中考总复习：实数—知识讲解 （提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：      正整数自然数整数零有理数 有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数正整数正有理数正实数正分数正无理数实数 零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 （m，n 是整数 n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如 π 是无理数， 等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如 2.10100100010000…（每两个 1 之间依次多一个 0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型： …都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0 的相反数是 0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数 a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．可用式子表示为： （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若 a 是实数，则|a|≥0．3.倒数（1)实数 的倒数是 ；0 没有倒数；（2)乘积是 1 的两个数互为倒数．a、b 互为倒数 .4.平方根（1)如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作 ．（2)一个正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作 ．5.立方根如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根仍是 0．要点诠释：若 则 则 表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：nm2 4 、32 5 6、 、 ，)0()0(0)0(aaaaaa　　　　　( 0)a a a11a b  aa,a a0a  ；- ,a a0a  ；-a b （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数 a、b， 若 a-b>0 a>b；a-b=0 a=b；a-b<0 a<b.4.对于实数 a，b，c，若 a>b，b>c，则 a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 a>b>0， a2>b2a>b ；或利用倒数转化：如比较 与 .要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律 a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律 ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0．5.乘方与开方（1)求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是 n 个 a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和 0 可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和 0 都可以开立方．（3)零指数与负指数要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．（2）实数的运算律　 　加法交换律：a+b=b+a　　 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)　　 乘法交换律：ab=ba　　 乘法结合律：(ab)c=a(bc)　　 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数　　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.2.有效数字  ba 417  154 n 　　一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法把一个数用±a×10 （其中 1≤ ＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于 1 时，用科学记数法写成 a×10 ，其中 1≤ ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去 1；（2）当要表示的数的绝对值小于 1 时，用科学记数法写成 a×10 ，其中 1≤ ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想　　实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3. 从实际问题中抽象出数学模型　以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．在实数－ ，0， ，－3.14， ， ，－0.1010010001…（每两个 1 之间依次多 1 个0），sin30°这 8 个实数中，无理数有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【答案】C；【解析】在上面所给的实数中，只有 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有理数，故选 C.【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 =2 是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如 sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，v但它是无限不循环小数，是无理数． 是无理数，而不是分数．举一反三：【高清课程名称： 实数 高清 ID 号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 2-4】【变式】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______．【答案】±1；0；非负数.类型二、实数有关的计算【高清课程名称： 实数 高清 ID 号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 8-9】nnana233243242 2．(1)有一列数 ，…，那么依此规律，第 7 个数是______；（2）已知依据上述规律，则 ．【答案】(1) ； （2） .【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第 7 个为负.分子规律：第几个数就是几，即第 7 个数分子就是 7，分母规律：分子的平方加 1，第 7 个数分母就是 50.所以第 7 个数是 .（2）【点评】(1) 规律： （n 为正整数）；（2）规律： （n 为正整数）.举一反三：【变式】a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数．如：2 的差倒数是 ， 的差倒数是 ．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类推，则 ．【答案】因为，……..三个一循环，因此类型三、实数大小的比较3．若 ， ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．【答案与解析】a= ，b ，，174,103,52,211 2 31 1 2 1 1 3 1 1 4, , ,1 2 3 2 3 2 3 4 3 8 3 4 5 4 15a a a             4a6541,,2455199a 750－1009999750－99a .9999100100110110099121)1nnn(－1 1 1( 1)( 2) 1 ( 2)nn n n n n n    11 a111 211 11 ( 1) 2 113a 2a1a3a2a4a3a2009a 113a ,43.)31(112a,4.43113a,31.4114a,43.)31(115a,4.43116a2009a .43)31(112a20072008a 20082009b 2007 20092008 2009(2008 1) (2008 1)2008 2009  2 22008 12008 2009220082008 20092 2 22008 1 2008  ∴ a<b．【点评】通过通分进行比较.举一反三：【变式】当 时，比较 1＋b 与 1 的大小.【答案】（1）∵b≠0 时，∴b＞0 或 b＜0．当 b＞0 时，1＋b＞1，当 b＜0 时，1＋b＜1.类型四、平方根的应用4．已知 ，求 的值.【答案与解析】∵ ≥0， ≥0， ≥0， . ∴ 解得 则 .【点评】利用 ≥0， ≥0， ≥0（ 为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得 、 、 的值，代入后本题得以解决。举一反三：【变式】已知 x、y 是实数，且 +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ） A． B．－ C． D．－【答案】A. ∵ +（y－3）2=0， ∴3x+4=0，y－3=0， ∴x=－ ，y=3． ∵axy－3x=y，∴－ ×3a－3×（－ ）=3， ∴a= ∴答案选 A.类型五、实数运算中的规律探索5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算 8×9 和 6×7 的两个示例．0b 0)2(12312 cbabca13a 2 1b 2( 2)c 0)2(12312 cba1032 1 02 0abc   13122abc11( ) 33bca  aana2nabc3 4x 141474743 4x 43434314 （1）用法国“小九九”计算 7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设 a、b 都是大于 5 且小于 10 的整数，请你说明用题中给出的规则计算 a×b 的正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算 7×8，左手应伸出 7-5=2 个手指，右手应伸出 8-5=3 个手指；（2）按照题中示例可知：要计算 a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为 5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为 5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b根据题中的规则，a×b 的结果为 10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）而 10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b所以用题中给出的规则计算 a×b 是正确的．【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．6．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数 T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T 为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的 T 是（　　）A．363 B．153 C．159 D．456【答案】B；【解析】把 6 代入计算，第一次立方后得到 216；第二次得到 225；第三次得到 141；第四次得到 66；第五次得到 432；第六次得到 99；第七次得到 1458；第八次得到 702；第九次得到 351；第十次得到 153；开始重复，则 T=153．故选 B．【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个 3 的倍数，如 6．第一次立方后得到 216；第二次得到 225；…；第十次得到 153；开始重复，则可知 T=153．举一反三：【变式 1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第 个图形是由 个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第 个图形中火柴棒的根数是 .【答案】（1）13；（2） .n n4n3n2n1nn13 n 【变式 2】有一列数 1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第 2 个数到第 6 个数时，共数了 个数；当按顺序从第 个数到第 个数（ ＜ ）时，共数了 个数。【答案】5； .mnmn)1(  mn