中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质：　　(1)具有三角形的一切性质；　　(2)两底角相等(等边对等角)；　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60°．　要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.3．判定：　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；　　(3)有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．　要点诠释：　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性质：　(1)直角三角形中两锐角互余；　(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；　(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形中，SRt△ABC= ch= ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．3．判定： 　　(1)两内角互余的三角形是直角三角形；　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】类型一、等腰三角形1．六边形 ABCDEF 的每个内角都为 120°,且 AB=1，BC=9，CD=6，DE=8.求六边形 ABCDEF 的周长．【思路点拨】考虑到每个内角为 120°,则每个外角均为 60°,可通过构造等边三角形来求边长及面积．【答案与解析】延长 BC、ED 交于 M，DE、AF 交于 N，FA、CB 交于 P．∵∠EDC=∠DCB=120° ∴∠DCM=∠CDM=60°，∴△MDC 为等边三角形∠M=60°，同理△BAP，△EFN 均为等边三角形．∠M=∠N=60° ∴△MNP 为等边三角形，MD=MC=6，PB=PA=1，NE=NF=EF，MP=6+9+1=16=MN=NP，EF=NF=NE=MN-ME=16-（6+8）=2．FA=NP-NF-PA=16-1-2=13，∴周长为 1+9+6+8+2+13=39．【总结升华】考点是多边形外角和内角的关系.举一反三： 【变式】把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．　　　　　　　【答案】 . 2．已知: 如图, 菱形 ABCD 中, E、F 分别是 CB、CD 上的点，BE=DF．　　(1)求 证:AE=AF．　　(2)若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，求证：△AEF 为等边三角形．【思路 点拨】菱形的定义和性质.【答案与解析】 (1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ，　　　　　　　　　　又∵BE=DF，∴ ≌ ．　　　　　　　　　　∴AE=AF．　　　　　　　　 (2)连接 AC, ∵AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，∴AB=AC=AD，　　　　　　　　　∵AB=BC=CD=DA , ∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形．　　　　　　　　　∴ , ．　　　　　　　　　∴ ．　　　　　　　　　又∵AE=AF ∴ 是等边三角形．【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例 4】【变式】如图，△ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，使 AE=BD，连接 CE、DE. 求证：CE=DE.【答案】延长 BD 到 F，使 DF＝BC，连接 EF，∵等边△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，∴BF＝BE，∴等边△BEF，∴EF＝BE，∠F＝∠B，∴△BCE≌△FDE（SAS）．∴CE＝DE．类型二、直角三角形3．△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形， ，D 为 AB 边上一点．　 　　求证：(1)△ACE≌△BCD； (2) ． 　　　　　　　　　　　　　　　【思路点拨】判定两个三角形全等时，首先要根据条件判断运用哪个判定定理.【答案与解析】(1) ∵ ，　　　　　　∴ ，　　　　　　即 ．　　　　　　 　　∵ ，　　　　　　 　　∴ △BCD≌△ACE．　　　　　　 (2) ∵ ，　　　　　　 　　∴ ．　　　　　　　　 ∵ △BCD≌△ACE，　　　　　　 　　∴ ，　　　　　　 　　∴ ．　　　　　　 　　∴ ．【总结升华】该题涉及到的知识点有全等三角形的判定及勾股定理.4．如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE 交 DC 于 F，BD 分别交 CE，AE 于点 G、H.试猜测线段 AE 和 BD 的位置和数量关系，并说明理由．　　　　　　　　　　　　 【思路点拨】△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】猜测 AE＝BD，AE⊥BD. 　　　　　　理由如下：　　　　　　∵∠ACD＝∠BCE＝90°，　　　　　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．　　　　　　∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，　　　　　　∴AC＝CD，CE＝CB．　　　　　　∴△ACE≌△DCB（SAS）． 　　　　　　∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB．　　　　　　∵∠AFC＝∠DFH，　　　　　　∴∠DHF＝∠ACD＝90°，　　　　　　∴AE⊥BD．【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种.举一反三：【变式】 .以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，……，如此作下去，若 OA=OB=1，则第 n个等腰直角三角形的面积 Sn=________.【答案】 .类型三、综合运用5 .（2012•牡丹江）如图①，△ABC 中．AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为 E、F、H．易证 PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接 AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH．又∵ ，∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=______.点 P 到 AB 边的距离 PE=________.【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．【答案与解析】（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ = AB•PE， = AC•PF， = AB•CH，∵ = + ， ∴ AB•PE= AC•PF+ AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ = AB•CH，AB=AC，∴ ×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：① P 为底边 BC 上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；② P 为 BC 延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为 7；4 或 10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.6．在△ＡＢＣ中，AC=BC， ，点 D 为 AC 的中点．（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF，连结 CF，过点F 作 ，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 　　　　　　　　【思路点拨】根据条件判断 FH=FC,要证 FH=FC 一般就要证三角形全等.【答案与解析】 （1）FH 与 FC 的数量关系是： ． 　　　　　 　延 长 交 于点 G，　　　　　　　　由 题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．　　　　　　　　 ∴DG∥CB．　　　　　　　　∵ 点 D 为 AC 的中点，　　　　　　　　∴ 点 G 为 AB 的中点，且 ．　　　　　　　　 ∴DG 为 的中位线．　　　　　　　　∴ ．　　　　　　　　∵AC=BC，　　　　　　　　∴DC=DG．　　　　　　　　∴DC- DE =DG- DF．　　　　　　　　即 EC =FG． 　　　　　　　　∵∠EDF =90°， ，　　　　　　　　∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．　　　　　　　 ∴∠1 =∠2． 　　　　　　　　∵ 与 都是等腰直角三角形，　　　　　　　　∴∠DEF =∠DGA = 45°．　　　　　　　 ∴∠CEF =∠FGH = 135°． 　　　　　　　 ∴△CEF ≌△FGH． 　　　　　　　　∴ FH=FC． 　　 （2）FH 与 FC 仍然相等． 【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养.举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例 7】【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点， 下列结论：① tan∠AEC= ; ②S⊿ABC+S⊿CDE≥S⊿ACE ; ③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】D.CDBC