理科数学宁夏卷答案
发布时间：2024-05-21 09:05:09浏览次数：42数学（理工农医类）一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1）已知集合 M={x|－3<x≤5},N={x|－5<x<5},则 M∩N=(A) {x|－5＜x＜5} (B) {x|－3＜x＜5}(C) {x|－5＜x≤5} (D) {x|－3＜x≤5}【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解.【答案】B（2）已知复数 ，那么 =（A） （B） （C） （D）【解析】 ＝【答案】D（3）平面向量 a 与 b 的夹角为 ， ， 则 （A） (B) (C) 4 (D)12【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴【答案】B（4）已知圆 C 与直线 x－y=0 及 x－y－4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则圆 C 的方程为（A） (B) (C) (D) 【解析】圆心在 x＋y＝0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径即可.【答案】B（5）从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70 种 （B） 80 种 （C） 100 种 （D）140 种【解析】直接法：一男两女,有 C51C42＝5×6＝30 种,两男一女,有 C52C41＝10×4＝40 种,共计 70 种 间接法：任意选取 C93＝84 种,其中都是男医生有 C53＝10 种,都是女医生有 C41＝4 种,于是符合条件的有 84－10－4＝70 种.【答案】A（6）设等比数列{ }的前 n 项和为 ，若 =3 ，则 =（A） 2 （B） （C） （D）3【解析】设公比为 q ,则 ＝1＋q3＝3 q3＝21 2z i 1z5 2 55 5i5 2 55 5i1 25 5i1 25 5i21 1 1 2 1 21 2 (1 2 )(1 2 ) 1 2i ii i iz 1 25 5i060(2,0)a 1b 2a b 3 2 32a b 2 32 2( 1) ( 1) 2x y 2 2( 1) ( 1) 2x y 2 2( 1) ( 1) 2x y 2 2( 1) ( 1) 2x y nanS63SS96SS738336 33 3(1 )S q SS S
于是【答案】B（7）曲线 y= 在点（1，－1）处的切线方程为（A）y=x－2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x－3 (D)y=－2x+1【解析】y’＝ ,当 x＝1 时切线斜率为 k＝－2【答案】D(8)已知函数 =Acos( )的图象如图所示， ，则 =（A） (B) (C)－ (D) 【解析】由图象可得最小正周期为 于是 f(0)＝f(),注意到与关于对称 所以 f()＝－f()＝【答案】B（9）已知偶函数 在区间 单调增加，则满足 ＜ 的 x 取值范围是（A）（ ， ） (B) ［ ， ） (C)（ ， ） (D) ［ ， ）【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)＝f(|x|) ∴得 f(|2x－1|)＜f( ),再根据 f(x)的单调性 得|2x－1|＜ 解得 ＜x＜【答案】A（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 ， ，。。。 ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（A）A>0,V=S－T (B) A<0,V=S－T (C) A>0, V=S+T（D）A<0, V=S+T【解析】月总收入为 S,因此 A＞0 时归入 S,判断框内填 A ＞0 支出 T 为负数,因此月盈利 V＝S＋T【答案】C（11）正六棱锥 P－ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－GAC 与三棱3 69361 1 2 4 71 1 2 3Sq qS q 2xx 2 22 2( 2) ( 2)x xx x ( )f xx 2( )2 3f(0)f2323121223( )f x0, )(2 1)f x 1( )3f1323132312231223131313231a2aNa
ABCDEFH锥 P－GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 P－GAC 的体积等于 B－GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH＝ABtan30°＝ AB 而 BD＝ AB 故 DH＝2BH 于是 VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC【答案】C（12）若 满足 2x+ =5, 满足 2x+2 (x－1)=5, + ＝（A） (B)3 (C) (D)4【解析】由题意 ① ② 所以 , 即 2 令 2x1＝7－2t,代入上式得 7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1) ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得 t＝x2 于是 2x1＝7－2x2【答案】C（13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】 ＝1013【答案】1013（14）等差数列 的前 项和为 ，且 则 【解析】∵Sn＝na1＋ n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4【答案】（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m）。3331x2x2x2log1x2x5272112 2 5xx 2 2 22 2log ( 1) 5x x 112 5 2xx 1 2 1log (5 2 )x x 1 2 12log (5 2 )x x 980 1+1020 2+1032 14x nannS5 36 5 5,S S 4a 1231
则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3, 体积等于 ×2×4×3＝4【答案】4（16）以知 F 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 。【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】9（17）（本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 ， ，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449） (17)解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－ 60°=60°，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， ……5 分在△ABC 中，即 AB=因此，BD=故 B，D 的距离约为 0.33km。 U……12 分（18）（本小题满分 12 分）3m162 214 12x y (1,4),A PPF PA07503006026,ABCsinCBCAsin AAB,2062315sinACsin60 。km33.020623
如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点。（I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 （18）（I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，则 MG⊥CD，MG=2，NG= .因为平面 ABCD⊥平面 DCED，所以 MG⊥平面 DCEF，可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= ，所以 sin∠MNG= 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 ……6 分解法二： 设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 =(－1,1,2).又 =（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量，可得所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos · ……6 分(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面， ……8 分则 AB 平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故 AB 平面 DCEF。又 AB//CD，所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB//EN。又 AB//CD//EF，所以 EN//EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. ……12 分（19）（本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（Ⅰ）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（Ⅱ）若目标被击中 2 次，A表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求P（A） （19）解：2636MNDA6cos( , )3| || |MN DAMN DAMN DA 36, DAMN
（Ⅰ）依题意 X 的分列为0 1 2 3 4P ………………6 分（Ⅱ）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”，i=1，2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,所求的概率为 ………12 分（20）（本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A ，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，解得 ， （舍去）所以椭圆方程为 。 ……………4 分（Ⅱ）设直线 AE 方程为： ，代入 得 设 , ,因为点 在椭圆上，所以 ………8 分又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代 K，可得1681328124818811811 1 1 1 1 1 2 2A A B A B A B A B 1 1 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P A B P A B P A B （ ）1 1 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B P A P B （0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28 3(1, )22 21 911 4b b 23b 234b 2 214 3x y 3( 1)2y k x 2 214 3x y 2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k (x , y )E EE(x , y )F FF3(1, )2A2234( ) 122x3 4Fkk 32E Ey kx k 2234( ) 122x3 4Fkk
所以直线 EF 的斜率即直线 EF 的斜率为定值，其值为 。 ……12 分（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)= x －ax+(a－1) ， 。（1）讨论函数 的单调性；（2）证明：若 ，则对任意 x ，x ，x x ，有 。(21)解：(1) 的定义域为 。2 分（i）若 即 ,则故 在 单调增加。(ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ;当 及 时，故 在 单调减少，在 单调增加。(iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加.(II)考虑函数 则由于 1<a<5,故 ，即 g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当 时有 ，即，故 ，当 时，有·········12 分32E Ey kx k ( ) 212F E F EEFF E F Ey y k x x kKx x x x 12212ln x1a ( )f x5a 12(0, )121 21 2( ) ( )1f x f xx x ( )f x(0, )2'1 1 ( 1)( 1 )( )a x ax a x x af x x ax x x 1 1a 2a 2'( 1)( )xf xx( )f x(0, )1 1a 1a 1 2a ( 1,1)x a '( ) 0f x (0, 1)x a (1, )x '( ) 0f x ( )f x( 1,1)a (0, 1), (1, )a 1 1a 2a ( )f x(1, 1)a (0,1),( 1, )a ( ) ( )g x f x x 21( 1)ln2x ax a x x 21 1( ) ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1)a ag x x a x a ax x g( ) 0g x1 20x x 1 2( ) ( ) 0g x g x 1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x 1 21 2( ) ( )1f x f xx x 1 20 x x 1 2 2 11 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )1f x f x f x f xx x x x
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明讲 已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC 外接圆劣弧 上的点（不与点 A,C 重合），延长 BD 至 E。（1） 求证：AD 的延长线平分 CDE；（2） 若 BAC=30， ABC 中 BC 边上的高为 2+ ，求 ABC 外接圆的面积。（22）解：（Ⅰ）如图，设 F 为 AD 延长线上一点∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,即 AD 的延长线平分∠CDE.（Ⅱ）设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC.连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,∴∠OCH=600.设圆半径为 r,则 r+ r=2+ ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 。（23）（本小题满分 10 分）选修 4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（ ）=1，M,N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点。（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程。（23）解：（Ⅰ）由 从而 C 的直角坐标方程为（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为所以 P 点的直角坐标为所以直线 OP 的极坐标方程为 AC32333得1)3cos( 1)sin23cos21( )2,332(3322)0,2(202312321NMyxyx，所以时，，所以时，即)332,0(),6,332(),33.1(点的极坐标为则P),(,
（24）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲设函数 。（1）若 解不等式 ；（2）如果 , ,求 的取值范围。（24）解：（Ⅰ）当 a=－1 时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.由 f(x)≥3 得︱x－1︳+︱x+1|≥3x≤－1 时，不等式化为1－x－1－x≥3 即－2x≥3不等式组 的解集为[ ，+∞),综上得， 的解集为 ……5 分（Ⅱ）若 ，不满足题设条件 若 ， 的最小值为 若 ， 的最小值为 所以 的充要条件是| -1|≥2，从而 的取值范围为( ) | 1| | |f x x x a 1,a ( ) 3f x x R ( ) 2f x a1( ) 3xf x !32( ) 3f x 3 3( , ] [ , )2 2 "1, ( ) 2 | 1|a f x x 1, ( )a f x 2 1,1 , 1,2 ( 1), 1x a x aa a xx a x #$ $ !( )f x1 a1, ( )a f x 2 1, 11 1,1 ,2 ( 1),x a xx ax a x a #$ $ !( )f x1a , ( ) 2x R f x a a( , 1] [3, ) "
