中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形 性 质 判 定边 角 对角线矩形 对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形 四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .中心对称图形正方形 四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形 在 Rt△DGP 中，PD= = （3-x）= ．【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．举一反三：【变式】如图，E 是矩形 ABCD 边 BC 的中点，P 是 AD 边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．（1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PHEF 是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点 P 运动到什么位置时，矩形 PHEF 变为正方形？为什么？【答案】（1）AD=2AB．证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E 是 BC 的中点，∴AB=BE=EC=CD；则△ABE、△DCE 是等腰 Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四边形 PFEH 中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形 PFEH 是矩形；（2）点 P 是 AD 的中点时，矩形 PHEF 变为正方形；理由如下：由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形 PFEH 中，PF=PH，故 PFEH 是正方形．. 【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.（2012•湛江）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去…．若正方形 ABCD 的边长记为 a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，…，an，则 an=___________． 【思路点拨】求 a2的长即 AC 的长，根据直角△ABC 中 AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算 a3、a4．由求出的 a2= a1，a3= a2…，an= an-1=（ ）n-1，可以找出规律，得到第 n 个正方形边长的表达式．【答案】（ ）n-1.【解析】∵a2=AC，且在直角△ABC 中，AB2+BC2=AC2，∴a2= a1= ，同理 a3= a2=2，,a4= a3=2 ，…由此可知：an= an-1=（ ）n-1故答案为：（ ）n-1.【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到 an的规律是解题的关键．举一反三： 【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 4】【变式】(2011 德州)长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当 n=3 时，a 的值为________．121 a 第一次操作 第二次操作【答案】 或 .2．O 是△ABC 所在平面内一动点，连接 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接，如果 DEFG 能构成四边形，(1)如图，当 O 点在△ABC 内部时，判断四边形 DEFG 是什么特殊的四边形，并证明．(2)若四边形 DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．(3)若四边形 DEFG 为菱形，O 点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．【思路点拨】（2）分析：四边形 DEFG 是平行四边形．若要四边形 DEFG 为矩形，需要 EF⊥FG．（3）分析：四边形 DEFG 是平行四边形．若要四边形 DEFG 为菱形，需要 EF=FG．【答 案与解析】（1）四边形 DEFG 是平行四边形．　　证明： ∵D、G 分别是 AB、AC 的中点，　　　　 ∴ ，且 ．　　　　 同理， ，且 ．　　　　　∴ ，且 ．　　　　　∴四边形 DEFG 是平行四边形．　（2）　解：当 AO⊥BC 时，四边形 DEFG 是矩形．　　　连接 OA，易知 ， ．　　　所以 AO⊥BC 时，EF⊥FG，此时平行四边形 DEFG 为矩形．（3）　　　　　　　　　　　 　　解：当 AO=BC 时，四边形 DEFG 是菱形．　　　　连接 OA，可知 ， ．　　　　所以当 AO=BC 时，EF=FG，此时平行四边形 DEFG 是菱形．【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.类型二、梯形的应用3．（2011•资阳）如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段 BC 上任取一点 E，连接 DE，作 EF⊥DE，交直线 AB 于点 F．（1）若点 F 与 B 重合，求 CE 的长；（2）若点 F 在线段 AB 上，且 AF=CE，求 CE 的长；（3）设 CE=x，BF=y，写出 y 关于 x 的函数关系式（直接写出结果可）．【思路点拨】（1）先证明四边形 ABED 为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；（2）设 AF=CE=x，则 HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．【答案与解析】（1）∵F 与 B 重合，且 EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形 ABED 为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作 DH⊥BC 于 H，则 DH=AB=7，CH=3．设 AF=CE=x，∵F 在线段 AB 上，∴点 E 在线段 BH 上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，又∵∠B=∠DHE=90°，∴△BEF∽△HDE ∴ = ，∴ = ，整理得 x2-22x+85=0，（x-5）（x-17）=0，∴x=5 或 17，经检验，它们都是原方程的解，但 x=17 不合题意，舍去．∴x=CE=5．（3）作 DH⊥BC 于 H，∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，∴则 HE=x-3，BF=y，当 3≤x≤12 时，易证△BEF∽△HDE，∴ = ，∴y=- x2+ x- ，当 0≤x＜3，易证△BEF∽△HDE，则 HE=3-x，BF=y，∴ = ，∴y= x2－ x＋ ．【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．举一反三：【变式】（2011•台湾）如图为菱形 ABCD 与正方形 EFGH 的重迭情形，其中 E 在 CD 上，AD 与 GH 相交于 I 点，且 AD∥HE．若∠A=60°，且 AB=7，DE=4，HE=5，则梯形 HEDI 的面积为（　　）.　　　　 　　Ａ． 　　　Ｂ． 　　　Ｃ．10- 　　　Ｄ．10+ 　　【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例 7】 4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片， 为 CD 边上的点， =3．将纸片沿某条直线折叠，使点 B 落在点 处，点 A 的对应点为 ，折痕分别与 AD，BC 边交于点 M，N． （1）求 BN 的长；（2）求四边形 ABNM 的面积. 【思路点拨】（1）根据折叠的性质得出 AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则 CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；（2）首先求出 NC 的长，即可得出 BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出 AM，即可得出答案．【答案与解析】如图．（1）由题意，点 A 与点 A′，点 B 与点 B′分别关于直线 MN 对称，∴AM=A′M，BN=B′N．设 BN=B′N=x，则 CN=9-x．∵正方形 ABCD，∴∠C=90°．∴CN2+B′C2=B′N2．∵B′C=3，∴（9-x）2+32=x2．解得 x=5,∴BN=5．（2）∵正方形 ABCD，∴AD∥BC，∠A=90°．∵点 M，N 分别在 AD，BC 边上，∴四边形 ABNM 是直角梯形．∵BN=B′N=5，BC=9，∴NC=4．∴sin∠1= ，tan∠1= ．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1．∴sin∠3=sin∠1= ，在 Rt△DB′P 中，∵∠D=90°，DB′=DC-B′C=6，sin∠3= = ，∴PB′= ，∵A′B′=AB=9，BB CBA ∴A′P=A′B′-PB′= ，∵∠4=∠3，∴tan∠4=tan∠3= ，在 Rt△A′MP 中，∵∠A′=∠A=90°，A′P= ，tan∠4= = ，∴A'M=2．∴S梯形 ABNM= （AM+BN）×AB= ×（2+5）×9= ．【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相等的角三角函数值相等．5．（2012•自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合．（1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【思路点拨】（1）先求证 AB=AC，进而求证△ABC、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE≌△ACF，即可求得 BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF 可得 = ,故根据 S四边形 AECF = + = + = 即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 =S四边形 AECF- ，则△CEF 的面积就会最大．【答案与解析】（1）证明：连接 AC，如下图所示，∵四边形 ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE 和△ACF 中， ，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四边形 AECF 的面积不变，△CEF 的面积发生变化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则 S△ABE=S△ACF，故 S四边形 AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作 AH⊥BC 于 H 点，则 BH=2，S四边形 AECF=S△ABC= BC•AH= BC• = ，由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．故△AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 S△CEF=S四边形 AECF-S△AEF，则此时△CEF 的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形 AECF-S△AEF= - × × = ．【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．6.（2012•苏州）如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合，在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合，连接CG，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD．已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH 的边 FG，GH 的长分别为 4cm，3cm，设正方形移动时间为 x（s），线段 GP 的长为 y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y=3 时相应 x 的值；（2）记△DGP 的面积为 S1，△CDG 的面积为 S2．试说明 S1-S2是常数；（3）当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时，求线段 PD 的长．【思路点拨】（1）根据题意表示出 AG、GD 的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x 的值．（2）利用（1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2，然后作差即可．（3）延长 PD 交 AC 于点 Q，然后判断△DGP 是等腰直角三角形，从而结合 x 的范围得出 x 的值，在Rt△DGP 中，解直角三角形可得出 PD 的长度．【答案与解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，∴ = ，∵GF=4，CD=DA=1，AF= ，∴GD=3- ，AG=4- ， ∴ = ，即 y= ，∴y 关于 x 的函数关系式为 y= ，当 y=3 时， =3，解得 x=2.5，经检验的 x=2.5 是分式方程的根．故 x 的值为 2.5；（2）∵S1= GP•GD= • •（3- ）= ，S2= GD•CD= （3-x）×1= ，∴S1-S2= - =即为常数；（3）延长 PD 交 AC 于点 Q．∵正方形 ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD=45°，∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP 是等腰直角三角形，则 GD=GP，∴3-x= ，化简得：x2-5x+5=0．解得：x= ，∵0≤x≤2.5，∴x= ，