0201《微积分（上）》2018 年 6 月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题填空题计算题证明题考试时间：90 分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性(一)函数1．考试内容集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数 ，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。2．考试要求(1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。(2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。(5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。(二)极限1．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。2．考试要求(1)理解数列及函数极限的概念(2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。(3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。(4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。(5)掌握用两个重要极限求极限的方法。(三)连续1．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 (最大值、最小值定理，零点定理)。2．考试要求(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 (2)掌握连续函数的四则运算法则。 (3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。 (4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 第二章、一元函数微分学(一)导数与微分1．考试内容导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。2．考试要求(1)理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。(5)会求隐函数的一阶导数。(6)了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。(7)了解微分的概念。会求函数的微分。(二)微分中值定理及导数的应用1．考试内容微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理)，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。2．考试要求(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。(4)理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。(5)会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。第三章、一元函数积分学(一)不定积分 1．考试内容原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。2．考试要求(1)理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。(2)熟练掌握不定积分的基本公式。(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。(二)定积分1．考试内容定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。 2．考试要求(1)理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。(4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。(三)广义积分1．考试内容广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。2．考试要求(1)理解广义积分的概念。(2)了解广义积分的实际背景和意义。(3)掌握广义积分的基本性质。(4)熟练掌握广义积分的计算。三、练习题一、单选题1. 极限 （ ）A、 B、2 C、 D、12. 设函数 在 处可导，且 ，则 =（ ）A、 B、1 C、2 D、43. 点 是函数 的（ ）A、连续点 B、可去间断点C、第二类间断点 D、第一类间断点但不是可去间断点4. 若 为 的极值点，则（ ）A、 必存在且 B 、 必存在但 不一定为 零C、 可能不存在 D、 必存在5. 设 为 内连续的偶函数，则 的图形（ ）A、关于 x 轴对称 B、关于 y 轴对称C、关于原点对称 D、关于直线 对称6. ，则此计算（ ）A、正确 B、错误，因为 不存在C、错误，因为 不是 未定式 D、错误，因为7. 曲线 所围图形的面积是（ ）A、 B、 C、 D、8. 设 ，则 =（ ）A、 B、 C、 D、9. 曲线 （ ）A、只有水平渐近线 B、只有垂直渐近线C、没有水平渐近线，也没有垂直渐近线 D、既有水平渐近线也有垂直渐近线10. 下列关系式正确的是（ ）A、 B、C、 D、二、填空题 1. 设 ，则 2. 曲线 的拐点坐标是_______________.3. 设 ，则4. 设 有一阶连续导数，则5. 设 在 处连续，则6. 7. 8. 设 ，则计算题1. 求2. 求3. 设函数 ，求4. 设 由方程 确定的隐函数，求5. 求由方程 确定的隐函数 的导数 6. 计算不定积分 7. 求定积分四、证明题证明：当 时，有证明： 在 内有唯一实根.四、习题解答提示一、单选题CBBCB CBCDC二、填空题1. 2. 3. 6 4. 5. 6. 7. 8. 三、计算题1. 型，本题使用“等价无穷小”比应用罗必达法则更快捷. ，，（当 ）.原式=2. ， 应 用 已 知 极 限 比 应 用 罗 必 达 法 则 更 好 . 3. ，两边对 x 求导，得 ，4. 方 程 两 边 关 于 x 求 导 ， 得 ，5. 6. 7. 四、证明题1.令 . 当 时， ，所以当 时， 单调增加，而 ，所以当 时 ，即2. 令 ，（ 1 ） ， ， 由 连 续 函 数 零 点 定 理 知 存 在使 .（2）用反证法.若在 内还有实根 ，不妨设 ，则由 Rolle 定理知存在内点 使 得 ，但 不在 内，矛盾. 所以原方程在 内有唯一实根.说明：本考试指导只适用于 201803 学期期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题答案要点只作为参考，详见课程讲义或笔记。如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家考试顺利！