中考总复习:整式与因式分解--知识讲解(提高)

发布时间:2024-06-01 11:06:34浏览次数:2
中考总复习:整式与因式分解—知识讲解(提高)【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用,多以选择题、填空题的形式出现;2.因式分解是中考必考内容,题型多以选择题和填空题为主,也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式  数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式. 要点诠释:(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.2.多项式  几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.要点诠释:(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.(3)多项式的次数是 n 次,有 m 个单项式,我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式. (4)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.3.整式  单项式和多项式统称整式.4.同类项  所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项.5.整式的加减  整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.  把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.  如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.  整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.6.整式的乘除  ①幂的运算性质:     ②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.  ③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:  ④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:  平方差公式:完全平方公式:       在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.  ⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.  ⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 要点诠释:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质, 即 ( 都是正整数). (3)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 ( 都是正整数).(4)公式 的推广: ( , 均为正整数)(5)逆用公式: ,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题. (6)公式 的推广: ( 为正整数). (7)逆用公式: 逆用算式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如: (8)多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简,有同类项的要合并.特殊的二项式相乘,.考点二、因式分解1.因式分解  把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解常用的方法 (1)提取公因式法:ma +mb +mc =m (a+b+c ) (2)运用公式法:平方差公式:a2−b2=(a+b)( a−b );完全平方公式:a2±2 ab+b2=( a±b )2(3)十字相乘法:x2+(a+b )x +ab=( x+a)( x +b )(4)分组分解法:将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解.(5)添、拆项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.(6)运用求根公式法:若ax2+bx +c =0(a≠0 )的两个根是x1、x2,则有:ax2+bx +c =a( x−x1)( x−x2).3.因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;(4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释: (1)因式分解的对象是多项式;(2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到每个因式都不能再分解为止.(4)十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.(5)分组分解法分解因式常用的思路有:方法分类 分组方法 特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③ 符合公式的两项分组三项、一项 先完全平方公式后平方差公式五项 三项、二项 各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项 可化为二次三项式【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1.若多项式 x2+ax+8 和多项式 x2-3x+b 相乘的积中不含 x2、x3项,求(a-b)3-(a3-b3)的值.【思路点拨】 多项式乘多项式法则,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.结果中不含二次项和三次项,则说明这两项的系数为 0,建立关于 a、b 等式,求出 a、b 后再求代数式值.【答案与解析】 解:∵(x2+ax+8)(x2-3x+b)=x4+(a-3)x3+(b-3a+8)x2+(ab-24)x+8b,又∵不含 x2、x3项,∴a-3=0,b-3a+8=0,解得 a=3,b=1,∴(a-b)3-(a3-b3)=(3-1)3-(33-13)=8-26=-18.【总结升华】解此类问题的常规思路是:将两个多项式依据乘法法则展开,合并同类项,根据不含某一项就是这一项的系数等于 0 再通过解方程(组)求解.2.设m2+m-2=0,求m3+3m2+2012 的值.【思路点拨】可以把m3+3m2+2012 及m2+m-2=0 变形. 【答案与解析】由m2+m-2=0,得m2=2-m,m2+m=2,原式=m2·m+3m2+2012=(2-m)·m+3m2+2012=2m-m2+3m2+2012=2(m2+m)+2012=2×2+2012=2016【总结升华】要多探索方法,寻求新颖简捷的方法.3.已知 ,求 的值. 【答案与解析】 ∵ ,∴ .【点评】(1)逆用幂的乘方法则: .(2)本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.举一反三:【变式】已知 , .求 的值.【答案】 .类型二、因式分解4.多项式 的最小值是____________.【答案】4;【解析】 ,所以最小值为 4.【点评】通过因式分解化为完全平方式,分析得出多项式的最小值.5.把 分解因式.【答案与解析】解法一: .解法二: .【点评】此题多项式的四项中没有公因式,所以不能直接用提公因式法,但如果把其中两项合为一组,如把第一、三两项和第二、四两项分为两组,可以分别提取公因式 和 ,并且另一个因式都是( ),因此可继续分解.把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解,并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同,还能用提取公因式法继续分解,那么这个多项式就可以用分组法来分解因式.举一反三:【变式 1】分解因式:【答案】原式 .【高清课程名称:整式与因式分解 高清 ID 号:399488关联的位置名称(播放点名称):例 3(3)-(4)】【变式 2】(1)16x2-(x2+4)2; (2)【答案】(1)原式=(4x)2-(x2+4)2=[4x+(x2+4)][4x-(x2+4)].4412 x =-(x2+4x+4)(x2-4x+4)=-(x+2)2(x-2)2.(2)原式=−14( x2−16 )∠ DOE=12∠ BOD .类型三、因式分解与其他知识的综合运用6.若 、 、 为三角形的三边边长,试判断 的正负状况.【思路点拨】 将原式用公式法分解因式,再由三角形三边的关系确定每个因式的符号,最后就能得出结果的符号.【答案与解析】.依三角形两边之和大于第三边,知 , , ,故 .【点评】将原式分解因式,再根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边来判断每个因式的正负.举一反三:【变式 1】若△ABC 的三边长分别为 、 、 ,且满足 , 求证: .【答案】 所以所以所以因为△ABC 的三边长分别为 、 、 , ,所以 ,矛盾,舍去. 所以 .【高清课程名称: 整式与因式分解 高清 ID 号:399488关联的位置名称(播放点名称):例 4】【变式 2】已知 ,求 的值.【答案】x4+1x4=(x2+1x2)2−2=102-2=98.321xx441xx 
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