中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（提高）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式　　数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式　　几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式　　单项式和多项式统称整式．4.同类项　　所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减　　整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.　　如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.　　整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除　　①幂的运算性质：　　　　　②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．　　③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：　　平方差公式：完全平方公式：　　　 　　　在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.　　⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　　⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）.（4）公式 的推广： ( ， 均为正整数)（5）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. （6）公式 的推广： ( 为正整数). （7）逆用公式： 逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘，.考点二、因式分解1.因式分解　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法：ma +mb +mc =m (a+b+c ) （2）运用公式法：平方差公式：a2−b2=(a+b)( a−b )；完全平方公式：a2±2 ab+b2=( a±b )2（3）十字相乘法：x2+(a+b )x +ab=( x+a)( x +b )（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.（5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（6）运用求根公式法：若ax2+bx +c =0(a≠0 )的两个根是x1、x2，则有：ax2+bx +c =a( x−x1)( x−x2).3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.（5）分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类 分组方法 特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③ 符合公式的两项分组三项、一项 先完全平方公式后平方差公式五项 三项、二项 各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项 可化为二次三项式【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若多项式 x2+ax+8 和多项式 x2-3x+b 相乘的积中不含 x2、x3项，求（a-b）3-（a3-b3）的值．【思路点拨】 多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为 0，建立关于 a、b 等式，求出 a、b 后再求代数式值．【答案与解析】 解：∵（x2+ax+8）（x2-3x+b）=x4+（a-3）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b，又∵不含 x2、x3项，∴a-3=0，b-3a+8=0，解得 a=3，b=1，∴（a-b）3-（a3-b3）=（3-1）3-（33-13）=8-26=-18．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一项就是这一项的系数等于 0 再通过解方程（组）求解．2．设m2＋m－2＝0，求m3＋3m2＋2012 的值．【思路点拨】可以把m3＋3m2＋2012 及m2＋m－2＝0 变形． 【答案与解析】由m2＋m－2＝0，得m2＝2－m，m2＋m＝2，原式＝m2·m＋3m2＋2012＝（2－m）·m＋3m2＋2012＝2m－m2＋3m2＋2012＝2（m2＋m）＋2012＝2×2＋2012＝2016【总结升华】要多探索方法，寻求新颖简捷的方法．3．已知 ，求 的值． 【答案与解析】 ∵ ，∴ ．【点评】（1）逆用幂的乘方法则： ．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】已知 ， ．求 的值．【答案】 ．类型二、因式分解4．多项式 的最小值是____________.【答案】4；【解析】 ，所以最小值为 4.【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值.5．把 分解因式．【答案与解析】解法一： ．解法二： ．【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组，如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式 和 ，并且另一个因式都是( )，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式．举一反三：【变式 1】分解因式：【答案】原式 .【高清课程名称：整式与因式分解 高清 ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例 3（3）-（4）】【变式 2】(1)16x2－(x2＋4)2； (2)【答案】(1)原式＝(4x)2－(x2＋4)2＝[4x＋(x2＋4)][4x－(x2＋4)].4412 x ＝－(x2＋4x＋4)(x2－4x＋4)＝－(x＋2)2(x－2)2．(2)原式=−14( x2−16 )∠ DOE=12∠ BOD .类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．若 、 、 为三角形的三边边长，试判断 的正负状况．【思路点拨】 将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号.【答案与解析】．依三角形两边之和大于第三边，知 ， ， ，故 ．【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三：【变式 1】若△ABC 的三边长分别为 、 、 ,且满足 ， 求证： .【答案】 所以所以所以因为△ABC 的三边长分别为 、 、 ， ，所以 ，矛盾，舍去. 所以 .【高清课程名称： 整式与因式分解 高清 ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例 4】【变式 2】已知 ，求 的值．【答案】x4+1x4=(x2+1x2)2−2＝102－2＝98．321xx441xx 