2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 B（小学组）一、填空题1．（3 分）在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 17，也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要　 　 个乒乓球．2．（3 分）有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价格分别为 3 元、6 元、9 元、12 元、15 元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　 　种不同的价格．3．（3 分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时 90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　 　km．4．（3 分）将 ， ， ， ， ， 和这 6 个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　 位．5．（3 分）若两位数的平方只有十位上的数字是 0，则这样的两位数共有　 　 个．6．（3 分）如图所示的立体图形由 10 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　 　．7．（3 分）数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，从中任意选出 8 张，它们的数字和是 31，则最多有　 　 张是卡片“3”．8．（3 分）能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数是　 　．二、解答下列各题9．如图中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这 5 个硬纸板拼成右图中4×5 的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．10．图中，ABCD是一个梯形，且AB∥CD，三角形ABO和三角形OCD的面积分别是 16 和 4，求 ．11．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？12．华罗庚爷爷出生于 1910 年 11 月 12 日．将这些数字排成一个整数，并且分解成 19101112＝1163×16424，请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗？并说明理由．三、解答下列各题13．一批货物重 13.5 吨，每包货物重量不超过 350 千克，请问：能否用 11 辆载重为 1.5 吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明．14．已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 B（小学组）参考答案与试题解析一、填空题 1．（3 分）在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于 11，不能是 17，也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要　 174 　 个乒乓球．【分析】从 11 开始找出不是 17，也不是 6 的倍数的 10 个数，然后相加即可．【解答】解：符合条件的最小的 10 个数是：11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；所以至少需要 11+13+14+15+16+19+20+21+22+23＝174（个）．答：至少需要 174 个乒乓球．故答案为：174．2．（3 分）有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价格分别为 3 元、6 元、9 元、12 元、15 元的包装盒．一个礼品配一个包装盒，共有　 9 　 种不同的价格．【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可．【解答】解：包 装 盒 价 格礼品盒价格3 6 9 12152 5 8 1114175 8 111417208 111417202311 141720232614 1720232629任意的搭配共有 25 种，其中有价格重复的情况，可以组成一个 5 元，8 元，11 元，14 元，17元，20 元，23 元，26 元，29 元，共有 9 种不同的价格．故答案为：9．3．（3 分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时 90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是　 425 　 km．【分析】根据题意，途中A与B相遇 20 分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20 分钟（ 小时）共行：（90+60）× ＝50 千米，这 50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于 50÷（80﹣60）＝2.5 小时，然后根据速度和×相遇时间＝两地之间的路程，列式解答．【解答】解：20 分钟＝ 小时，A与C 20 分钟相遇，共行（90+60）× ＝50（ 千米），这 50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于 50÷（80﹣60）＝2.5（小时）．所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5＝425（ 千米）．答：甲乙两站的路程是 425 千米．故答案为：425． 4．（3 分）将 ， ， ， ， ， 和这 6 个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第　 5 　 位．【分析】先求出这 6 个分数的平均值，然后通过排列，得出结果．【解答】解：（ + + + + + ）÷6＝[（ + + ）+（ + + ）]÷6＝[1+ ]÷6≈1.593÷6＝0.2655；＜ ＜ ＜ ＜0.2655＜ ＜ ．所以这个平均数从小到大排列在第 5 位．故答案为：55．（3 分）若两位数的平方只有十位上的数字是 0，则这样的两位数共有　 9 　 个．【分析】设符合条件的两位数是 ．两位数 的平方的十位上的数字等于 2ab 个位上的数与2b 的十位上的数字之和的个位数字，为 0．因为ab的平方只有十位上的数字为 0，所以b≠0．然后讨论b取 1～9 时的情况，解决问题．【解答】解：设符合条件的两位数是 ．两位数 的平方的十位上的数字等于 2ab个位上的数与b2的十位上的数字之和的个位数字，为0．因为ab的平方只有十位上的数字为 0，所以b≠0．当b取 1～9 时，b2的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8．2ab个位上的数字如下：当a为 1 时，分别为 2、4、6、8、0、2、4、6、8；当a为 2 时，分别为 4、8、2、6、0、4、8、2、6；当a为 3 时，分别为 3、6、9、2、5、8、1、4、7；当a为 4 时，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2；当a为 5 时，分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8；当a为 6 或 7 时，分别与 1 或 2 时相同；当a为 8 时，分别为 6、2、8、4、0、6、2、8、4；当a为 9 时，与 4 相同，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2．所以这样的两位数有 47，48，49，51，52，53，97，98，99，共 9 个．6．（3 分）如图所示的立体图形由 10 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为　 34 　 ．【分析】此题可从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积，然后相加即可．【解答】解：从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为：6，6，5，5，6，6．总和为 6+6+5+5+6+6＝34．故答案为：34．7．（3 分）数字卡片“3”、“4”、“5”各 10 张，从中任意选出 8 张，它们的数字和是 31，则最多有　 4 　 张是卡片“3”．【分析】假设摸出的 8 张卡片全是数字“3”，然后运用盈亏问题的解法，进行解答． 【解答】解：假设摸出的 8 张卡片全是数字“3”，则其和为 3×8＝24，与实际的和 31 相差 8，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故．用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加 2 和 1．为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在 8÷2＝4，因此可用 4 张卡片“5”换卡片“3”，这样 8 张卡片的数字之和正好等于32．所以最多可能有 4 张是卡片“3”．答：最多有 4 张是卡片“3”．故答案为：4．8．（3 分）能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数是　 495 　 ．【分析】设所求的正整数为A，则由题意得：A＝（p+1）+（p+2）+（p+3）+…+（p+9）＝9p+45，①A＝（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+（m+10）＝10m+55，②A＝（n+1）+（n+2）+（n+3）+…+（n+9）＝11n+66，③据这三个等式，进行讨论，解决问题．【解答】解：设所求的正整数为A，则由题意得：A＝（p+1）+（p+2）+（p+3）+…+（p+9）＝9p+45，①A＝（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+（m+10）＝10m+55，②A＝（n+1）+（n+2）+（n+3）+…+（n+9）＝11n+66，③其中p，m，n均为整数．由①、②可得：9p+45＝10m+55，所以9p＝10（m+1）．④由②、③可得：10m+55＝11n+66，所以10m＝11（n+1）．⑤因为 10 与 11 互质，所以由⑤可知，m是 11 的倍数，由④可知，m+1 是 9 的倍数，所以m 是 11 的倍数，且被 9 除的余数为 8，于是m的最小值为 44，A的最小值为 10×44+55＝495．答：最小自然数是 495．故答案为：495．二、解答下列各题9．如图中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板．问能用这 5 个硬纸板拼成右图中4×5 的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由．【分析】先将 4×5 的长方形黑白间隔染色，然后再将 5 个由 4 个 1×1 的小正方格黑白间隔染色，然后结合奇偶性判断即可．【解答】解：将五块纸板编号，如图 2，除纸板④之外，其余 4 张硬纸板每一张都盖住 2 个黑格，而④盖住了 3 个或 1 个黑格，因此，由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的 5 个硬纸板，只能盖住 9 或 11 个黑格，与 10 个黑格不符．所以显然不能用左边 5 个硬纸板拼成右边的 4×5 的长方形．10．图中，ABCD是一个梯形，且AB∥CD，三角形ABO和三角形OCD的面积分别是 16 和 4，求 ． 【分析】根据AB∥CD，可得 ＝ ＝ ，又有s△AOD＝S△BCD，所以 ＝ ，因此S△BCO＝8．设梯形的高为h，根据三角形的面积公式，推出结果．【解答】解：由AB∥CD，得＝ ＝又有s△AOD＝S△BCD所以 ＝因此S△BCO＝8．设梯形的高为h，因为S△ABC＝ ，S△DAC＝所以 ＝又因为S△ABC＝S△ABO+S△BCD＝24，S△DAC＝S△DAC+S△AOD＝12，所以 ＝ ．11．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8，12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【分析】要满足条件，L一定是 8，12 和 18 的倍数，所以先求出三个数的公倍数，和两两的公倍数，从而得出重叠的段数，然后在根据容斥原理解答即可．【解答】解：假设L＝[8，12，18]＝72 的K倍，即L＝72K．那么：红线将木棍等分 8 等份（9 个分点），每份长度 9K；蓝线将木棍等分 12 等份（13 个分点），每份长度 6K；黑线将木棍等分 18 等份（19 个分点），每份长度 4K；又知：[9K，6K]＝18K，重叠 4 段；[6K，4K]＝12K，重叠 6 段；[9K，4K]＝36K，重叠 2 段；[9K，6K，4K]＝36K，重叠 2 段．由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）﹣4﹣6﹣2+2＝28（段）；或总点数为：（9+13+19）﹣5﹣7﹣3+3＝29（分点），所以共有 28 段．那么，最短段为红线与黑线的距离：L÷72＝ ．12．华罗庚爷爷出生于 1910 年 11 月 12 日．将这些数字排成一个整数，并且分解成 19101112＝1163×16424，请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗？并说明理由．【分析】根据合数的概念，很容易判断出 16424 是合数，然后再判断 1163 是否是质数，方法见解答．【解答】解：16424 是合数，原因是 16424 的约数不止两个，除了有 1 和本身外，还有 2、4…等等．1163 是质数，判断方法是：352＝1225，342＝1156，最接近 1163，所以用小于 34 的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31 去除 1163 都除不尽，所以可以判断 1163 是质数．三、解答下列各题13．一批货物重 13.5 吨，每包货物重量不超过 350 千克，请问：能否用 11 辆载重为 1.5 吨的小货车一 次运走？并对你的结论加以说明．【分析】为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑．最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多．因为 350×4＝1400，所以每辆车至少装 4 包．每包 350 千克，每车能装 4 包．如果每包比 350 千克略少一点，比如 349 千克，那么每车就只能装 4 包了．此时，每车载重 350×4＝1400（千克），13500÷1400＝9…900，也就是说，13.5 吨货物按最不利的情况，装 9 车后余 900 千克，所以余下 2 辆车可以装在任意一辆车中．能用 11 辆载重为 1.5 吨的小货车一次运走．【解答】解：一种方案如下：把 11 辆货车顺序编号为 1，2，3，…，11．先把 1 至 8 号车装上货物，每车一直装到不超过 1.5 吨为上限，只要再装一包便超过 1.5 吨为止，并把这 8 个最后一包分成两组，每组 4 包，每组重量不超过 350×4＝1400 千克＜1.5 吨，用 9，10 号车可将这两组 8 包货物运走，这样 1 至 10 号车共装运了超过 1.5×8＝12（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过 13.5﹣12＝1.5 吨，这样可以用 11 号车把剩下的货物运走．答：能用 11 辆载重为 1.5 吨的小货车一次运走．14．已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数．【分析】由题目知，两位数虎威要满足：两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，有了这两个限制条件，依次进行试验即可得出结论．【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+Y＝X×Y×K（K为整数）①Y＝1 （K﹣10）X＝1 X＝1，K＝11 所以虎威＝11；②Y＝2 （K﹣5）X＝1 X＝1，K＝6 所以虎威＝12；③Y＝3 （3K﹣10）X＝3 无解；④Y＝4 （4XK﹣10K）＝2 X＝2，K＝3 所以虎威＝24；⑤Y＝5 （K﹣2）X＝1 X＝1，K＝3 所以虎威＝15；⑥Y＝6 （3K﹣5）X＝3 X＝3，K＝2 所以虎威＝36⑦Y＝7，同上方法讨论无解；⑧Y＝8，同上方法讨论无解；⑨Y＝9，同上方法讨论无解；综上所述，有三个满足题目的两位数，即 11、12、15、24、36．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800