中考总复习:函数综合--知识讲解(提高)

发布时间:2024-06-16 13:06:21浏览次数:10
中考总复习:函数综合—知识讲解(提高)【考纲要求】1.平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征,求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标,求线段的长度,几何图形的面积,求某些点的坐标等.2.函数的有关概念 求函数自变量的取值范围,求函数值、函数的图象、函数的表示方法.3.函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置,利用函数的图象确定某些字母的取值,利用函数的性质解决某些问题.利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势,又能反过来判定函数图象的位置.4.函数的解析式求函数的解析式,求抛物线的顶点坐标、对称轴方程,利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值. 一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.相关概念 (1)平面直角坐标系 (2)象限 (3)点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 xyO12 31234512345123A B C P M N 4.如图,点 A 在反比例函数 的图象上,点 B 在反比例函数 的图象上,AB⊥x 轴于点 M,且 AM:MB=1:2,则 k 的值为(  )A.3 B.-6 C.2 D.6【思路点拨】连接 OA、OB,先根据反比例函数 的比例系数 k 的几何意义,可知 S△AOM=,S△BOM=| |,则 S△AOM:S△BOM=3:|k|,再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比,得出 S△AOM:S△BOM=AM:MB=1:2,则 3:|k|=1:2,然后根据反比例函数 的图象所在的象限,即可确定k 的值.【答案与解析】解:如图,连接 OA、OB.∵点 A 在反比例函数 的图象上,点 B 在反比例函数 的图象上,AB⊥x 轴于点 M,∴S△AOM= ,S△BOM=| |,∴S△AOM:S△BOM= :| |=3:|k|,∵S△AOM:S△BOM=AM:MB=1:2,∴3:|k|=1:2∴|k|=6,∵反比例函数 的图象在第四象限,∴k<0,∴k=﹣6.故选 B. 【总结升华】本题考查了反比例函数 的比例系数 k 的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,难度中等,得到 3:|k|=1:2,是解题的关键.举一反三:【变式】如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=BC=4,DE⊥BC 于点 E,且 E 是 BC 中点;动点 P 从点 E 出发沿路径 ED→DA→AB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动;设点 P 的运动时间为 t秒,△PBC 的面积为 S,则下列能反映 S 与 t 的函数关系的图象是(  ) A.B.C.D.【答案】B解:根据题意得:当点 P 在 ED 上运动时,S= BC•PE=2t;当点 P 在 DA 上运动时,此时 S=8;当点 P 在线段 AB 上运动时,S= BC(AB+AD+DE﹣t)=5﹣ t;结合选项所给的函数图象,可得 B 选项符合.故选 B.类型三、函数与几何综合题5.如图,将—矩形 OABC 放在直角坐际系中,O 为坐标原点.点 A 在 y 轴正半轴上.点 E 是边AB 上的—个动点(不与点 A、B 重合),过点 E 的反比例函数 的图象与边 BC 交于点 F.(1)若△OAE、△OCF 的而积分别为 S1、S2.且 S1+S2=2,求 的值;(2)若 OA=2.0C=4.问当点 E 运动到什么位置时,四边形 OAEF 的面积最大.其最大值为多少?【思路点拨】(1)设 E( , ),F( , ), >0, >0,根据三角形的面积公式得到 S1=S2= ,利用 S1+S2=2 即可求出 .( 0)ky xx k1x1kx2x2kx1x2x2kk (2)设 E( ,2), F(4, ),利用 S四边形 OAEF=S矩形 OABC-S△BEF-S△OCF= ,根据二次函数的最值即可得到当点 E 运动到 AB 的中点时,四边形 OAEF 的面积最大,最大值是 5.【答案与解析】解:(1)∵点 E、F 在函数 的图象上,∴设 E( , ),F( , ), >0, >0,∴S1= ,S2= .∵S1+S2=2,∴ .∴ .(2)∵四边形 OABC 为矩形,OA=2,OC=4,∴设 E( ,2), F(4, ).∴BE=4- ,BF=2- .∴S△BEF= ,S△OCF= ,S矩形 OABC=2×4=8,∴S四边形 OAEF=S矩形 OABC-S△BEF-S△OCF= 8-( )-= .∴当 =4 时,S 四边形 OAEF=5.∴AE=2.∴当点 E 运动到 AB 的中点时,四边形 OAEF 的面积最大,最大值是 5.【总结升华】本题属于反比例函数综合题,考查曲线图上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值. 6.如图,P1是反比例函数 y= (k>0)在第一象限图象上的一点,点 A1的坐标为(2,0).(1)当点 P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将如何变化?(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及 A2点的坐标.【思路点拨】(1)设 P1(x,y),根据反比例函数的图象性质,可知 y 随 x 的增大而减小.又△P1OA1的面积=×0A1×y=y.故当点 P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将逐渐减小.(2)由于△P1OA1为等边三角形,作 P1C⊥OA1,垂足为 C,由等边三角形的性质及勾股定理可求出点 P1的坐标,根据点 P1是反比例函数 y= 图象上的一点,利用待定系数法求出此反比例函数的解析式;作 P2D⊥A1A2,垂足为 D.设 A1D=a,由于△P2A1A2为等边三角形,由等边三角形的性质及勾股定理,可用2k4k 214 516k  ( 0)ky xx 1x1kx2x2kx1x2x1112 2k kxx  2212 2k kxx  22 2k k 2k 2k4k2k4k21 14 2 42 2 4 16k kk k               142 4 2k k  21416k k 21416 2kk   214 516k  k 含 a 的代数式分别表示点 P2的横、纵坐标,再代入反比例函数的解析式中,求出 a 的值,进而得出 A2点的坐标.【答案与解析】解:(1)设 P1(x,y),则△P1OA1的面积= ×0A1×y=y.又∵当 k>0 时,在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.故当点 P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将逐渐减小.(2)作 P1C⊥OA1,垂足为 C,因为△P1OA1为等边三角形,所以 OC=1,P1C= ,所以 P1(1, ).代入 y= ,得 k= ,所以反比例函数的解析式为 y= .作 P2D⊥A1A2,垂足为 D.设 A1D=a,则 OD=2+a,P2D= a,所以 P2(2+a, a).代入 y= ,得(2+a)• a= ,化简得 a2+2a﹣1=0解得:a=﹣1± .∵a>0,∴a=﹣1+ .∴A1A2=﹣2+2 ,∴OA2=OA1+A1A2=2 ,所以点 A2的坐标为(2 ,0).【总结升华】此题综合考查了反比例函数的性质,利用待定系数法求函数的解析式,正三角形的性质等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识点的灵活应用.7.如图 1,已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合,AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上,且AD=2,AB=3;抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E(4,0)(1)当 x 取何值时,该抛物线取最大值?该抛物线的最大值是多少?(2)将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动,同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒(0≤t≤3),直线 AB与该抛物线的交点为 N(如图 2 所示).①当 t= 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由;②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5?若有可能,求出此时 N 点的坐标;若无可能,请说明理由. 【思路点拨】(1)根据 O、E 的坐标即可确定抛物线的解析式,进而求出其顶点坐标,即可得出所求的结论;(2)①当 t= 时,OA=AP= ,由此可求出 P 点的坐标,将其代入抛物线的解析式中进行验证即可;②此题要分成两种情况讨论:(i)PN=0 时,即 t=0 或 t=3 时,以 P、N、C、D 为顶点的多边形是△PCD,以 CD 为底 AD 长为高即可求出其面积;(ii)PN≠0 时,即 0<t<3 时,以 P、N、C、D 为顶点的多边形是梯形 PNCD,根据抛物线的解析式可表示出 N 点的纵坐标,从而得出 PN 的长,根据梯形的面积公式即可求出此时 S、t 的函数关系式,令 S=5,可得到关于 t 的方程,若方程有解,根据求得的 t 值即可确定 N 点的坐标,若方程无解,则说明以 P、N、C、D 为顶点的多边形的面积不可能为 5.【答案与解析】解:(1)因抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过坐标原点 O(0,0)和点 E(4,0),故可得 c=0,b=4,所以抛物线的解析式为 y=﹣x2+4x,由 y=﹣x2+4x,y=﹣(x﹣2)2+4,得当 x=2 时,该抛物线的最大值是 4; (2)①点 P 不在直线 ME 上;已知 M 点的坐标为(2,4),E 点的坐标为(4,0),设直线 ME 的关系式为 y=kx+b;于是得,解得所以直线 ME 的关系式为 y=﹣2x+8; 由已知条件易得,当 t= 时,OA=AP= ,P( , )∵P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=﹣2x+8;∴当 t= 时,点 P 不在直线 ME 上;②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5∵点 A 在 x 轴的非负半轴上,且 N 在抛物线上,∴OA=AP=t;∴点 P、N 的坐标分别为(t,t)、(t,﹣t2+4t)∴AN=﹣t2+4t(0≤t≤3),∴AN﹣AP=(﹣t2+4t)﹣t=﹣t2+3t=t(3﹣t)≥0,∴PN=﹣t2+3t (ⅰ)当 PN=0,即 t=0 或 t=3 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴S= DC•AD= ×3×2=3;(ⅱ)当 PN≠0 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD,AD⊥CD,∴S= (CD+PN)•AD= [3+(﹣t2+3t)]×2=﹣t2+3t+3当﹣t2+3t+3=5 时,解得 t=1、2而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内,故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5综上所述,当 t=1、2 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形面积为 5,当 t=1 时,此时 N 点的坐标(1,3)当 t=2 时,此时 N 点的坐标(2,4).【总结升华】本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.说明:(ⅱ)中的关系式,当 t=0 和 t=3 时也适合,(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分) (1)坐标轴上的点 (2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标 (3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标 (4)关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离(1)平面上一点到 x 轴、y 轴、原点的距离(2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离(3)平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用(1)利用坐标表示地理位置(2)利用坐标表示平移要点诠释: 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 ;(2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 ;(3)点 P(x,y)到原点的距离等于 .考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)6.函数图象要点诠释:由函数解析式画其图像的一般步骤:(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题要点诠释: 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 (k 0)中的常数 k;确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 (k 0)中的常数 k 和 b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题要点诠释: 反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数y=kx( k≠0 )图像上任一点yx22yx kxy bkxy  P( x , y ) 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,垂足为 M、N,则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM¿PN=|y|⋅|x|=|xy|.∵ y=kx, ∴xy=k , S=|k|.考点五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题要点诠释:1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)如图:点 A 坐标为(x1,y1),点 B 坐标为(x2,y2),则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为. 2、函数平移规律:左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=−b2 a时,y最值=4 ac−b24 a.如果自变量的取值范围是x1≤x ≤x2,那么,首先要看−b2 a是否在自变量取值范围x1≤x ≤x2内,若在此范围内,则当 x=−b2 a时,y最值=4 ac−b24 a;若不在此范围内,则需要考虑函数在x1≤x ≤x2范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当x=x2时,y最大=ax22+bx2+c,当x=x1   221221yyxx  时,y最小=ax12+bx1+c;如果在此范围内,y 随 x 的增大而减小,则当x=x1时,y最大=ax12+bx1+c,当x=x2时,y最小=ax22+bx2+c. 4、抛物线的对称变换①关于 轴对称 关于 轴对称后,得到的解析式是 ; 关于 轴对称后,得到的解析式是 .②关于 轴对称 关于 轴对称后,得到的解析式是 ; 关于 轴对称后,得到的解析式是 .③关于原点对称 关于原点对称后,得到的解析式是 ; 关于原点对称后,得到的解析式是 .④关于顶点对称 关于顶点对称后,得到的解析式是 ;关于顶点对称后,得到的解析式是 .⑤关于点 对称 关于点 对称后,得到的解析式是 .根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 永远不变.求抛物线的对称图象的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释:分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(4,0),点 P 是第一象限内的直线 y=6-x 上的点,O 是坐标原点(如图所示):   (1)P 点坐标设为(x, y) ,写出 ΔOPA 的面积 S 的关系式;   (2)S 与 y 具有怎样的函数关系,写出这函数中自变量 y 的取值范围;   (3)S 与 x 具有怎样的函数关系?写出自变量 x 的取值范围;   (4)如果把 x 看作 S 的函数时,求这个函数解析式,并写出这函数中自变量取值范围;   (5)当 S=10 时,求 P 的坐标;   (6)在直线 y=6-x 上,求一点 P,使 ΔPOA 是以 OA 为底的等腰三角形. 【思路点拨】本例的第(1)问是“SΔOPA”与“y”的对应关系,呈现正比例函数关系,y 是自变量;第(3)问是“S”与“x”的对应关系,呈现一次函数关系,x 是自变量;第(4)问是“x”与“S”的对应关系,呈现一次函数关系,S 是自变量,不要被是什么字母所迷惑,而是要从“对应关系”这个本质去考虑,分清哪个是函数,哪个是自变量. 【答案与解析】  解:(1)过 P 点作 x 轴的垂线,交于 Q,    SΔOPA= |OA|·|PQ|= ×4×y=2y.   (2)S 与 y 成正比例函数,即 S=2y,    自变量 y 的取值范围是 0<y<6.    (3)∵ y=6-x, ∴ S=2y=2(6-x)=12-2x,    ∴ S=-2x+12 成为一次函数关系,自变量 x 的取值范围是 0<x<6.   (4)∵把 x 看作 S 的函数,    ∴ 将 S=-2x+12 变形为:x= ,即这个函数的解析式为:x=- +6.    自变量 S 的取值范围是:0<S<12.   (5)当 S=10 时,代入(3)、(4)得:x=- +6=- +6=1, S=2y, 10=2y,  ∴ y=5,    ∴ P 点的坐标为(1,5).   (6)以 OA 为底的等腰 ΔOPA 中,    ∵ OA=4, ∴OA 的中点为 2,∴x=2,    ∵ y=6-x, ∴y=4. 即 P 点坐标为(2,4). 【总结升华】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念,函数的本质就是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,是一种特殊的对应关系. 函数的概念中,有两个变量,要分清对应关系,哪一个字母是函数,哪一个是自变量.比如“把 x 看作 S 的函数”时,对应关系为用 S 表示 x,其中 S 是自变量,x 是函 数. 举一反三:【高清课程名称:函数综合 2 高清 ID 号:369112 关联的位置名称(播放点名称):经典例题1】【变式】已知关于 x 的一元二次方程 有实数根,k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式;(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两公共点时,b 的取值范围. 【答案】解:(1)由题意得,Δ=16−8( k−1)≥0 . ≤3 . 为正整数,1,2,3. (2) 当 时,方程 有一个根为零;当 时,方程 无整数根; 当 时,方程 有两个非零的整数根.综上所述, 和 不合题意,舍去; 符合题意.22x +4x+k-1=02y=2x +4x+k-11y= x+b(b<k)2 当 时,二次函数为 ,把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象的解析式为 . (3)设二次函数 的图象与 轴交于 、 两点,则 . 依题意翻折后的图象如图所示.当直线 经过A点时,可得 ;当直线 经过B点时,可得 .由图象可知,符合题意的b的取值范围 为 . 2.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 P 在 BC 边上运动,连结 DP,过点 A 作 AE⊥DP,垂足为 E,设 DP=x,AE=y,则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是( )                                   (A)          (B)          (C)          (D)【思路点拨】本题应利用△APD 的面积的不同表示方法求得 y 与 x 的函数关系;或由△ADE∽△DPC 得到y 与 x 的函数关系.【答案】C ;【解析】这是一个动点问题.很容易由△ADE∽△DPC 得到 ,从而得出表达式 ;也可连结 PA,由 得到表达式 ,排除(A)、(B).因为点 P 在 BC 边上运动,当点 P 与点 C 重合时,DP 与边 DC 重合,此时 DP 最短,x=3;当点 P 与点 B 重合时,DP 与对角线 BD 重合,此时 DP 最长,x=5,即 x 的临界值是 3 和 5.又因为当 x 取 3 和 5 时,线段 AE 的长可具体求出,因此 x 的取值范围是 3≤x≤5.正确答案选(C).【总结升华】解决动点问题的常用策略是“以静制动,动静结合”.找准特殊点,是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型,要引起重视.举一反三: ABCOyx【变式】小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途自行车出了故障,只好停下来修车.车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶,下面是行驶路程 s(m)关于时间 t(min)的函数图象,那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).  【答案】A 表示小明一直在停下来修车,而没继续向前走,B 表示没有停下来修车,相反速度骑的比原来更慢,D 表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项 C 符合题意.类型二、函数的综合题3.如图,把 Rt△ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点 A、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时,线段 BC 扫过的面积为( )A.4 B.8 C.16 D.【思路点拨】此题涉及运用勾股定理;已知一次函数解析式中的 y 值,解函数转化的一元一次方程求出 x 值,利用横坐标之差计算平移的距离;以及平行四边形面积公式.【答案】C;【解析】将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时即当 y=4 时,解得 x=5,所以平移的距离为 5-1=4,又知 BC 扫过的图形为平行四边形,高不变为: ,所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.【总结升华】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键,综合性较强.举一反三:【高清课程名称:函数综合 2 高清 ID 号: 369112 关联的位置名称(播放点名称):经典例题2】【变式】在坐标系中,二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求点A的坐标;(2)当 时,求m的值;(3)已知一次函数 ,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数的图象于N. 若只有当2( 3) 3( 0)y mx m x m    45ABC  y kx b 2( 3) 3( 0)y mx m x m    2 2n   xyO12 31234512345123A B C 时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式.【答案】(1)∵点A、B是二次函数y=mx2+(m−3)x−3(m>0)的图象与x轴交点, ∴令y=0,即y=mx2+(m−3)x−3. 解得: ,x2=3m. 又∵点A在点B左侧且m>0, ∴点A的坐标为(-1,0). (2)由(1)可知点B的坐标为(3m,0) ∵二次函数与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,-3). ∵∠ABC=45°, ∴3m=3. ∴m=1. (3)由(2)得,二次函数解析式为y=x2−2 x−3. 依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2 和 2,由此可得交点坐标为(-2,5)和(2,-3). 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中, ∴一次函数的解析式为y=−2 x +1.
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