西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教 专业：机电一体化技术、车辆工程、电力系统自动化技术 课程名称【编号】：高等数学【0917】 A 卷大作业 满分：100 分 （一）计算题（本大题共 9 小题，选做 4 题，每小题 20 分，共 80 分）1. 求limn → ∞(1n2+2n2+⋯+nn2)limn → ∞(1n2+2n2+⋯+nn2).解：原式2.求不定积分∫x41+x2dx.解：原式3. 求定积分∫01x e−xdx.解：4. 求函数y=x3e2 x的微分.解：5. 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值.解：对该函数求导得：令取得 3 个拐点 x1=-1 x2=0 x3=1- 1 - 易知 在(-∞,0]单调减，在[0,+∞]单调递增在 x=0 处取得极小值6. 计算抛物线y2=2 x与直线y=x −4所围图形的面积.解：联立 y²=2x，y=x-4 求两条线的交点得 (2,-2) 和 (8, 4)再用 y 轴方向定积分7. 求函数z=4 xy3+5 x2y6 的全微分.解：8. 求三元函数u=sin(x+ y2−ez)的偏导数∂ u∂ x，∂u∂ y，∂ u∂ z.解：9. 求解微分方程解：令（二）证明题（本大题共 1 小题，每小题 20 分，共 20 分）1. 证明方程 有且仅有一个小于 1 的正实根. 证：设 ，则 在[0,1]上连续，且 ， ，由介值定理，存在 使 ，即为方程的小于 1 的正实根。设另有 ， ，使- 2 - 因为 在 为端点的区间满足罗尔定理条件 ，所以在 之间至少存在一点 y，使得，但 ， ，导致矛盾，故为唯一实根。- 3 -