中考总复习:锐角三角函数综合复习--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-02 12:06:11浏览次数:9
中考总复习:锐角三角函数综合复习—知识讲解(基础)【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A 所对的边 BC 记为 a,叫做∠A 的对边,也叫做∠B 的邻边,∠B 所对的边 AC 记为 b,叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边,直角 C 所对的边 AB 记为 c,叫做斜边.  锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sinA,即 ;锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作 cosA,即 ;锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作 tanA,即 .同理 ; ; .要点诠释:  (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.  (2)sinA,cosA,tanA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成 , ,,不能理解成 sin 与∠A,cos 与∠A,tan 与∠A 的乘积.书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成ABCabc ①在你设计的测量方案中,选用的测量工具是:________________________;②要计算出塔的高,你还需要测量哪些数据?________________________________________________________.【答案】 解:(1)设 CD 的延长线交 MN 于 E 点,MN 长为 x m,则 ME=(x-1.6)m. ∵β=45°, ∴DE=ME=x-1.6. ∴CE=x-1.6+18.6=x+17. ∵ , ∴ ,解得 x=45.∴太子灵踪塔 MN 的高度为 45m. (2)① 测角仪、皮尺; ②站在 P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注:答案不唯一).6.如图所示,海上有一灯塔 P,在它周围 3 海里处有暗礁,一艘客轮以 9 海里/时的速度由西向东航行,行至 A 点处测得 P 在它的北偏东 60°方向,继续行驶 20 分钟后,到达 B 处又测得灯塔 P 在它的北偏东 45°方向,问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险? 【思路点拨】要得出有无触礁的危险,需求出轮船在航行过程中离点 P 的最近距离,然后与暗礁区的半径进行比较,若大于则无触礁的危险,若小于则有触礁的危险.【答案与解析】 解:过 P 作 PC⊥AB 于 C 点,根据题意知: AB=9× =3,∠PAB=90°-60°=30°, ∠PBC=90°-45°=45°,∠PCB=90°. ∴PC=BC 在 Rt△APC 中, , 即 . ∴ >3. 答:客轮不改变方向继续前进无触礁危险. 【总结升华】此题主要考查解直角三角形的有关知识.通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题. “tanAEF”;另外, 、 、 常写成 、 、 .  (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.  (4)由锐角三角函数的定义知:当角度在 0°<∠A<90°之间变化时, , ,tanA>0.考点二、特殊角的三角函数值   利用三角函数的定义,可求出 30°、45°、60°角的各三角函数值,归纳如下:锐角30°45° 160°要点诠释:  (1)通过该表可以方便地知道 30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ,则锐角 .  (2)仔细研究表中数值的规律会发现:     、 、 的值依次为 、 、 ,而 、 、 的值的顺序正好相反, 、 、 的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在 0°<∠A<90°之间变化时,    ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小),    ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°.  (1)互余关系: , ;  (2)平方关系: ;  (3)倒数关系: 或 ;   (4)商数关系: .  要点诠释:  锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形  在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.  在直角三角形中,除直角外,一共有 5 个元素,即三条边和两个锐角.  设在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,则有:  ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).  ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.  ③边角之间的关系:    , , ,    , , .  ④ ,h 为斜边上的高.要点诠释:  (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°),是已知的值.  (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).  (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件 解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由 求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由 求∠A,∠B=90°-∠A,一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,,锐角、对 ∠B=90°-∠A, 边(如∠A,a),斜边、锐角(如 c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点诠释:  1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.  2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.  解这类问题的一般过程是:  (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.  (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.  (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.  (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.  拓展:  在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:  (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母 表示.  坡度(坡比):坡面的铅直高度 h 和水平距离 的比叫做坡度,用字母 表示,则 ,如图,坡度通常写成 = ∶ 的形式.                    (2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.                   (3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向 PA,PB,PC 的方位角分别为是 40°,135°,245°.               (4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线 OA,OB,OC,OD 的方向角分别表示北偏东 30°,南偏东 45°,南偏西 80°,北偏西 60°.特别如:东南方向指的是南偏东 45°,东北方向指的是北偏东 45°,西南方向指的是南偏西 45°,西北方向指的是北偏西 45°.要点诠释:  1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.  2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:        3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1.如图,在 4×4 的正方形网格中,tanα=( )(A)1 (B)2 (C) (D) 【思路点拨】把∠α 放在一个直角三角形中,根据网格的长度计算出∠α 的对边和邻边的长度.【答案】B; 【解析】根据网格的特点:设每一小正方形的边长为 1,可以确定∠α 的对边为 2,邻边为 1,然后利用正切的定义 , 故选 B.【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用,可将其转化到直角三角形中解答,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.举一反三:【变式】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 AC=2BC,则 sinA 的值是( )(A) (B)2 (C) (D) 【答案】选 C.因为∠C=90°, ,所以 .类型二、特殊角的三角函数值2.已知 a=3,且 ,以 a、b、c 为边长组成的三角形面积等于( ). A.6 B.7 C.8 D.9【思路点拨】根据题意知 求出 b、c 的值,再求三角形面积.【答案】A;【解析】根据题意知 解得 所以 a=3,b=4,c=5,即 ,其构成的三角形为直角三角形,且∠C=90°,所以 .【总结升华】利用非负数之和等于 0 的性质,求出 b、c 的值,再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形,注意 tan45°的值不要记错.举一反三:【变式】 计算: .【答案】原式 .3.如图所示,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5,求 sinB·sinC 的值. 【思路点拨】 为求 sin B,sin C,需将∠B,∠C 分别置于直角三角形之中,另外已知∠A 的邻补角是60°,若要使其充分发挥作用,也需要将其置于直角三角形中,所以应分别过点 B、C 向 CA、BA 的延长线作垂线,即可顺利求解.【答案与解析】解:过点 B 作 BD⊥CA 的延长线于点 D,过点 C 作 CE⊥BA 的延长线于点 E. ∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°.∴AD=AB·cos60°=10× =5;BD=AB·sin60°=10× = .又∵CD=CA+AD=10,∴ ,∴ . 同理,可求得 . ∴ .【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的,因此若要求某个角的三角函数值,一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中.举一反三:【变式】如图,机器人从 A 点,沿着西南方向,行了 个单位,到达 B 点后观察到原点 O 在它的南偏东 60°的方向上,则原来 A 的坐标为__________.(结果保留根号).                   【答案】类型三、解直角三角形及应用【高清课堂:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例 3】4.在△ABC 中,∠A=30°,BC=3,AB= ,求∠BCA 的度数和 AC 的长. 【思路点拨】由于∠A 是一个特殊角,且已知 AB,故可以作 AC 边上的高 BD(如图所示),可求得 .由于此题的条件是“两边一对角”,且已知角的对边小于邻边,因此需要判断此题的解是否唯一,要考虑对边 BC 与 AC 边上的高 BD 的大小,而 ,所以此题有两解.【答案与解析】解:作 BD⊥AC 于 D.(1)C1点在 AD 的延长线上.在△ABC1中, , ,∴ .∴∠C1=60°.由勾股定理,可分别求得 , .∴AC1=AD+DC1= .(2)C2点在 AD 上.由对称性可得,∠BC2D=∠C1=60°,.∴∠BC2A=120°, . 综上所述,当∠BCA=60°时,AC=6;当∠BCA=120°时,AC=3.【总结升华】由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的,需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一.【高清课堂:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例 4】5.如图所示,某船向正东航行.在 A 处望见灯塔 C 在东北方向,前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30°方向,又航行了半小时到 D 处,望见灯塔 C 恰在西北方向,若船速为每小时 20 海里,求 A,D两点间的距离(结果保留根号).【思路点拨】作 CE⊥AD,用 CE 可以表示出 AE、DE,根据 AD 的长,可以得到关于 CE 的方程,就可以求得 CE 的长.【答案与解析】 解:作 CE⊥AD 于 E,设 CE=x(海里), ∵∠CAD=∠CDA=45°, ∴CE=AE=DE=x. 在 Rt△CEB 中,∠CBE=60°,BE=DE-BD=x-10.∴ .解得 .∴AD=2x=(30+ )(海里). 答:A,D 两点间的距离为 海里.【总结升华】 解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线. 已知斜三角形中的 SSS,SAS,ASA,AAS 以及 SSA 条件,求三角形中的其他元素是常见问题,注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示):举一反三:【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元 1112 年),为砖砌八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动,他们去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有:测角仪、皮尺、小镜子.(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高.下图为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点 A,用测角仪测出看塔顶(M)的仰角 α=35°,在点 A 和塔之间选择一点 B,测出看塔顶(M)的仰角 β=45°,然后用皮尺量出 A,B 两点间的距离为 18.6m,量出自身的高度为 1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7,结果保留整数). (2)如果你是活动小组的一员,正准备测量塔高,而此时塔影 NP 的长为 am(如图所示),你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能,请回答下列问题:
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