中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y)在第一象限⇔x >0 , y >0；点 P(x,y)在第二象限⇔x <0 , y >0；点 P(x,y)在第三象限⇔x <0 , y <0；点 P(x,y)在第四象限⇔x >0 , y <0；点 P(x,y)在 x 轴上⇔ y =0，x 为任意实数；点 P(x,y)在 y 轴上⇔x=0，y 为任意实数；点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上⇔x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与 y 相等； （2）若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，且 ，试比较 的大小．【答案】 （1）由题意，得 ，解得 ．所以正比例函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ．解 ，得 ．由 ，得 ．所以两函数图象交点的坐标为（2，2）， ．（2）因为反比例函数 的图象分别在第一、三象限内，的值随 值的增大而减小，所以当 时， ．当 时， ．当 时，因为 ， ，所以 ．类型四、函数综合应用5．如图，直线 （ ＞0）与双曲线 （ ＞0）在第一象限的一支相交于 A、B 两点，与坐标轴交于 C、D 两点，P 是双曲线上一点，且 .（1）试用 、 表示 C、P 两点的坐标；（2）若△POD 的面积等于 1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；（3）若△OAB 的面积等于 ，试求△COA 与△BOD 的面积之和. 【思路点拨】bxy bxky kPDPO k b34 （1）根据直线的解析式求得点 D 的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点 P 的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点 P 的纵坐标；（2）①要求双曲线的解析式，只需求得 xy 值，显然根据△POD 的面积等于 1，即可求解；② 由①中的解析式可以进一步求得点 B 的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点 B 的坐标，即可计算△COA 与△BOD 的面积之和．【答案与解析】（1）C（0， ），D（ ，0） ∵PO＝PD ∴ ， ∴P（ ， ） （2）∵ ，有 ，化简得： ＝1 ∴ （ ＞0） （3）设 A（ ， ），B（ ， ），由 得：，又 得 ，即 得 ，再由 得 ，从而 ， ，从而推出 ，所以 .故【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组.举一反三：【变式 1】如图所示是一次函数 y1＝kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象写出 y1＞y2时 x 的取值范围________．【答案】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函b b22bODxPbkyP22bbk21PODS1221bkbkxy1x1x1y2x2yAOBCODBODCOASSSS34212121221 bbybxbxy 2238)(221 bbxbbx38)(12 xxbxybxy1012 bxxbxx 21121xx0)12)(4)(4(2 bbb4b348  BODCOASS 数的函数值就大，当 y1＞y2时，-2＜x＜0 或 x＞3． 答案：-2＜x＜0 或 x＞3【变式 2】已知函数 ，m 为何值时， (1)y 是 x 的正比例函数，且 y 随 x 的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?【答案】(1)要符合题意，m 需满足 解得∴ m＝1．(2)欲符合题意，m 需满足 解得∴ ．6．已知直线 (n 是不为零的自然数)．当 n＝1 时，直线 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A1和 B1，设△A1OB1(其中 O 是平面直角坐标系的原点)的面积为 S1；当 n＝2 时，直线与 x 轴和 y 轴分别交于点 A2和 B2，设△A2OB2的面积为 S2，…，依此类推，直线 与 x 轴和 y 轴分别交于点 An和 Bn，设△AnOBn的面积为 Sn．(1)求 的面积 S1；(2)求 S1+S2+S3+…+S6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答．【答案与解析】解：直线 ，∴ ， ． （1） ．（2）由 得，【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测． 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与 y 互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p′关于 x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点 P 与点 p′关于 y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点 P 与点 p′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数.6.点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于|y|；（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于|x|；（3）点 P(x,y)到原点的距离等于√x2+ y2.要点诠释： （1）注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质　（1）正比例函数：如果 y=kx(k 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的正比例函数．（2）正比例函数 y=kx（ k≠0)的图象：　 过（0，0），（1，K）两点的一条直线．　　　 　　　　　　　 　　　　（3）正比例函数 y=kx（k≠0)的性质 ①当 k＞0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； ②当 k＜0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质　　（1）一次函数：如果 y=kx+b(k,b 是常数，k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数．（2）一次函数 y=kx+b（k≠0)的图象 （3）一次函数 y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和(−bk, 0 )点的一条直线．①当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；② 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小．　　　　　　　　 　　　　　要点诠释： （1）当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k¿0）中的常数 k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k¿0）中的常数 k 和 b.解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k ≠o）的函数称为反比例函数.三种形式： (k≠0)或y=kx−1(k≠0)或 xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1；②比例系数k ≠0；③自变量x的取值为一切非零实数；④函数y的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，y=kx（k为常数，k ≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以 双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是y=x和y=−x）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数y=kx（k ≠0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y=kx （k ≠0）上任意点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|.（4）反比例函数性质：反比例函数y=kx( k≠0 )k的符号k>0 k<0图像 性质① x 的取值范围是 x¿0，y 的取值范围是 y¿0；②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随 x 的增大而减小.① x 的取值范围是 x¿0，y 的取值范围是 y¿0；②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随 x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数y=kx中的两个变量必成反比例关系.要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1． 已知点 A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定 a，b 的值. (1)A，B 两点关于 y 轴对称； (2)A，B 两点关于原点对称； (3)AB∥x 轴； (4)A，B 两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于 y 轴对称，y 不变，x 变为相反数； （2）关于原点对称，x 变为相反数，y 变为相反数；（3）AB∥x 轴，即两点的纵坐标不变即可；（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出 a，b．【答案与解析】(1)点 A(a，-5)，B(8，b)两点关于 y 轴对称，则 a＝-8 且 b＝-5． (2)点 A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则 a＝-8 且 b＝5． (3)AB∥x 轴，则 a≠8 且 b＝-5． (4)A，B 两点都在一、三象限的角平分线上，则 a＝-5 且 b＝8． 【总结升华】 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．举一反三：【变式】已知点 A 的坐标为(-2，-1)． (1)如果 B 为 x 轴上一点，且 ，求 B 点的坐标； (2)如果 C 为 y 轴上的一点，并且 C 到原点的距离为 3，求线段 AC 的长； (3)如果 D 为函数 y＝2x-1 图象上一点， ，求 D 点的坐标．【答案】(1)设 B(x，0)，由勾股定理得 ．解得 x1＝-5，x2＝1．经检验 x1＝-5，x2＝1 均为原方程的解． ∴ B 点的坐标为(-5，0)或(1，0)． (2)设 C(0，y)，∵ OC＝3，∴ C 点的坐标为(0，3)或(0，-3)． ∴ 由勾股定理得 ；或 ． (3)设 D(x，2x-1)，AD＝ ，由勾股定理得 ．解得 ， ． 经检验， ， 均为原方程的解． ∴ D 点的坐标为( ， )或(-1，-3)．2．已知某一函数图象如图所示． (1)求自变量 x 的取值范围和函数 y 的取值范围； (2)求当 x＝0 时，y 的对应值； (3)求当 y＝0 时，x 的对应值； (4)当 x 为何值时，函数值最大； (5)当 x 为何值时，函数值最小； (6)当 y 随 x 的增大而增大时，求 x 的取值范围； (7)当 y 随 x 的增大而减小时，求 x 的取值范围．【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.【答案与解析】 (1)x 的取值范围是-4≤x≤4，y 的取值范围是-2≤y≤4； (2)当 x＝0 时，y＝3； (3)当 y＝0 时，x＝-3 或-1 或 4； (4)当 x＝1 时，y 的最大值为 4； (5)当 x＝-2 时，y 的最小值为-2； (6)当-2≤x≤1 时，y 随 x 的增大而增大； (7)当-4≤x≤-2 或 1≤x≤4 时，y 随 x 的增大而减小．【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力．举一反三：【变式 1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离 y 与时间 x 的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知 D 项符合题意． 答案：D【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清 ID 号： 406069关联的位置名称（播放点名称）：例 1】【变式 2】下列图形中的曲线不表示 y 是 x 的函数的是( )．【答案】C.类型二、一次函数 3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵.【答案与解析】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）.在甲地游玩的时间是 1﹣0.5=0.5（h）.（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）如图，设直线 BC 解析式为 y=20x+b1，把点 B（1，10）代入得 b1=﹣10.∴直线 BC 解析式为 y=20x﹣10 ①.设直线 DE 解析式为 y=60x+b2，把点 D（ ，0）代入得 b2=﹣80.∴直线 DE 解析式为 y=60x﹣80②.联立①②，得 x=1.75，y=25.∴交点 F（1.75，25）.答：小明出发 1.75 小时（105 分钟）被妈妈追上，此时离家 25km.（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10得： ，∵∴ ∴m=30． 方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得： ∴n=5∴从家到乙地的路程为 5+25=30（km）．【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清 ID 号： 406069关联的位置名称（播放点名称）：例 6】【变式 1】(1)直线 y＝2x+1 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位后的直线的解析式是_____ ___. (2)直线 y＝2x+1 关于 x 轴对称的直线的解析式是___ _____； 直线 y＝2x+l 关于 y 轴对称的直线的解析式是___ ______； 直线 y＝2x+1 关于原点对称的直线的解析式是____ _____．(3)如图所示，已知点 C 为直线 y＝x 上在第一象限内一点，直线 y＝2x+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴于B，将直线 AB 平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1； (3)y＝2x-2．【变式 2】某地夏天旱情严重．该地 10 号、15 号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地 10号、15 号的人均用水量分别为 18 千克和 15 千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于 10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )A．23 B．24 C．25 D．26【答案】解析：设图中直线解析式为 y＝kx+b，将(10，18)，(15，15)代入解析式得解得 ∴ ． 由题意知， ，解得 ，∴送水号数应为 24．答案：B类型三、反比例函数4．已知函数 和 y＝kx+1(k≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求 a 和 k 的值； (2)当 k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以 x=1，y=a 是方程组 的解，代入可得 a 和 k 的值；（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 有解，即 有解，根据判别式△即可求出 K 的取值范围．【答案与解析】(1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)，∴ ∴ (2)将 代入 ，消去 y，得 ，∵ k≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0 即可． ∴ 1+8k≥0，解得 ．∴ 且 k≠0．【总结升华】判断反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程，再通过根的判别式来判断．举一反三：【变式】已知正比例函数 （ 为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数，）的图象有一个交点的横坐标是 2．（1）求两个函数图象的交点坐标；