中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识 平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念 求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值． 一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】 【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1．相关概念 （1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （2）解：∵ 抛物线经过点 P ，点 Q ， ∴ ① ∵ ，a＞0，c＜0，∴ ， ．∴ ＜0． ＞0．∴ ．② 由 a＞0 知抛物线 开口向上．∵ ， ，∴ 点 P 和点 Q 分别位于 x 轴下方和 x 轴上方．∵ 点 A，B 的坐标分别为 A ，B （点 A 在点 B 左侧），∴ 由抛物线 的示意图可知，对称轴右侧的点 B 的横坐标 满足 ．∵ 抛物线的对称轴为直线 ，由抛物线的对称性可 ，由（1）知 ，∴ ．∴ ，即 ． （1）坐标轴上的点 （2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到 x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移要点诠释： 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 ；（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 ；（3）点 P(x,y)到原点的距离等于 .考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义 3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题要点诠释： 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数 k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数 k 和 b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题要点诠释： 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y=kx( k≠0 )图像上任一点yx22yx kxy bkxy  P( x , y ) 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足为 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM¿PN=|y|⋅|x|=|xy|.∵ y=kx, ∴xy=k ， S =|k|.考点五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点 A 坐标为（x1，y1），点 B 坐标为（x2，y2），则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为. 2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1． 已知一次函数 y=(3a-2)x+(1-b)，求字母 a, b 的取值范围，使得： 　　（1）y 随 x 的增大而增大；    221221yyxx  　　（2）函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方； 　　（3）函数的图象过第一、二、四象限. 【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；（2）当 b＜0 时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方；　（3）当 k＜0， b＞0 时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】　　解：a、b 的取值范围应分别满足： 　　（1）由一次函数 y=kx+b(k≠0)的性质可知： 　　当 k＞0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，即 3a-2＞0, 　　∴ , 且 b 取任何实数. 　　（2）函数图象与 y 轴的交点为（0,1-b）， 　　∵ 交点在 x 轴的下方， 　　∴ ，即 a≠ , b＞1. 　　（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是 y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图 1，当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 b＞0 时，图象过一、二、三象限，当 b=0 时，是正比例函数，当 b＜0 时，图象过一、三、四象限；当 y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数 k、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与 x 轴夹角的大小，b 决定直线与 y 轴交点的位置，由 k 定向，由 b 定点.同样，如图 2，是 k＜0 的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质. 举一反三：【变式】作出函数 y=x, ， 的图象，它们是不是同一个函数？ 【答案】 函数 的自变量 x 的取值范围是 x≥0；函数 在 x≠0 时，就是函数 y=x；而 x=0不在函数 的自变量 x 的取值范围之内. 　　由此，作图如下：　　 　　　可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：　　(1)m 为何值时，它是一次函数.　　(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y 是随 x 的增大而增大还是减小？　　(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积.【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为 1，系数不为 0.【答案与解析】(1)依题意： ，解得 m=1 或 m=4.　　　 ∴当 m=1 或 m=4 时，它是一次函数.　　(2)当 m=4 时，函数为 y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限，　　　y 随 x 的增大而增大.　　　当 m=1 时，函数为 y=-x-3，直线过二，三，四象限，y 随 x 的增大而减小. 　　 (3)直线 y=-x-3 不过原点，它与 x 轴交点为 A(-3，0)，　　　 与 y 轴交点为 B(0，-3)， .　　　 .　　　 ∴直线 y=-x-3 与两轴交点间的距离为 ，与两轴围成的三角形面积为 .【总结升华】　　(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为 1，系数不为 0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为 0.　　(2)判断函数的增减性，关键是确定直线 y=kx+b（k≠0）中 k、b 的符号.　　(3)直线 y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用 x 轴、y 轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k≠0）上的点在 x 轴上时，令 y=0，则 ，交点为 ；当直线 y=kx+b（k≠0）上的点在 y 轴上时，令 x=0，则 y=b，即交点为(0，b).举一反三： 【高清课程名称：函数综合 1 高清 ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】【变式】已知关于 的方程 .（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围；（3）设抛物线 与 轴交于点 M，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 的对称点恰好是点 M，求 的值.【答案】证明：（1） ，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1） ，根据求根公式可知, 方程的两根为： 即 ， , 由题意，有 ，即 .（3）易知，抛物线 与 y 轴交点为 M（0， ）,由（2）可知抛物线与 x 轴的交点为（1,0）和（ ,0），它们关于直线 的对称点分别为（0, ）和（0, ），由题意，可得 或 ，所以 或 . 3．抛物线 y=x2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 y=x2﹣2x﹣3，则 b、c 的值为（　　）A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到 b，c 的值．【答案】B．【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4），∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为 y=（x﹣h）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x2+2x，∴b=2，c=0．故选 B．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 的图象没有公共点，则实数 k 的取值范围是 ．【思路点拨】x2( 3) 4 0x m x m    2( 3) 4y x m x m    yy xm 因为反比例函数 的图象在第一、三象限，故一次函数 y=kx+1 中，k＜0，将解方程组转化成关于 x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0 即可．【答案】 .【解析】由反比例函数的性质可知， 的图象在第一、三象限，∴当一次函数 y=kx+1 与反比例函数图象无交点时，k＜0，解方程组 ，得 kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即 1+4k＜0，解得 ，∴两函数图象无公共点时， ．故答案为： . 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于 x 的一元二次方程，再确定 k 的取值范围．类型三、函数综合题5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数 y= 的图象上．下列结论中正确的是（　　）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1【思路点拨】先判断出函数反比例函数 y= 的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断．【答案】B．【解析】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数 y= 的图象在二、四象限， ∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标 3＞2＞0，∴两点均在第四象限 y2＜0，y3＜0，∵在第四象限内 y 随 x 的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故选 B．【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当 k＞0 时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当 k＜0 时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．举一反三：【变式】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b2﹣4ac 与反比例函数 y=在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为 1 的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此 a+b+c＜0；∴双曲线 的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以 a＞0；对称轴 x= ＞0，所以 b＜0；抛物线与 x 轴有两个交点，故 b2﹣4ac＞0；∴直线 y=bx+b2﹣4ac 经过第一、二、四象限．故选 D．类型四、函数的应用6．如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 【思路点拨】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【答案】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为 x 轴，左边树为 y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得 A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）设函数解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、B、C 三点分别代入得出 c=2.5，同时可得 4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解之得 a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5．∵2＞0，∴当 x=1 时，y=0.5 米．∴故答案为：0.5 米．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．举一反三：【高清课程名称： 函数综合 1 高清 ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】【变式】抛物线 ，a＞0，c＜0， ．（1）求证： ； （2）抛物线经过点 ，Q ．① 判断 的符号；② 抛物线与 x 轴的两个交点分别为点 A ，点 B （A 在 B 左侧），请说明 ， ．【答案】（1）证明：∵ ，∴ ． ∵ a＞0，c＜0，∴ ， ．∴ ． 2y ax bx c  2 3 6 0a b c  102 3ba 1( , )2P m(1, )nmn1( , 0)x2( ,0)x116x 2112x 