中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2011 湖北黄石）将一个有 45 度角的三角板的直角顶点 C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上，另一个顶点 A 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）.　A. 3cm 　　　B. 6cm　　　 C. 3 cm 　　　D. 6 cm2．在△ 中，若 ，则△ 是（ ）.. 锐角三角形 　 . 钝角三角形　　　 . 等腰三角形 　 . 直角三角形3. 如图，已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+PD 取最小值时，△APD 中边 AP 上的高为（）.　　A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　D.3　　4 如图，分别以直角 的三边 为直径向外作半圆．设直线 左边阴影部分的面积为 ，右边阴影部分的面积和为 ，则（ 　）.　 　　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．无法确定5（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点 P 坐标为（-2，3），以点 O 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 A，则点 A 的横坐标介于（　　）.A. -4 和-3 之间 B．3 和 4 之间 C．-5 和-4 之间 D．4 和 5 之间6（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩 形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（　　）.A.90 B．100 C．110 D．121 二、填空题7. 如图，在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角是 60°的小菱形组成的网格中，点 P 是其中的一个顶点，以点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．　 8. 如图，已知点 F 的坐标为(3，0)，点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴，y 轴的交点，点 P 是此图像上的一动点，设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d=5－ x(0≤x≤5),则结论：① AF=2； ② BF=5； ③ OA=5； ④ OB=3 中，正确结论的序号是______________. 　　9.如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE＝3，EB＝1，在 AC 上有一点 P，使 EP＋BP 最短．EP＋BP 的最小值是_______．10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR 使得∠R=90°，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G，F 在边 PQ 上，那么△PQR 的周长等于_________________. 11．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b=_____,c=________.12.如图，正方体的棱长为 2，O 为 AD 的中点，则 O，A1，B 三点为顶点的三角形面积为________________．三、解答题13. 作长为 、 、 的线段.14.如图 A、B 为两个村庄，AB、BC、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且 CD 与 AD 互相垂直。现要从点 E 处开设通往村庄 A、村庄 B 的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得 千米，BC=10 千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建费为 2 万元／千米，水下电缆的修建费为 4 万元／千米．求：1)河宽 AD(结果保留根号)； 2)公路 CD 的长;　　3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。　　　15.如图，菱形 ABCD 的边长为 12cm，∠A=60°，点 P 从点 A 出发沿线路 AB⇒BD 做匀速运动，点 Q从点 D 同时出发沿线路 DC⇒CB⇒BA 做匀速运动．（1）已知点 P，Q 运动的速度分别为 2cm/秒和 2.5cm/秒，经过 12 秒后，P、Q 分别到达 M、N 两点，试判断△AMN 的形状，并说明理由；（2）如果（1）中的点 P、Q 有分别从 M、N 同时沿原路返回，点 P 的速度不变，点 Q 的速度改为 vcm/秒，经过 3 秒后，P、Q 分别到达 E、F 两点，若△BEF 与题（1）中的△AMN 相似，试求 v 的值． 16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边 DE 与△ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将△DEF 沿 AC 方向移动．在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上（移动开始时点 D 与点 A 重合）．（1）在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行？问题②：当△DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程． 【答案与解析】一．选择题1.【答案】D.【解析】过点 A 作 AH 垂直于纸带边沿于点 H，　　　　　在直角△AHC 中，∵AH=3，∠ACH=30°，　　　　　∴AC=2AH=6, 　　　　　再在等腰直角△ABC 中，∵AC=6, ∠B=45°，　　　　　∴AB= . 　　　　　故选 D.2．【答案】D.【解析】因为 =4 ，所以 ，　　　　　 ，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形, 答案选 D.3．【答案】C．【解析】如图，过 D 点作 DE⊥BC 于 E,则 DE=AB，AD=BE,EC=BC －BE=3　　　　　在 Rt△CDE 中，DE= ,　　　　　延长 AB 至 F，使 AB=BF，连接 DF，交 BC 于 P 点，连 接 AP， 　　　　　这时候 PA+PD 取最小值，　　　　　∵AD∥BC，B 是 AF 中点，　　　　　∴　　　　　在 Rt△ABP 中，AP=　　　　　∵　　　　　∴ = ,故选 C.4．【答案】A.【解析】圆的面积为 ，设三条边长为 a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可.5．【答案】A．【解析】∵点 P 坐标为（-2，3），∴OP= ，∵点 A、P 均在以点 O 为圆心，以 OP 为半径的圆上，∴OA=OP= ，∵9＜13＜16，∴3＜ ＜4．∵点 A 在 x 轴的负半轴上，∴点 A 的横坐标介于-4 和-3 之间．故选 A．6．【答案】 C.二．填空题7．【答案】2， ， ，4， .【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有 2， ， ，4， .　　8．【答案】①； ②； ③ .【解析】令 x=0 得到 d=5,此时点 P 与点 B 重合，BF=5，由勾股定理的 OB=4.令 x=5 得到 d=2,此时点 P与点 A 重合，可得 AO=5，AF=2.9．【答案】5.【解析】根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接 DE，交 AC 于 P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离 EP＋BP 也就是 ED．2 2-2 +3 = 13（ ）1313 ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4， ∴AD＝4，根据勾股定理得： ． ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离 EP＋BP＝5．10．【答案】27+13 ．【解析】在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得 QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函数即可得到 RP、QP 的长，就可求出△PQR的周长．11.【答案】¬84,85.【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从 3 开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第 n 组数为（2n+1），（ ），（ ），由此规律解决问题．12．【答案】 .【解析】直角△AA1O 和直角△OBA 中，利用勾股定理可以得到 OA1=OB= ，在直角△A1AB 中，利用勾股定理得 A1B=2 ，过点 O 作高，交 A1B 与 M，连接 AM，则△AOM 是直角三角形，则 AM= A1B= ，OM= = ，∴△OA1B 的面积= A1B•OM= ．三.综合题13．【解析】作法：如图所示　　　　　　　　　　 　　（1）作直角边为 1（单位长度）的等腰直角△ACB，使 AB 为斜边；2 2 2 2 23 4 25ED AE AD    32(2 1) 12n  2(2 1) 12n  6521222 2OA AM3126 　　（2）作以 AB 为一条直角边，另一直角边为 1 的 Rt 。斜边为 ；　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长 度就是 、 、 、 .14．【解析】1).过 B 作 BF⊥AD 交 DA 延长线于 F，　　　　　在 Rt△ABF 中，可知∠BAF=60°，AB ，　　　　　∴ BF=6， ，　　　　　在 Rt△BFD 中，∵∠BDF=45°，　　　　　∴ DF=BF=6，　　　　　∴ 　　　　　2).过 B 作 BG⊥CD 于 G，则 BG=6，BC=10，有 CG=8，　　　　　∴ DC=CG+DG=14.　　　　　3).设 CE=x，则方案一、二费用分别为：　　　　　 ，　　　　　 ，　　　　　由 可解得　　　　　∴ 当 ＜CE＜14 时，方案一较省；　　　　　当 0＜CE＜ 时，方案二较省；　　　　　当 CE= 时，方案一、二均可．15．【解析】（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，∴△ABD 为等边三角形，故 BD=12，又∵VP=2cm/s∴SP=VPt=2×12=24（cm），∴P 点到达 D 点，即 M 与 D 重合 vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30（cm），∴N 点在 AB 之中点，即 AN=BN=6（cm），∴∠AND=90°即△AMN 为直角三角形；（2）VP=2m/s t=3s∴SP=6cm，∴E 为 BD 的中点，又∵△BEF 与△AMN 相似，∴△BEF 为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，①Q 到达 F1处：SQ=BP-BF1=6- =3（cm），故 VQ= =1（cm/秒）；②Q 到达 F2处：SQ=BP+ =9，故 VQ= = =3（cm/秒）；2BP3QS2BP3QS93 ③Q 到达 F3处：SQ=6+2BP=18，故 VQ= = =6（cm/秒）．16. 【解析】（1）变小；（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm∴AC=12∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4∴DF=4cm连接 FC，设 FC∥AB∴∠FCD=∠A=30°∴在 Rt△FDC 中，DC=4∴AD=AC-DC=12-4∴AD=12-4 时，FC∥AB；问题②：设 AD=x，在 Rt△FDC 中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16∵AC=12cm，DE=4cm，∴AD≤8cm，（I）当 FC 为斜边时，由 AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x= ；（II）当 AD 为斜边时，由 FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x= ＞8（不合题 意舍去）；（III）当 BC 为斜边时，由 AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，方程无解，∴由（I）、（II）、（III）得，当 x= 时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形；另解：BC 不能为斜边，∵FC＞CD，∴FC+AD＞12∴FC、AD 中至少有一条线段的长度大于 6，∴BC 不能为斜边，∴由（I）、（II）、（III）得，当 x= cm 时，以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形；问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15,°理由如下：假设∠FCD=15°∵∠EFC=30°作∠EFC 的平分线，交 AC 于点 P则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°3QS183333316496316316 ∴PD=4 ，PC=PF=2FD=8∴PC+PD=8+4 ＞12∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°;解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°假设∠FCE=15°AD=x由∠FED=45°得∠EFC=30°作 EH⊥FC，垂足为 H．∴HE= EF=2CE=AC-AD-DE=8-x且 FC2=（12-x）2+16∵∠FDC=∠EHC=90°∠DCF 为公共角∴△CHE∽△CDF∴ =又（ ）2=（ ）2=∴（ ）2= ，即 =整理后，得到方程 x2-8x-32=0∴x1=4-4 ＜0（不符合题意，舍去）x2=4+4 ＞8（不符合题意，舍去）∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°．33122ECFCHEDFHEDF2 2412ECFC1222(8 )(12 ) 16xx 1233