,则梯形 HEDI 的面积为(  ).       A.    B.    C.10-    D.10+   【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 7】 4. 如图,四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片, 为 CD 边上的点, =3.将纸片沿某条直线折叠,使点 B 落在点 处,点 A 的对应点为 ,折痕分别与 AD,BC 边交于点 M,N. (1)求 BN 的长;(2)求四边形 ABNM 的面积. 【思路点拨】(1)根据折叠的性质得出 AM=A′M,BN=B′N,BN=B′N=x,则 CN=9-x,再利用勾股定理求出即可;(2)首先求出 NC 的长,即可得出 BN,利用角相等三角函数值就相等,即可求出 AM,即可得出答案.【答案与解析】如图.(1)由题意,点 A 与点 A′,点 B 与点 B′分别关于直线 MN 对称,∴AM=A′M,BN=B′N.设 BN=B′N=x,则 CN=9-x.∵正方形 ABCD,∴∠C=90°.∴CN2+B′C2=B′N2.∵B′C=3,∴(9-x)2+32=x2.解得 x=5,∴BN=5.(2)∵正方形 ABCD,∴AD∥BC,∠A=90°.∵点 M,N 分别在 AD,BC 边上,∴四边形 ABNM 是直角梯形.∵BN=B′N=5,BC=9,∴NC=4.∴sin∠1= ,tan∠1= .∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠3=∠1.∴sin∠3=sin∠1= ,在 Rt△DB′P 中,∵∠D=90°,DB′=DC-B′C=6,sin∠3= = ,∴PB′= ,∵A′B′=AB=9,BB CBA ∴A′P=A′B′-PB′= ,∵∠4=∠3,∴tan∠4=tan∠3= ,在 Rt△A′MP 中,∵∠A′=∠A=90°,A′P= ,tan∠4= = ,∴A'M=2.∴S梯形 ABNM= (AM+BN)×AB= ×(2+5)×9= .【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等.5.(2012•自贡)如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF 为正三角形,点E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动,且 E、F 不与 B、C、D 重合.(1)证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动,总有 BE=CF;(2)当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时,分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.【思路点拨】(1)先求证 AB=AC,进而求证△ABC、△ACD 为等边三角形,得∠4=60°,AC=AB 进而求证△ABE≌△ACF,即可求得 BE=CF;(2)根据△ABE≌△ACF 可得 = ,故根据 S四边形 AECF = + = + = 即可解题;当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时,边 AE 最短.△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化,且当 AE 最短时,正三角形 AEF 的面积会最小,又根据 =S四边形 AECF- ,则△CEF 的面积就会最大.【答案与解析】(1)证明:连接 AC,如下图所示,∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,∠1+∠EAC=60°,∠3+∠EAC=60°,∴∠1=∠3,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC 和△ACD 为等边三角形, ∴∠4=60°,AC=AB,∴在△ABE 和△ACF 中, ,∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE=CF;(2)解:四边形 AECF 的面积不变,△CEF 的面积发生变化.理由:由(1)得△ABE≌△ACF,则 S△ABE=S△ACF,故 S四边形 AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值,作 AH⊥BC 于 H 点,则 BH=2,S四边形 AECF=S△ABC= BC•AH= BC• = ,由“垂线段最短”可知:当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时,边 AE 最短.故△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化,且当 AE 最短时,正三角形 AEF 的面积会最小,又 S△CEF=S四边形 AECF-S△AEF,则此时△CEF 的面积就会最大.∴S△CEF=S四边形 AECF-S△AEF= - × × = .【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算,求证△ABE≌△ACF是解题的关键,有一定难度.6.(2012•苏州)如图,正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合,将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动,移动开始前点 A 与点 F 重合,在移动过程中,边 AD 始终与边 FG 重合,连接CG,过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P,连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm,矩形 EFGH 的边 FG,GH 的长分别为 4cm,3cm,设正方形移动时间为 x(s),线段 GP 的长为 y(cm),其中0≤x≤2.5.(1)试求出 y 关于 x 的函数关系式,并求当 y=3 时相应 x 的值;(2)记△DGP 的面积为 S1,△CDG 的面积为 S2.试说明 S1-S2是常数;(3)当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时,求线段 PD 的长.【思路点拨】(1)根据题意表示出 AG、GD 的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x 的值.(2)利用(1)得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2,然后作差即可.(3)延长 PD 交 AC 于点 Q,然后判断△DGP 是等腰直角三角形,从而结合 x 的范围得出 x 的值,在Rt△DGP 中,解直角三角形可得出 PD 的长度.【答案与解析】(1)∵CG∥AP,∴△GCD∽△APG,∴ = ,∵GF=4,CD=DA=1,AF= ,∴GD=3- ,AG=4- , ∴ = ,即 y= ,∴y 关于 x 的函数关系式为 y= ,当 y=3 时, =3,解得 x=2.5,经检验的 x=2.5 是分式方程的根.故 x 的值为 2.5;(2)∵S1= GP•GD= • •(3- )= ,S2= GD•CD= (3-x)×1= ,∴S1-S2= - =即为常数;(3)延长 PD 交 AC 于点 Q.∵正方形 ABCD 中,AC 为对角线,∴∠CAD=45°,∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°,∴∠GDP=∠ADQ=45°.∴△DGP 是等腰直角三角形,则 GD=GP,∴3-x= ,化简得:x2-5x+5=0.解得:x= ,∵0≤x≤2.5,∴x= ,
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