一.填空题1. 一盒子中有 20 个相同型号的产品，其中有 15 个一等品，其余为二等品，今从盒子中任取一个产品，则此产品为二等品的概率为 .答 案：知 识 点：古典概率的计算难度系数：12. 设 A、B 为不相容的两个随机事件，且 P(A)=0.2, P(B)=0.5，则 P(AB)= , .答 案：0, 0.7知 识 点：随机事件概率的性质难度系数：23. 一个袋子中有红球 6 个，白球 4 个，从中任取一个球，则取得红球的概率为 .答 案：知 识 点：古典概率的计算难度系数：14. 设 A、B 为互相独立的随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.7，则 P(AB)= , .答 案：0.28， 0.82 难度系数：26.下列函数中，可以作为某个随机变量分布函数的是（ ）A、 B、 C、 D、答 案：知 识 点：随机变量分布函数的性质.难度系数：27. 总体X服从正态分布 ，μ未知，X1, X2, ⋯, Xn是取自该总体的样本。下列函数中是统计量的是（ ）。A：1n∑1n(XK−¯X)2， B：1n∑1N(XK−μ8)2，C：1n∑(XK−μ)， D：μ(X1+ X5)答 案： A知 识 点：统计量定义难度系数：1 8. 一批零件长度为X，从中抽取一组容量为 5 的一组样本值为：（2，3，2，4，5）。可计算其样本方差S2=（ ）。A：11. 94， B：1. 36， C：1. 7， D：6 . 8答 案： 知 识 点：样本方差计算难度系数：29．设总体X服从正态分布N(μ , σ2)，参数μ , σ2>0都未知。从中抽取一组容量n=25的样本观测值x1, x2, ⋯, x25，经计算得到样本均值¯x=40，样本方差S2=9。可知均值μ的置信度为1−α=0. 95的置信区间为（ ）。（附表：Φ(1. 65)=0 . 95 , Φ(1. 96)=0 . 975 , t0 .05(24)=1 . 71, t0 . 025(24)=2. 06）A：[40−1 . 65×35, 40+1. 65×35]， B：[40−1 . 96×35, 40+1 .96×35]， C：[40−1 . 71×35, 40+1 .71×35]， D：[40−2. 06×35, 40+2 .06×35] 答 案：D知 识 点：正态总体未知方差均值μ的置信区间计算。难度系数：310. 在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和犯第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（ ）。A：α减小β也减小； B：α增大β也增大； C：α和β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大； D：A与B同时成立。答 案：知 识 点：假设检验所犯二类错误的概率。难度系数：2三. 计算题1. 有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有 3 个白球和 2 个黑球、3 个黑球和 2 个白球、3 个白球和 3 个黑球。掷一枚骰子，若出现 1，2，3 点则选甲盒，若出现 4 点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选中的盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。 答案： 0.5333 0.5625知 识 点：全概率公式以及贝叶斯公式的应用以及古典概型概率的计算难度系数：22. 某仓库有同样规格的产品 100 箱，其中 50 箱是甲厂生产的，30 箱是乙厂生产的，20 箱是丙厂生产的，而甲厂、乙厂、丙厂产品的次品率分别为 ，， . 现从随机抽取的一箱中随机地取出一件产品. （1）求取出的产品是次品的概率；（2）若已知取出的产品是次品，求它是甲厂生产的概率.答 案：设 B 表示所取的产品是次品；Ai表示所取的产品分别是甲厂、乙厂、丙厂生产的。 0.08 5/8知 识 点：全概率公式以及贝叶斯公式的应用以及古典概型概率的计算难度系数：2 3. 有三个口袋，在甲袋中装有 6 只白球和 4 只红球；乙袋中装有 12 只白球和 8只红球；丙袋中装有 6 只白球和 14 只红球. 随机地选取一个口袋并从中随机地取出一只球. （1）求取出的球是白球的概率;（2）若已知取出的球是白球，求它是来自甲袋的概率.答案：1/2 2/5知 识 点：全概率公式以及贝叶斯公式的应用以及古典概型概率的计算难度系数：24. 口袋中有 1 个白球、1 个黑球。从中任取 1 个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入 1 个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：（1）. 取到第 n 次，试验没有结束；（2）. 取到第 n 次，试验恰好结束.答 案： 知 识 点：概率的乘法公式的应用以及古典概型概率的计算 难度系数：35. 袋中有 12 个球，其中 2 个白球，10 个红球。从袋中任取 2 个球，则取到白球的个数是随机变量 X。写出 X 的分布律。答 案：X 的分布律为 X 0 1 2 P 15/22 10/33 1/66知 识 点：离散型随机变量的分布律难度系数：16. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为其中 A>0 为常数.（1）求常数 A 的值；（2）求 X 的分布函数 F(x)；答案：A=1知 识 点：连续型随机变量的密度函数的性质，及其与分布函数的关系难度系数：27. 设随机变量 X 的分布律为 X −2 0 2 4 P 0.1 0.2 b 0.3 其中 b>0 为未知常数，并令 Y=X 2.求(1)常数 b 的值； (2) P(−1£ X£ 2)；(3) Y 的分布律.答案：（1）b=0.4（2）P(−1£ X£ 2) =0.6（3） Y 0 4 16 P 0.2 0.5 0.3知 识 点：离散型随机变量的性质及其函数的分布律的求法难度系数：28. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为其中 a 为常数. 求(1)常数 a 的值；(2) .答 案：（1）α=1. (2) 3/4知 识 点：连续型随机变量的密度函数的性质以及相关概率的计算难度系数：29. 设随机变量 X 的概率密度函数为 令 Y=2X+4.求 Y 的概率密度函数. 答 案： 知 识 点：连续型随机变量函数的分布难度系数：210. 已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 XY 0 1 2120.3 0.2 0.10.1 0.1 k试求：（1）未知常数 k 的值; （2）X 和 Y 的边缘分布律; 答 案： k=0.2 X 的边缘分布律为X 0 1 2P 0.4 0.3 0.3Y 的边缘分布律为Y 1 2P 0.6 0.4知 识 点：二维离散型随机变量的联合分布的性质，及其与边缘分布的关系难度系数：2 11. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为（1）求 E(X) ，D(X) ；（2）令 Y=e−2X，求 E(Y).答 案：（1）1 （2）1/3知 识 点：连续型随机变量的数学期望，及其函数的数学期望难度系数：212. 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为： XY −1 0 2120.1 0.2 0.1a 0.3 0.1（1）确定常数 a 的值;（2）求Z =XY的分布律;（3） 判断 X 与 Y 是否独立？要说明理由。答 案：a =0.2 （2）Z 的边缘分布律为Z −1 −1/2 0 1 2P 0.1 0.4 0.4 0.1 0.1 (3) 因为 P(X=-1,Y=1)=0.1≠P(X=-1)P(Y=1)=0.3×0.4=0.12, 所以，X 与 Y 不独立知 识 点：二维离散型随机变量的函数的分布，独立性难度系数：213. 已知随机变量 X 与 Y 互相独立，且知 X 与 Y 的分布列分别为 X -1 0 3 Y 2 4Pk 0.1 0.4 0.5 Pk 0.4 0.6（1）求二维随机变量(X,Y)的联合分布；（2）判断 X 与 Y 是否相关？ 其理由是什么？答 案：（1）由独立性可知，联合分布为 XY −1 0 3240.04 0.16 0.20.06 0.24 0.3 （2）由独立和相关的关系知，X 与 Y 不相关。知 识 点： 联合分布和边缘分布的关系难度系数：214. 设连续型随机变量 X 的分布函数为求（1）常数 A，B 的值；（2）P{X≤2}，P{X＞3}；（3）X 的概率密度函数f(x). 知 识 点：概率的公理化性质难度系数：25. 已知P(A)=0 . 7 , P(A−B)=0. 4，则P(AB)= 。答 案：0.3知 识 点：概率性质难度系数：26. 设连续型随机变量 X~N(,2)，则 P(X>)= .答 案：知 识 点：常见的连续型随机变量的性质难度系数：27. 若X是连续型随机变量，则对任常数C有P(X=C)= 。答 案： 0 知 识 点：连续型随机变量的性质难度系数：28. 设随机变量X的概率密度函数 则应有A= 。 答 案：（1） （2） （3） 知 识 点： 分布函数的性质难度系数：215. 设随机变量 X 服从数学期望为 1/3 的指数分布.（1）写出 X 的概率密度函数；（3）令 ，求 Y 的概率密度函数.答 案：(1)易知 X 的概率密度函数为：(2)Y 的概率密度函数为：知 识 点： 常见的连续型随机变量及其分布，随机变量函数的分布难度系数：216. 设总体 X~b(1, p), X1, X2, …, Xn是取自 X 的一个样本，求参数 p 的最大似然估计量. 答 案:解方程得 p 的最大似然估计值为知 识 点： 离散型随机变量最大似然估计难度系数：217. 设总体 的概率密度函数为其中 为未知参数且大于零，X1,X2,...,Xn 为来自总体 的简单随机样本.求参数 的矩估计量，并判断该估计量是否是 的无偏估计.答 案： 的矩估计为 是 的无偏估计。---知 识 点：矩估计方法以及无偏性的判别难度系数：218. 设总体 X 的概率密度函数为， 其中参数 α>0 未知. X1, X2, ..., Xn 是来自该总体的样本，x1, x2, ..., xn 为对应的样本值. 试求：参数 α 的最大似然估计.答 案：似然函数为： 知 识 点： 极大似然估计方法难度系数：219. 设总体 X 的概率密度函数为，其中参数 θ>0 未知. X1, X2, ..., Xn 是来自该总体的样本，x1, x2, ..., xn 为对应的样本值. 试求：参数 θ 的矩估计.答 案：θ 的矩估计为 知 识 点： 矩估计方法难度系数：220. 某种零件的长度服从正态分布N ( μ , σ2), 按规定其方差不得超过. 现从一批零件中随机抽取 25 件测量其长度，得其样本方差为0.025. 问在显著性水平 下，能否推断这批零件合格?答 案：拒绝 . 知 识 点： 单个正态总体方差的假设检验 难度系数：221. 假设成年男性的身高（单位：厘米）服从正态分布 N(, σ2)，但参数和 σ2均未知。今从一批成年男性中随机抽取 16 名测量他们的身高数据，计算得样本均值为 厘米，样本标准差为 s=10 厘米. 问在显著性水平 α=0.05 下能否认为“这批成年男性的平均身高是 175 厘米”. （要写出检验步骤）答 案：，计算得： 所以：不拒绝原假设，认为“这批成年男性的平均身高是 175 厘米”.知 识 点： 单个正态总体的方差未知时关于均值的假设检验难度系数：222. 某小学一年级学生的体重（单位：公斤）服从正态分布。现随机观察 10 名学生，体重的样本均值为 ，样本方差 s2=0.01，试问在显著性水平 a = 0.1 的水平上能否认为一年级学生的体重总体均值为 30 公斤。（显著性水平α=0.05）.（要写出检验步骤）答 案：计算得 所以：拒绝原假设，认为一年级学生的体重总体均值不是 30 公斤。 知 识 点： 单个正态总体的方差未知时关于均值的假设检验难度系数：223. 生产流水线上的袋装糖果的重量服从正态分布 N(, 0.0152) . 按规定袋装糖果的重量的均值应为 0.5（克）。一批袋装糖果出厂前进行抽样检查，抽查了 9 袋，重量分别为： 0.497 0.506 0.518 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问这一批袋装糖果是否合格？ (显著水平a=0.05） 答 案： 查表得： ，计算得 ， 即有： 所以：不拒绝原假设，认为这一批袋装糖果合格。知 识 点： 单个正态总体的方差已知时关于均值的假设检验难度系数：224. 设考生成绩服从正态分布 N(, σ2),其中, σ2均未知. 在某地区一次数学统考中随机抽取了 25 名考生的成绩，算得其平均成绩 分，样本标准差 s=15 分.问在显著性水平a=0.1 下，能否认为这次考试全体考生的平均成绩为 82 分? （要写出检验步骤）答 案： 拒绝原假设，不能认为这次考试全体考生的平均成绩为 82 分。知 识 点： 单个正态总体的方差未知时关于均值的假设检验难度系数：2 答 案： 知 识 点：概率密度函数的性质难度系数：29. 设连续型随机变量X的分布函数为 则常数A= 。答 案： 14知 识 点：分布函数的性质难度系数：210. 已知随机变量X服从正态分布N(10 , 1)，若P(X≤a)=0 . 5，则a=。 答 案：10 知 识 点：正态分布概率密度性质难度系数：111.已知二维随机变量的联合分布，则 (一定或不一定)能确定边缘分布。答 案： 知 识 点：二维随机变量联合分布和边缘分布的关系难度系数：112. 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：¿ X Y−1 0 2240 .200 .10 .20. 30. 2¿ ，则X的边缘分布律为 .答 案：知 识 点：离散型随机变量联合分布律求边缘分布律难度系数：213. 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为： ， 则 a= .答 案： 0.3知 识 点：离散型随机变量分布律的性质难度系数：114. 设随机变量X与Y相互独立，且知X ~ f1(x)={4 e−4 x, x≥0 ;0 , x<0 ,Y ~ f2(y)={2 e−2 y, y ≥0 ;0 , y <0 , 则¿¿的联合密度函数f ¿¿ .答 案： 知 识 点：已知边缘概率密度求联合密度难度系数：215. 设随机变量X与Y相互独立，其概率分布律分别为：X 0 1P 0. 6 0 . 4，Y¿ 2 3P 0 . 3 0 .7¿, 则¿¿的联合分布律为 .答 案： Y23X0 10 .18 0 .120. 42 0. 28知 识 点：已知边缘分布律求联合分布律难度系数：216. 设连续型随机变量 X~U(a,b)，则 EX= ，DX= .答 案：知 识 点：常见的连续型随机变量的数字特征难度系数：217. 设随机变量 X 服从参数为 4 的泊松分布，且 Y=2X+1，则 EY= ，DY= .答 案：9， 16知 识 点：随机变量数字特征的性质难度系数：2 18.随机变量 X 与 Y 相关，则 X 与 Y （填一定或可能）独立.答 案：可能知 识 点：随机变量相关性和独立性的关系难度系数：219.若随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，则则 X 与 Y （填一定或可能）独立.答 案： 知 识 点：二维正态分布的随机变量相关性和独立性的关系难度系数：220. 如果随机变量X与Y有线性关系Y =aX+b，其中a≠0 , b为常数，则相关系数ρXY的绝对值|ρXY|= 。答 案： 1 知 识 点：相关系数的性质难度系数：221. 设 X1, X2, ..., Xn 是来自总体 X~N(, 2)的一组样本，其中和2均未知，则是否是统计量. (填是或否)。答 案： 知 识 点：统计量的定义难度系数：122. 总体X服从参数为p(0< p<1)的（0—1）分布，从中抽取容量为 10的样本值 (0 , 1 , 0 , 1 , 1, 0 , 1, 1 , 0 , 1)，则样本均值¯X = 。答 案：610=0. 6知 识 点：样本均值的计算。难度系数：223. 所有的无偏估计量 （填一定是或不一定是）好的估计量.答 案： 知 识 点：统计量的优良性判别准测难度系数：1.524. 已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(μ,1), 从中随机的取出 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 μ 的置信水平为 95%的置信区间是___________.答 案：（39.51，40.49）知 识 点：单正态总体的置信区间难度系数：3 25.假设检验中犯两类错误的概率的和 (填一定或不一定)等于 1.答 案：不一定知 识 点：假设检验中的两类错误的概率的关系.难度系数：2二．选择题1．一口袋中装有 8 只兰球，4 只红球，从中陆续不放回地取出三只球，则取出的三只球恰好有二只红球的概率是（ ）。A：C42C81C123， B：P42C81C123， C：C42C81P123， D：C42C101C123答 案： 知 识 点：古典概率难度系数：12. 设连续型随机变量 X~N(2,16)，则 ( ).A、N(2,16) B、N(0,1) C、N(0,4) D、N(2,4)答 案：B知 识 点：一般正态分布和标准正态分布的关系.难度系数：2 3. 连续型随机变量Ｘ的概率密度函数为f (x ),则f (x )必满足条件（　　　　）。A、f (x )≥0 且∫0+∞f ( x )d ( x )=1； B、0≤f ( x )≤1且∫−∞+∞f (x )dx =1；C、0≤f ( x )≤1 且∫0+∞f ( x )dx=1； D、f (x )≥0，且∫−∞+∞f (x )dx =1答 案：知 识 点：连续型随机变量的密度函数的性质.难度系数：24. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为p(0< p<1 )的（0—1）分布，则有（ ）。A、P(X=Y)=p2 B、P(X=Y)= p2+(1−p) 2 C、X=Y D、P(X=Y)= 1答 案： 知 识 点：0-1 分布的随机变量的概率的计算.难度系数：25. 设 X 与 Y 相互独立，且知 X~N(20，4)，Y～N(8，2)，则 Z=2XY 服从的分布是（ ）。A、N(32，14) B、N(32，18) C、N(32，6) D、N(32，10)答 案：B知 识 点：独立的正态分布的线性组合的分布.