中考总复习:勾股定理及其逆定理-- 巩固练习(提高)

发布时间:2024-06-20 11:06:14浏览次数:9
中考总复习:勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习【巩固练习】一、选择题1.(2011 湖北黄石)将一个有 45 度角的三角板的直角顶点 C 放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上,另一个顶点 A 在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角,如图,则三角板的最大边的长为( ). A. 3cm    B. 6cm    C. 3 cm    D. 6 cm2.在△ 中,若 ,则△ 是( ).. 锐角三角形   . 钝角三角形    . 等腰三角形   . 直角三角形3. 如图,已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点 P 在 BC 上移动,则当 PA+PD 取最小值时,△APD 中边 AP 上的高为().  A.     B.     C.    D.3  4 如图,分别以直角 的三边 为直径向外作半圆.设直线 左边阴影部分的面积为 ,右边阴影部分的面积和为 ,则(  ).    A.     B.     C.     D.无法确定5(2012•济宁)如图,在平面直角坐标系中,点 P 坐标为(-2,3),以点 O 为圆心,以 OP 的长为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则点 A 的横坐标介于(  ).A. -4 和-3 之间 B.3 和 4 之间 C.-5 和-4 之间 D.4 和 5 之间6(2012•宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图 2 是由图 1 放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点 D,E,F,G,H,I 都在矩 形 KLMJ 的边上,则矩形 KLMJ 的面积为(  ).A.90 B.100 C.110 D.121 二、填空题7. 如图,在由 12 个边长都为 1 且有一个锐角是 60°的小菱形组成的网格中,点 P 是其中的一个顶点,以点 P 为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________.  8. 如图,已知点 F 的坐标为(3,0),点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴,y 轴的交点,点 P 是此图像上的一动点,设点 P 的横坐标为 x,PF 的长为 d,且 d 与 x 之间满足关系:d=5- x(0≤x≤5),则结论:① AF=2; ② BF=5; ③ OA=5; ④ OB=3 中,正确结论的序号是______________.   9.如图所示,正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E,AE=3,EB=1,在 AC 上有一点 P,使 EP+BP 最短.EP+BP 的最小值是_______.10.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR 使得∠R=90°,点 H 在边 QR 上,点 D,E 在边 PR 上,点 G,F 在边 PQ 上,那么△PQR 的周长等于_________________. 11.观察下列一组数:列举:3、4、5,猜想:32=4+5;列举:5、12、13,猜想:52=12+13;列举:7、24、25,猜想:72=24+25;…列举:13、b、c,猜想:132=b+c;请你分析上述数据的规律,结合相关知识求得 b=_____,c=________.12.如图,正方体的棱长为 2,O 为 AD 的中点,则 O,A1,B 三点为顶点的三角形面积为________________.三、解答题13. 作长为 、 、 的线段.14.如图 A、B 为两个村庄,AB、BC、CD 为公路,BD 为田地,AD 为河宽,且 CD 与 AD 互相垂直。现要从点 E 处开设通往村庄 A、村庄 B 的一条电缆,现在共有两种铺设方案:方案一:E→D→A→B;方案二:E→C→B→A.经测量得 千米,BC=10 千米,∠BDC=45°,∠ABD=15°.已知:地下电缆的修建费为 2 万元/千米,水下电缆的修建费为 4 万元/千米.求:1)河宽 AD(结果保留根号); 2)公路 CD 的长;  3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。   15.如图,菱形 ABCD 的边长为 12cm,∠A=60°,点 P 从点 A 出发沿线路 AB⇒BD 做匀速运动,点 Q从点 D 同时出发沿线路 DC⇒CB⇒BA 做匀速运动.(1)已知点 P,Q 运动的速度分别为 2cm/秒和 2.5cm/秒,经过 12 秒后,P、Q 分别到达 M、N 两点,试判断△AMN 的形状,并说明理由;(2)如果(1)中的点 P、Q 有分别从 M、N 同时沿原路返回,点 P 的速度不变,点 Q 的速度改为 vcm/秒,经过 3 秒后,P、Q 分别到达 E、F 两点,若△BEF 与题(1)中的△AMN 相似,试求 v 的值. 16.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF 的直角边 DE 与△ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将△DEF 沿 AC 方向移动.在移动过程中,D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合).(1)在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C 两点间的距离逐渐________..(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:问题①:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,F、C 的连线与 AB 平行?问题②:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③:在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出 AD 的长度;如果不存在,请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程. 【答案与解析】一.选择题1.【答案】D.【解析】过点 A 作 AH 垂直于纸带边沿于点 H,     在直角△AHC 中,∵AH=3,∠ACH=30°,     ∴AC=2AH=6,      再在等腰直角△ABC 中,∵AC=6, ∠B=45°,     ∴AB= .      故选 D.2.【答案】D.【解析】因为 =4 ,所以 ,      ,由勾股定理的逆定理可知:△ABC 是直角三角形, 答案选 D.3.【答案】C.【解析】如图,过 D 点作 DE⊥BC 于 E,则 DE=AB,AD=BE,EC=BC -BE=3     在 Rt△CDE 中,DE= ,     延长 AB 至 F,使 AB=BF,连接 DF,交 BC 于 P 点,连 接 AP,      这时候 PA+PD 取最小值,     ∵AD∥BC,B 是 AF 中点,     ∴     在 Rt△ABP 中,AP=     ∵     ∴ = ,故选 C.4.【答案】A.【解析】圆的面积为 ,设三条边长为 a,b,c,分别表示三块阴影部分面积,用勾股定理即可.5.【答案】A.【解析】∵点 P 坐标为(-2,3),∴OP= ,∵点 A、P 均在以点 O 为圆心,以 OP 为半径的圆上,∴OA=OP= ,∵9<13<16,∴3< <4.∵点 A 在 x 轴的负半轴上,∴点 A 的横坐标介于-4 和-3 之间.故选 A.6.【答案】 C.二.填空题7.【答案】2, , ,4, .【解析】如下图,可能的直角三角形斜边长有 2, , ,4, .  8.【答案】①; ②; ③ .【解析】令 x=0 得到 d=5,此时点 P 与点 B 重合,BF=5,由勾股定理的 OB=4.令 x=5 得到 d=2,此时点 P与点 A 重合,可得 AO=5,AF=2.9.【答案】5.【解析】根据正方形的对称性可知:BP=DP,连接 DE,交 AC 于 P,ED=EP+DP=EP+BP, 即最短距离 EP+BP 也就是 ED.2 2-2 +3 = 13( )1313 ∵AE=3,EB=1,∴AB=AE+EB=4, ∴AD=4,根据勾股定理得: . ∵ED>0,∴ED=5,∴最短距离 EP+BP=5.10.【答案】27+13 .【解析】在直角△ABC 中,根据三角函数即可求得 AC,进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得 QR 的长,在直角△QRP 中运用三角函数即可得到 RP、QP 的长,就可求出△PQR的周长.11.【答案】¬84,85.【解析】认真观察三个数之间的关系:首先发现每一组的三个数为勾股数,第一个数为从 3 开始连续的奇数,第二、三个数为连续的自然数;进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和;最后得出第 n 组数为(2n+1),( ),( ),由此规律解决问题.12.【答案】 .【解析】直角△AA1O 和直角△OBA 中,利用勾股定理可以得到 OA1=OB= ,在直角△A1AB 中,利用勾股定理得 A1B=2 ,过点 O 作高,交 A1B 与 M,连接 AM,则△AOM 是直角三角形,则 AM= A1B= ,OM= = ,∴△OA1B 的面积= A1B•OM= .三.综合题13.【解析】作法:如图所示             (1)作直角边为 1(单位长度)的等腰直角△ACB,使 AB 为斜边;2 2 2 2 23 4 25ED AE AD    32(2 1) 12n  2(2 1) 12n  6521222 2OA AM3126   (2)作以 AB 为一条直角边,另一直角边为 1 的 Rt 。斜边为 ;  (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、 的长 度就是 、 、 、 .14.【解析】1).过 B 作 BF⊥AD 交 DA 延长线于 F,     在 Rt△ABF 中,可知∠BAF=60°,AB ,     ∴ BF=6, ,     在 Rt△BFD 中,∵∠BDF=45°,     ∴ DF=BF=6,     ∴      2).过 B 作 BG⊥CD 于 G,则 BG=6,BC=10,有 CG=8,     ∴ DC=CG+DG=14.     3).设 CE=x,则方案一、二费用分别为:      ,      ,     由 可解得     ∴ 当 <CE<14 时,方案一较省;     当 0<CE< 时,方案二较省;     当 CE= 时,方案一、二均可.15.【解析】(1)∵∠A=60°,AD=AB=12,∴△ABD 为等边三角形,故 BD=12,又∵VP=2cm/s∴SP=VPt=2×12=24(cm),∴P 点到达 D 点,即 M 与 D 重合 vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30(cm),∴N 点在 AB 之中点,即 AN=BN=6(cm),∴∠AND=90°即△AMN 为直角三角形;(2)VP=2m/s t=3s∴SP=6cm,∴E 为 BD 的中点,又∵△BEF 与△AMN 相似,∴△BEF 为直角三角形,且∠EBF=60°,∠BPF=30°,①Q 到达 F1处:SQ=BP-BF1=6- =3(cm),故 VQ= =1(cm/秒);②Q 到达 F2处:SQ=BP+ =9,故 VQ= = =3(cm/秒);2BP3QS2BP3QS93 ③Q 到达 F3处:SQ=6+2BP=18,故 VQ= = =6(cm/秒).16. 【解析】(1)变小;(2)问题①:∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm∴AC=12∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4∴DF=4cm连接 FC,设 FC∥AB∴∠FCD=∠A=30°∴在 Rt△FDC 中,DC=4∴AD=AC-DC=12-4∴AD=12-4 时,FC∥AB;问题②:设 AD=x,在 Rt△FDC 中,FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16∵AC=12cm,DE=4cm,∴AD≤8cm,(I)当 FC 为斜边时,由 AD2+BC2=FC2得,x2+62=(12-x)2+16,x= ;(II)当 AD 为斜边时,由 FC2+BC2=AD2得,(12-x)2+16+62=x2,x= >8(不合题 意舍去);(III)当 BC 为斜边时,由 AD2+FC2=BC2得,x2+(12-x)2+16=36,x2-24x+160=0,方程无解,∴由(I)、(II)、(III)得,当 x= 时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形;另解:BC 不能为斜边,∵FC>CD,∴FC+AD>12∴FC、AD 中至少有一条线段的长度大于 6,∴BC 不能为斜边,∴由(I)、(II)、(III)得,当 x= cm 时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形;问题③:解法一:不存在这样的位置,使得∠FCD=15,°理由如下:假设∠FCD=15°∵∠EFC=30°作∠EFC 的平分线,交 AC 于点 P则∠EFP=∠CFP=15°,∠DFE+∠EFP=60°3QS183333316496316316 ∴PD=4 ,PC=PF=2FD=8∴PC+PD=8+4 >12∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°;解法二:不存在这样的位置,使得∠FCD=15°假设∠FCE=15°AD=x由∠FED=45°得∠EFC=30°作 EH⊥FC,垂足为 H.∴HE= EF=2CE=AC-AD-DE=8-x且 FC2=(12-x)2+16∵∠FDC=∠EHC=90°∠DCF 为公共角∴△CHE∽△CDF∴ =又( )2=( )2=∴( )2= ,即 =整理后,得到方程 x2-8x-32=0∴x1=4-4 <0(不符合题意,舍去)x2=4+4 >8(不符合题意,舍去)∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°.33122ECFCHEDFHEDF2 2412ECFC1222(8 )(12 ) 16xx 1233
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