2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）一．填空题（每小题 8 分，共 32 分）1．（8 分）算式： 的计算结果是　 　．2．（8 分）某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待 2013 年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第 2 个‘幸运年’了．”那么，哥哥是年出生的．3．（8 分）如图示，分别以正八边形的四个顶点A、B、C、D为圆心，以正八边形边长为半径画圆．圆弧的交点分别为E、F、G、H．如果正八边形边长为 100 厘米，那么，阴影部分的周长是　 　厘米． （π 取 3.14）4．（8 分）由 2、0、1、3 四个数字组成（可重复使用）的比 2013 小的四位数有　 　个．二．填空题（每小题 10 分，共 40 分）5．（10 分）小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是　 　．6．（10 分）在 33 的九宫格内填入数字 1 至 9（每个数字都恰好使用﹣次），满足圆圈内的数恰好为它周围四个方格的数字之和．例如A+B+D+E＝28，那么 组成的五位数是　 　．三．填空题（每小题 12 分，共 48 分）7．（12 分）四个不同的自然数和为 2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是　 　．8．（12 分）甲、乙二车分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过AB中点 12 千米时，两车相遇．若甲比乙晚出发 10 分钟，则两车恰好相遇在AB中点，且甲到B地时，乙距离A地还有20 千米．AB两地间的路程是　 　千米．9．（12 分）老师从写有 1～13 的 13 张卡片中，抽出 9 张，分别贴在 9 位同学的额头上，大家能看到其他 8 人的数但看不到自己的数．（9 位同学都诚实而且聪明，且卡片 6、9 不能颠倒）老师问：“现在知道自己的数的约数个数的同学请举手．”有两人举手，手放下之后，有三个人有如下的对话． 甲：“我知道我是多少了．”乙：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”丙：“我的数比乙的小 2，比甲的大 1．”那么，没有被抽出的四张牌上数的和是　 　．2013 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）参考答案与试题解析一．填空题（每小题 8 分，共 32 分） 1．（8 分）算式： 的计算结果是　 126 　 ．【解答】解：分子＝5.7×4.2+4.2×4.3＝4.2×（5.7+4.3）＝4.2×10＝42分母＝ ×15+ ×3×59+656＝ ×14+ ×59+656＝ ×（14+59）+656＝ ×73+656＝15+656＝617＝2013×＝3×42＝126故答案为：126．2．（8 分）某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待 2013 年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第 2 个‘幸运年’了．”那么，哥哥是1987 　 年出生的．【解答】解：从 2013 年往前推算，年份依次是：2012，有 2 个 2；2011，有 2 个 1；2010 有 2 个 0；2009～2000，都至少有 2 个 0；1999～1989，都至少有 2 个 9；1988，有 2 个 8；1987 四个数字都不相同；所以哥哥是 1987 年出生的．故答案为：1987．3．（8 分）如图示，分别以正八边形的四个顶点A、B、C、D为圆心，以正八边形边长为半径画圆．圆弧的交点分别为E、F、G、H．如果正八边形边长为 100 厘米，那么，阴影部分的周长是　 314 　 厘米． （π 取 3.14） 【解答】解：180°×（8﹣2）÷8＝180°×6÷8＝135°×3.14×100× ×4＝ ×3.14×100×4＝314（厘米）答：阴影部分的周长是 314 厘米．故答案为：314．4．（8 分）由 2、0、1、3 四个数字组成（可重复使用）的比 2013 小的四位数有　 71 　 个．【解答】解：根据分析可得，①首位为 1 时，共有：4×4×4＝64（个）；②首位为 2 时，共有：4+3＝7（个）；所以，共有：64+7＝71（个）．答：由 2、0、1、3 四个数字组成（可重复使用）的比 2013 小的四位数有 71 个．故答案为：71．二．填空题（每小题 10 分，共 40 分）5．（10 分）小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是　 8000 　 ．【解答】解：200＝52×23，那么与 200 互质必须符合：既不是 2 的倍数，也不是 5 的倍数，1～199 中奇数的和是：＝100×100＝10000，其中又是 5 的倍数（奇数倍）的和是：其中最大的 5 的倍数是 5×39，5×＝5×400＝2000，10000﹣2000＝8000；答：小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是 8000．故答案为：8000．6．（10 分）在 33 的九宫格内填入数字 1 至 9（每个数字都恰好使用﹣次），满足圆圈内的数恰好为它周围四个方格的数字之和．例如A+B+D+E＝28，那么 组成的五位数是　 71925 　 ． 【解答】解：因为A+B+D+E＝28，而 9+8+7+6＝30，所以ABCDE中必有 8 和 9，可以是 9+8+7+4 和9+8+6+5 两种． ①若A+B+D+E＝9+8+7+4，再考虑D+E+G+H＝25，以及右下角的 23，令E＝9，D＝8，A＝7，B＝4，则G+H＝7+4﹣3＝8，C+F＝7+8﹣11＝4，所以C＝1，F＝3，那么G＝2，H＝6，I＝5，所以ACEGI＝71925，其余皆矛盾；②若A+B+D+E＝9+8+6+5，尝试知矛盾．所以ACEGI＝71925．答： 组成的五位数是 71925故答案为：71925．三．填空题（每小题 12 分，共 48 分）7．（12 分）四个不同的自然数和为 2013，那么这四个自然数的最小公倍数最小是　 990 　 ．【解答】解：设最小公倍数为x，四个数分别为 ， ， 和 ．那么 ．要使x尽量小，那么 尽量大．即a，b，c，d尽量小，那么考虑 ．那么 ，x不是整数，舍去．再考虑 ，，得x＝990．满足条件．综上所述最小公倍数是 990．故答案为：990．8．（12 分）甲、乙二车分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过AB中点 12 千米时，两车相遇．若甲比乙晚出发 10 分钟，则两车恰好相遇在AB中点，且甲到B地时，乙距离A地还有20 千米．AB两地间的路程是　 120 　 千米．【解答】解：设全长为s （s+24）：（s﹣24）＝s：（s﹣40） （s+24）×（s﹣40）＝（s﹣24）×s s2﹣16s﹣960＝s2﹣24s 24s﹣16s＝960　　　　　　　 　8s＝960 s＝120答：AB两地间的路程是 120 千米．故答案为：120．9．（12 分）老师从写有 1～13 的 13 张卡片中，抽出 9 张，分别贴在 9 位同学的额头上，大家能看到其 他 8 人的数但看不到自己的数．（9 位同学都诚实而且聪明，且卡片 6、9 不能颠倒）老师问：“现在知道自己的数的约数个数的同学请举手．”有两人举手，手放下之后，有三个人有如下的对话． 甲：“我知道我是多少了．”乙：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”丙：“我的数比乙的小 2，比甲的大 1．”那么，没有被抽出的四张牌上数的和是　 28 　 ．【解答】解：约数个数为 1 的有 1；约数个数为 2 的有 2、3、5、7、11、13；约数个数为 3 的有 4、9；约数个数为 4 的有 6、8、10；约数个数为 6 的有 12每个人只能看到另外 8 位同学额头上的数，而要看到 8 个数就能确定自己约数的个数，只能是约数个数为 1、3、4、6 的都看到了，所以没有抽出的四张牌必定约数个数为 2 个，是质数．约数个数不是 2 的数有 7 个，所以 7 个人没有举手，所以举手的两个人额头上的数都是质数．手放下之后，甲说：“我知道我是多少了．”所以甲额头上的数不是质数．乙说：“虽然我不知道我的数是多少，但我已经知道自己的奇偶性了．”乙现在还不确定自己的数是多少，那么只可能他是约数个数 2 个的，也就是他额头上的数是质数，他有知道奇偶性，所以他看到其他人额头上有 2，所以乙的数除了2 之外的质数，必定是奇数，而丙比乙小 2，所以丙也是奇数，又丙知道自己的数，所以丙的数不是质数，那么丙的数只能是 1 或者 9，又要比甲大 1，所以丙是 9，甲是 8，乙是 11．那么，质数当中出现了 2 和 11所以没有被抽出的四张牌是 3、5、7、13，和为 3+5+7+13＝28故答案为：28．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:08:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800