中考总复习:函数综合--知识讲解(基础)

发布时间:2024-06-21 12:06:41浏览次数:3
中考总复习:函数综合—知识讲解(基础)【考纲要求】1.平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征,求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标,求线段的长度,几何图形的面积,求某些点的坐标等;2.函数的有关概念 求函数自变量的取值范围,求函数值、函数的图象、函数的表示方法;3.函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置,利用函数的图象确定某些字母的取值,利用函数的性质解决某些问题.利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势,又能反过来判定函数图象的位置;4.函数的解析式求函数的解析式,求抛物线的顶点坐标、对称轴方程,利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值. 一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题.【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.相关概念 (1)平面直角坐标系 (2)象限 (3)点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 (2)解:∵ 抛物线经过点 P ,点 Q , ∴ ① ∵ ,a>0,c<0,∴ , .∴ <0. >0.∴ .② 由 a>0 知抛物线 开口向上.∵ , ,∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方.∵ 点 A,B 的坐标分别为 A ,B (点 A 在点 B 左侧),∴ 由抛物线 的示意图可知,对称轴右侧的点 B 的横坐标 满足 .∵ 抛物线的对称轴为直线 ,由抛物线的对称性可 ,由(1)知 ,∴ .∴ ,即 . (1)坐标轴上的点 (2)一三或二四象限角平分线上的点的坐标 (3)平行于坐标轴的直线上的点的坐标 (4)关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离(1)平面上一点到 x 轴、y 轴、原点的距离(2)坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离(3)平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用(1)利用坐标表示地理位置(2)利用坐标表示平移要点诠释: 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 ;(2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 ;(3)点 P(x,y)到原点的距离等于 .考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法(解析法、列表法、图象法)6.函数图象要点诠释:由函数解析式画其图像的一般步骤:(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题要点诠释: 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 (k 0)中的常数 k;确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 (k 0)中的常数 k 和 b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题要点诠释: 反比例函数中反比例系数的几何意义,如下图,过反比例函数y=kx( k≠0 )图像上任一点yx22yx kxy bkxy  P( x , y ) 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,垂足为 M、N,则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM¿PN=|y|⋅|x|=|xy|.∵ y=kx, ∴xy=k , S =|k|.考点五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题要点诠释:1、两点间距离公式(当遇到没有思路的问题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)如图:点 A 坐标为(x1,y1),点 B 坐标为(x2,y2),则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为. 2、函数平移规律:左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释:分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式(或图象)也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1. 已知一次函数 y=(3a-2)x+(1-b),求字母 a, b 的取值范围,使得:   (1)y 随 x 的增大而增大;    221221yyxx    (2)函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方;   (3)函数的图象过第一、二、四象限. 【思路点拨】(1)y=kx+b (k≠0)的图象,当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;(2)当 b<0 时,函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方; (3)当 k<0, b>0 时时,函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】  解:a、b 的取值范围应分别满足:   (1)由一次函数 y=kx+b(k≠0)的性质可知:   当 k>0 时,函数值 y 随 x 的增大而增大,即 3a-2>0,   ∴ , 且 b 取任何实数.   (2)函数图象与 y 轴的交点为(0,1-b),   ∵ 交点在 x 轴的下方,   ∴ ,即 a≠ , b>1.   (3)函数图象过第一、二、四象限,则必须满足 .【总结升华】下面是 y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图,如图 1,当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大;当 b>0 时,图象过一、二、三象限,当 b=0 时,是正比例函数,当 b<0 时,图象过一、三、四象限;当 y=x 时,图象过一、三象限,且是它的角平分线.由于常数 k、b 不同,可得到不同的函数,k 决定直线与 x 轴夹角的大小,b 决定直线与 y 轴交点的位置,由 k 定向,由 b 定点.同样,如图 2,是 k<0 的各种情况,请你指出它们的图象的特点和性质. 举一反三:【变式】作出函数 y=x, , 的图象,它们是不是同一个函数? 【答案】 函数 的自变量 x 的取值范围是 x≥0;函数 在 x≠0 时,就是函数 y=x;而 x=0不在函数 的自变量 x 的取值范围之内.   由此,作图如下:      可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2.已知:  (1)m 为何值时,它是一次函数.  (2)当它是一次函数时,画出草图,指出它的图象经过哪几个象限?y 是随 x 的增大而增大还是减小?  (3)当图象不过原点时,求出该图象与坐标轴交点间的距离,及图象与两轴所围成的三角形面积.【思路点拨】一次函数应满足:一次项(或自变量)的指数为 1,系数不为 0.【答案与解析】(1)依题意: ,解得 m=1 或 m=4.    ∴当 m=1 或 m=4 时,它是一次函数.  (2)当 m=4 时,函数为 y=2x,是正比例函数,图象过一,三象限,   y 随 x 的增大而增大.   当 m=1 时,函数为 y=-x-3,直线过二,三,四象限,y 随 x 的增大而减小.    (3)直线 y=-x-3 不过原点,它与 x 轴交点为 A(-3,0),    与 y 轴交点为 B(0,-3), .    .    ∴直线 y=-x-3 与两轴交点间的距离为 ,与两轴围成的三角形面积为 .【总结升华】  (1)某函数是一次函数应满足的条件是:一次项(或自变量)的指数为 1,系数不为 0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:常数项为 0.  (2)判断函数的增减性,关键是确定直线 y=kx+b(k≠0)中 k、b 的符号.  (3)直线 y=kx+b(k≠0)与两轴的交点坐标可运用 x 轴、y 轴上的点的特征来求,当直线y=kx+b(k≠0)上的点在 x 轴上时,令 y=0,则 ,交点为 ;当直线 y=kx+b(k≠0)上的点在 y 轴上时,令 x=0,则 y=b,即交点为(0,b).举一反三: 【高清课程名称:函数综合 1 高清 ID 号: 369111 关联的位置名称(播放点名称):经典例题2】【变式】已知关于 的方程 .(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根大于 4 且小于 8,求 m 的取值范围;(3)设抛物线 与 轴交于点 M,若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 的对称点恰好是点 M,求 的值.【答案】证明:(1) ,所以方程总有两个实数根.解:(2)由(1) ,根据求根公式可知, 方程的两根为: 即 , , 由题意,有 ,即 .(3)易知,抛物线 与 y 轴交点为 M(0, ),由(2)可知抛物线与 x 轴的交点为(1,0)和( ,0),它们关于直线 的对称点分别为(0, )和(0, ),由题意,可得 或 ,所以 或 . 3.抛物线 y=x2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位,所得图象的解析式为 y=x2﹣2x﹣3,则 b、c 的值为(  )A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=﹣2,c=﹣1 D.b=﹣3,c=2【思路点拨】易得新抛物线的顶点,根据平移转换可得原抛物线顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式,展开即可得到 b,c 的值.【答案】B.【解析】解:由题意得新抛物线的顶点为(1,﹣4),∴原抛物线的顶点为(﹣1,﹣1),设原抛物线的解析式为 y=(x﹣h)2+k 代入得:y=(x+1)2﹣1=x2+2x,∴b=2,c=0.故选 B.【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值;讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.4.若一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 的图象没有公共点,则实数 k 的取值范围是 .【思路点拨】x2( 3) 4 0x m x m    2( 3) 4y x m x m    yy xm 因为反比例函数 的图象在第一、三象限,故一次函数 y=kx+1 中,k<0,将解方程组转化成关于 x 的一元二次方程,当两函数图象没有公共点时,只需△<0 即可.【答案】 .【解析】由反比例函数的性质可知, 的图象在第一、三象限,∴当一次函数 y=kx+1 与反比例函数图象无交点时,k<0,解方程组 ,得 kx2+x-1=0,当两函数图象没有公共点时,△<0,即 1+4k<0,解得 ,∴两函数图象无公共点时, .故答案为: . 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.关键是转化成关于 x 的一元二次方程,再确定 k 的取值范围.类型三、函数综合题5.已知点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 y= 的图象上.下列结论中正确的是(  )A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1【思路点拨】先判断出函数反比例函数 y= 的图象所在的象限,再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断.【答案】B.【解析】解:∵k2≥0,∴﹣k2≤0,﹣k2﹣1<0,∴反比例函数 y= 的图象在二、四象限, ∵点(﹣1,y1)的横坐标为﹣1<0,∴此点在第二象限,y1>0;∵(2,y2),(3,y3)的横坐标 3>2>0,∴两点均在第四象限 y2<0,y3<0,∵在第四象限内 y 随 x 的增大而增大,∴0>y3>y2,∴y1>y3>y2.故选 B.【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限,横纵坐标同号;当 k<0 时,图象分别位于第二、四象限,横纵坐标异号.举一反三:【变式】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y=bx+b2﹣4ac 与反比例函数 y=在同一坐标系内的图象大致为(  ) A. B. C. D.【答案】由抛物线的图象可知,横坐标为 1 的点,即(1,a+b+c)在第四象限,因此 a+b+c<0;∴双曲线 的图象在第二、四象限;由于抛物线开口向上,所以 a>0;对称轴 x= >0,所以 b<0;抛物线与 x 轴有两个交点,故 b2﹣4ac>0;∴直线 y=bx+b2﹣4ac 经过第一、二、四象限.故选 D.类型四、函数的应用6.如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,求绳子的最低点距地面的距离为多少米? 【思路点拨】根据题意,运用待定系数法,建立适当的函数解析式,代入求值即可解答.【答案】解:以左边树与地面交点为原点,地面水平线为 x 轴,左边树为 y 轴建立平面直角坐标系,由题意可得 A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为 y=ax2+bx+c,把 A、B、C 三点分别代入得出 c=2.5,同时可得 4a+2b+c=2.5,0.25a+0.5b+c=1解之得 a=2,b=﹣4,c=2.5.∴y=2x2﹣4x+2.5=2(x﹣1)2+0.5.∵2>0,∴当 x=1 时,y=0.5 米.∴故答案为:0.5 米.【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.举一反三:【高清课程名称: 函数综合 1 高清 ID 号: 369111 关联的位置名称(播放点名称):经典例题3】【变式】抛物线 ,a>0,c<0, .(1)求证: ; (2)抛物线经过点 ,Q .① 判断 的符号;② 抛物线与 x 轴的两个交点分别为点 A ,点 B (A 在 B 左侧),请说明 , .【答案】(1)证明:∵ ,∴ . ∵ a>0,c<0,∴ , .∴ . 2y ax bx c  2 3 6 0a b c  102 3ba 1( , )2P m(1, )nmn1( , 0)x2( ,0)x116x 2112x 
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