中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（提高）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y)在第一象限⇔ x >0 , y >0；点 P(x,y)在第二象限⇔ x <0 , y >0；点 P(x,y)在第三象限⇔ x <0 , y <0；点 P(x,y)在第四象限⇔ x >0 , y <0；点 P(x,y)在 x 轴上⇔ y =0，x 为任意实数；点 P(x,y)在 y 轴上⇔x=0，y 为任意实数；点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上⇔x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与 y 相等； 所以点 P 的坐标为(5，0)．类型三、反比例函数4．如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为对角线 OB 的中点，点E（4，n）在边 AB 上，反比例函数 （k≠0）在第一象限内的图象经过点 D、E，且 tan∠BOA= ．（1）求边 AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和 n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折痕分别与x、y 轴正半轴交于点 H、G，求线段 OG 的长．【思路点拨】（1）由点 E 的纵坐标得出 OA=4，再根据 tan∠BOA= 即可求出 AB 的长度；（2）根据（1）求出点 B 的坐标，再根据点 D 是 OB 的中点求出点 D 的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点 E 的坐标代入进行计算即可求出 n 的值；（3）利用反比例函数解析式求出点 F 的坐标，从而得到 CF 的长度，连接 FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用 OG 表示出 CG 的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出 OG 的长度.【答案与解析】解：（1）∵点 E（4，n）在边 AB 上，∴OA=4， 在 Rt△AOB 中，∵tan∠BOA= ，∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2.（2）由（1），可得点 B 的坐标为（4，2），∵点 D 为 OB 的中点，∴点 D（2，1）.∵点 D 在反比例函数 （k≠0）的图象上，∴ ，解得 k=2.∴反比例函数解析式为 .又∵点 E（4，n）在反比例函数图象上，∴ .（3）如图，设点 F（a，2），∵反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，∴ ，解得 a=1.∴CF=1.连接 FG，设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=2﹣t，在 Rt△CGF 中，GF2=CF2+CG2，即 t2=（2﹣t）2+12，解得 t= ，∴OG=t= .【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点 D 的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．举一反三：【高清课程名称： 反比例函数 高清 ID 号： 408332 关联的位置名称（播放点名称）：例5】 【变式 1】已知：如图，正比例函数 y＝ax 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(3，2)．(1)求上述正比例函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象回答，在第一象限内，当 x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；(3)M(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中 0＜m＜3，过点 M 作直线 MB∥x 轴，交 y 轴于点 B；过点 A 作直线 AC∥y 轴交 x 轴于点 C，交直线 MB 于点 D．当四边形 OADM 的面积为 6 时，请判断线段 BM与 DM 的大小关系，并说明理由． 【答案】解：（1）将 分别代入 中，得 ， ∴ ． ∴ 反比例函数的表达式为： ； 正比例函数的表达式为 ． （2）观察图象得，在第一象限内，当 时，反比例函数的值大于正比例函数的值． （3） ． 理由：∵ ， ∴ ． 即 ． ∵ ，∴ ．即 ．∴ ．∴ ．∴ ． xky  【变式 2】已知双曲线y=3x和直线 相交于点 和点 ，且x12+x22=10.求 的值.【答案】由{y=kx+2 ¿ ¿¿¿得 ．∴ ． 故 ． ∴ ．∴ 或 . 又 即 ，舍去 ，故所求 的值为 .类型四、函数综合应用5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和 轴、 轴分别交于点 A 和点 B，且 OA＝OB＝1.这条曲线是函数 的图像在第一象限的一个分支，点 P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（ 、 ），由点 P 向 轴、 轴所作的垂线 PM、PN，垂足是 M、N，直线 AB 分别交PM、PN 于点 E、F.（1）分别求出点 E、F 的坐标（用 的代数式表示点 E 的坐标，用 的代数式表示点 F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求△OEF 的面积（结果用含 、 的代数式表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；（4）当点 P 在曲线 上移动 时，△OEF 随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那 个角的大小，并证明你的结论.【思路点拨】在证明三角形相似时， ∠EBO＝∠OAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用 到了点 P（ ， ）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征， 并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键.【答案与解析】（1）点 E（ ， ），点 F（ ， ）（2） ＝)( baP ，yx问题图 xyFENMBAOxyxy21abxyababxy21abxy21aa1 b1bEPFFNOEMOMONPEOFSSSSS矩形2)1(21)1(21)1(21 babbaaab ＝ （3）△AOF 与△BOE 一定相似，下面给出证明∵OA＝OB＝1∴∠FAO＝∠EBOBE＝AF＝∵点 P（ ， ）是曲线 上一点∴ ，即 AF·BE＝OB·OA＝1∴∴△AOF∽△BOE （4）当点 P 在曲线 上移动时，△OEF 中∠EOF 一定等于 45°，由（3）知，∠AFO＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF 及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF ∴∠EOF＝∠B＝45°.【总结升华】此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数 高清 ID 号： 406069关联的位置名称（播放点名称）：例 4-例 5】【变式 1】如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 B 在直线 y＝-x 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为( )．A．(0，0) B．( ,- ) C．( ， ) D．( ， )【答案】当 AB 与直线 y＝-x 垂直时，AB 最短．(如图所示))1(21 baaaa 2)11(22bbb 2)11(22abxy2112 abBEOAOBAFxy21 ∵直线 y＝-x，∴∠AOB＝45°．∴△AOB 是等腰直角三角形．过 B 作 BC⊥x 轴于 C．∵ A(1，0)，∴OA＝1， ．∴此题选 B．【变式 2】在同一坐标系中，一次函数 y＝(1-k)x+2k+l 与反比例函数 的图象没有交点，则常数 k的取值范围是________．【答案】由题意知∴ ．∴ 两函数图象无交点，∴ ∴ ．6．如图所示，点 A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数 的图象上．(1)求 m、k 的值；(2)如果 M 为 x 轴上一点，N 为 y 轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的解析式．【思路点拨】（1）直接把 A、B 两点的坐标代入解析式中就可以得到关于 m 的方程，解方程即可；（2）存在两种情况：当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时和当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出 M、N 的坐标，然后利用待定系数法确定直线 MN 的解析式；【答案与解析】 (1)由题意可知 m(m+1)＝(m+3)(m-1)．解得 m＝3． ∴ A(3，4)，B(6，2)． ∴ k＝4×3＝12．(2)存在两种情况，如图所示．①当 M 点在 x 轴的正半轴上，N 点在 y 轴的正半轴上时，设 M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1)． ∵ 四边形 AN1M1B 为平行四边形，∴ 点 A 对应点 N1，点 B 对应点 M1．∵ 点 A 的横坐标为 3，点 B 的纵坐标为 2． ∴ 线段 N1M1可看做由线段 AB 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位得到的． ∴ N1点的坐标为(0，4-2)，即 N1(0，2)； M1点的坐标为(6-3，0)，即 M1(3，0)． 设直线 M1N1的函数表达式为 y＝k1x+2，把 x＝3，y＝0 代入，解得 ．∴ 直线 M1N1的函数表达式为 ． ②当 M 点在 x 轴的负半轴上，N 点在 y 轴的负半轴上时，设 M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2)． ∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2． ∴ 线段 M2N2与线段 N1M1关于原点 O 成中心对称． ∴ M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2)． 设直线 M2N2的函数表达式为 ，把 x＝-3，y＝0 代入，解得 ．∴ 直线 M2N2的函数表达式为 ．综上所述，直线 MN 的函数表达式为 或 ．【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用. 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与 y 互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点 P 与点 p′关于 x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数；点 P 与点 p′关于 y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数；点 P 与点 p′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数.6.点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于|y|；（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于|x|；（3）点 P(x,y)到原点的距离等于√x2+ y2.7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点A(x1, y1)、 B(x2, y2)，那么 A、B 两点的距离为：AB=√(x1−x2)2+(y1− y2)2.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点A(x1, y)、 B(x2, y)的距离为：AB=√(x1−x2)2+(y− y)2=√(x1−x2)2=|x1−x2|（2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点A(x , y1)、 B(x , y2)的距离为：AB=√(x−x)2+(y1− y2)2=√(y1− y2)2=|y1− y2|要点诠释：（1）注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量 x、y,如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质　（1）正比例函数：如果 y=kx(k 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的正比例函数．（2）正比例函数 y=kx（ k≠0)的图象： 　 过（0，0），（1，K）两点的一条直线．　　　 　　　　　　　 　　　　（3）正比例函数 y=kx （k≠0)的性质 ①当 k＞0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； ②当 k＜0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质　　（1）一次函数：如果 y=kx+b(k,b 是常数，k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数．（2）一次函数 y=kx+b（k≠0)的图象 （3）一次函数 y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和(−bk, 0 )点的一条直线．①当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；② 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小．　　　　　　　　 　　　　　(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0 时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．②二元一次方程组{y =k1x +b1¿¿¿¿对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0 或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于 0 或小于 0 时，求自变量相应的取值范围．要点诠释： （1）当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例； （2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k¿0）中的常数 k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k¿0）中的常数 k 和 b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线 y1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．① k1≠k2⇔y1与 y2相交；②⇔y1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③{k1=k2,¿¿¿¿⇔y1与 y2平行；④{k1=k2,¿¿¿¿⇔y1与 y2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k ≠o）的函数称为反比例函数.三种形式： (k≠0)或y=kx−1(k≠0)或 xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1；②比例系数k ≠0；③自变量x的取值为一切非零实数；④函数y的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，y=kx（k为常数，k ≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是y=x和y=−x）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数y=kx（k ≠0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y=kx （k ≠0）上任意点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|.（4）反比例函数性质：反比例函数y=kx( k≠0 )k的符号k>0 k<0 图像 性质① x 的取值范围是 x¿0，y 的取值范围是 y¿0；②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随 x 的增大而减小.① x 的取值范围是 x¿0，y 的取值范围是 y¿0；②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随 x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数y=kx中的两个变量必成反比例关系.（7）反比例函数的应用 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y=kx( k≠0 )图像上任一点P( x , y )作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足为 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM¿PN=|y|⋅|x|=|xy|.∵ y=kx, ∴xy=k ， S=|k|.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数 ( ≠0)，反比例函数 ，则 当 时，两函数图象无交点； 当 时，两函数图象有两个交点，坐标分别为( ， )，( ， )．由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）； （2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知：如图所示，（1）写出△ABC 三个顶点的坐标；（2）作出△ABC 关于 x 轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；（3）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A″B″C″，并写出△A″B″C″三个顶点的坐标． 【思路点拨】（1）直接根据图形写出△ABC 三个顶点的坐标；（2）找到△ABC 的各顶点关于 x 轴对称的对称点并顺次连接成图形；（3）找到△ABC 的各顶点关于 y 轴对称的对称点并顺次连接成图形．【答案与解析】（1）△ABC 三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所画图形如下所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′三个顶点的坐标分别为：A′（4，-3），B′（3，-1），C′（1，-2）；（3）所画图形如下所示，△A″B″C″即为所求，△A″B″C″三个顶点的坐标分别为：A″（-4，3），B″（-3，1），C″（-1，2）． 【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键.举一反三：【变式】如图所示，△ABC 的顶点坐标分别为 A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将 B 点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 B1点，若设△ABC 的面积为 S1，△AB1C 的面积为 S2，则 S1，S2的大小关系为( ) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定【答案】选 B．（点 B 的平移是关键，平移后 AB＝CB1，两个三角形等底等高）．2．(1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形 A1B1C1B2，以 B2B3为对角线作第二个正方形 A2B2C2B3，以 B3B4为对角线作第三个正方形 A3B3C3B4，……如果所作正方形的对角线 都在 y 轴上，且 的长度依次增加 1 个单位，顶点 都在第一象限内(n≥1，且 n 为整数)，那么 A1的纵坐标为________，用 n 的代数式表示 的纵坐标为_______；(2)若设 的坐标为(x，y)，求 y 关于 x 的函数关系式．【思路点拨】作 A1D⊥y 轴于点 D，可推出 A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1= =2，A2的纵坐标= =4.5，则 An的纵坐标为 ．【答案与解析】(1)2， ；(2)A1的横坐标等于 ，A2的横坐标等于 ， A3的横坐标等于 ，A4的横坐标等于 ，……∴ 的横坐标等于 ，纵坐标等于 ．∵ ， ，∴ ，代入消去 n+1，得 ．∴ y 关于 x 的解析式为 ，说明点 A1，A2，A3，A4，…， 都在抛物线 上．如图所示． 【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点．类型二、一次函数3．已知点 A( ，1)，B(0，0)，C( ，0)，AE 平分∠BAC，交 BC 于点 E，则直线 AE 对应的函数解析式是( )．A. B. C. D. 【思路点拨】要求直线 AE 对应的函数表达式，可以求出 E 点的坐标即可．可以转化为求线段 BE 的长，根据角平分线的性质解决．【答案】D；【解析】解：如图所示，易证∠BAC＝60°，∠ABC＝30°． ∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠EAC＝30°．∵ AC＝1，∴ CE＝ ． ∴ BE＝ ．∴ E( ，0)． 可得直线 AE 的解析式为 ． 应选择 D．【总结升华】平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然．举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为(1，0)，点 C 的坐标为(0，4)，直线 CM∥x 轴．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y＝x+b(b 为常数)经过点 B，且与直线 CM 相交于点 D，连接 OD． (1)求 b 的值和点 D 的坐标．(2)设点 P 在 x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点 P 的坐标．【答案】(1)因为点 B 与点 A 关于原点对称，点 A 的坐标为(1，0)，所以点 B 的坐标为(-1，0)． 因为直线 y＝x+b(b 为常数)经过点 B，所以 0＝-1+b，解得 b＝1，所以直线为 y＝x+1． 因为点 C 的坐标为(0，4)，直线 CM∥x 轴，所以点 D 的纵坐标为 4． 因为直线 y＝x+1 与直线 CM 交于点 D，当 y＝4 时，4＝x+1，解得 x＝3，所以点 D 的坐标为(3，4)．(2)因为 O 为原点，点 D 的坐标为(3，4)，点 C 的坐标为(0，4)，所以 OC＝4，CD＝3，所以 OD＝5． 因为点 P 在 x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，则分三种情况： ①当 PD＝PO 时，有 ， 因为 ，所以 ，解得 ．所以点 P 的坐标为( ，0)． ②当 PD＝OD 时，PO＝2CD＝6， 所以点 P 的坐标为(6，0)．③当 OD＝PO 时，PO＝5，