2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 E 卷）一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：39 × ＝　 　．2．（10 分）中国的生肖依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．2013 年是蛇年，1910 年是　 　年．3．（10 分）将 1 至 9 这九个自然数分成两组，使其中一组各数之和是另一组各数之和的 8 倍，共有　种不同的分法．4．（10 分）如图，5 个完全相同的小长方体恰好拼成一个体积等于 22.5 的长方体，则一个小长方体所有棱长的总和是　 　．5．（10 分）从 1 至 16 共 16 个整数中，至少取　 　个数，才能确保有两个数，其中一个是另一个的 2 倍．6．（10 分）少年夏令营的学生来自 4 个直辖市，其中有 的学生来自上海，有 24 名同学来自天津，来自北京的学生的人数是来自上海和天津人数之和的 倍，有 的学生来自重庆，问少年夏令营的学生共有　 　名．7．（10 分）一个正方体展开成一个平面图形，边缘是一个多边形，边数最少是　 　条．8．（10 分）下面是一个算式，9 个汉字代表数字 1 至 9，不同的汉字代表不同的数字．则该式可能的最大值是　 　．草×绿+花儿×红+春光明×媚．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分）9．（10 分）用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除和括号，写出 2 个都等于 7 的不同的算式．（通过加法、乘法交换律和结合律，使两个算式相同，则视为相同的算式）10．（10 分）右图中，ABCD是长方形，EF平行于BC，四边形AECF的面积是 17.5，三角形AFD的面积是 20，三角形BCE的面积是 15，三角形CDF的面积是 12.5，问三角形ABE的面积是多少？11．（10 分）有 20 堆石子，每堆都有 2006 粒，规定：从任意 19 堆中各取一粒放入另一堆称为一次操作．经过不足 20 次这种操作后，某一堆有石子 1990 粒，另一堆的石子数在 2080 到 2100 之间，这一堆石子有多少粒？12．（10 分）甲、乙两车同时从A地出发向B地行进，当甲车到达B地时，乙车离B地还有 15 千米．如果从甲车行驶至AB两地中点开始，甲、乙两车的车速都增加一倍，那么当甲车到达B地时，乙车距离B地多少千米？三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分；要求写出解答过程）13．（15 分）右图是 2×1 的小长方形方格，两个方格是大小相同的小正方形，用 8 个这种长方形，可以拼成一个 4×4 的正方形，这一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，不同的且至少有 2 条对称轴的图形有多少种？ 14．（15 分）黑板上写有 5 个自然数：1，3，5，7，9，一次操作是指随意选择黑板上两个数，然后擦掉，将它们的和写在黑板上，并且将它们的乘积写在一张纸上．经过 4 次这种操作，黑板上只剩下1 个数，纸上写有 4 个数，求这 4 个数之和．2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 E 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：39 × ＝　 757 　．【分析】分析：八两个分数先化成假分数，分子不必算出来，然后再写成“整数﹣分数单位”的形式，计算即可．【解答】解：39 × ，＝ × ，＝（40﹣ ）×（19﹣ ），＝40×19﹣40× ﹣19× + × ，＝760﹣2﹣1+ ，＝757 ；故答案为：757 ．2．（10 分）中国的生肖依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．2013 年是蛇年，1910 年是　狗　年．【分析】先把“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这么连续的 12 年看成一组，求出 1910 年到 2013 年一共是多少年，然后再除以 12，求出余数，再根据余数向前推算．【解答】解：2013﹣1910＝103（年）；103÷12＝8…7；余数是 7，从蛇年向前推算 7 年是狗年；答：1910 年是狗年．故答案为：狗．3．（10 分）将 1 至 9 这九个自然数分成两组，使其中一组各数之和是另一组各数之和的 8 倍，共有　3 　 种不同的分法．【分析】根据题意，这两组的和就是 1 到 9 的和，再根据和倍公式求出较小一组的和，然后再进一步解答即可．【解答】解：根据题意可得：这两组的和为：1+2+3+…+9＝45；较小一组的和为：45÷（8+1）＝5；在 1 至 9 中，和是 5 的有 5，1+4＝5，2+3＝5，共有 3 种．答：共有 3 种不同的分法．故答案为：3．4．（10 分）如图，5 个完全相同的小长方体恰好拼成一个体积等于 22.5 的长方体，则一个小长方体所有棱长的总和是　 22 　 ． 【分析】根据图形，可得长＝3×高，长＝2×宽，长：宽：高＝6：3：2，设长方体的长为 6x，宽为 3x，高为 2x．所以一个长方体的体积为：6x×3x×2x＝36x3，由此可以求出x的立方值，进而得出x的值，再据长方体的棱长之和的计算方法即可得解．【解答】解：根据图形，可得长＝3×高，长＝2×宽，长：宽：高＝6：3：2，设小长方体的长为 6x，宽为 3x，高为 2x．所以一个小长方体的体积为：6x×3x×2x＝36x3180x3＝22.5， x3＝0.125， x＝0.5；长＝0.5×6＝3，宽＝0.5×3＝1.5，高＝0.5×2＝1，棱长总和＝（3+1.5+1）×4＝22．答：一个小长方体所有棱长的总和是 22．故答案为：22．5．（10 分）从 1 至 16 共 16 个整数中，至少取　 12 　 个数，才能确保有两个数，其中一个是另一个的2 倍．【分析】根据最不利原则，从小到大依次取出来 1、3、4、5、7、9、11、12、13、15、16，已经取了 11 个数了，根据抽屉原理可知：再取一个数就能满足题意；据此解答．【解答】解：根据最不利原则，从小到大依次取出来1、3、4、5、7、9、11、12、13、15、16，已经取了 11 个数了，那么再取一个数就能满足，即至少取 11+1＝12（个）；答：至少取 12 个数，才能确保有两个数，其中一个是另一个的 2 倍；故答案为：12．6．（10 分）少年夏令营的学生来自 4 个直辖市，其中有 的学生来自上海，有 24 名同学来自天津，来自北京的学生的人数是来自上海和天津人数之和的 倍，有 的学生来自重庆，问少年夏令营的学生共有　 180 　 名．【分析】本题可列方程解答，设共有学生x名，又其中有 的学生来自上海，有 的学生来自重庆，则来自北京与天津的人数占总人数的 1﹣ ﹣ ，即有（1﹣ ﹣ ）x人，又有 24 名同学来自天津，所以北京的人数有（1﹣ ﹣ ）x﹣24 人．来自北京的学生的人数是来自上海和天津人数之和的 倍，上海有x人，则上海与天津共有x+24 人，则北京有 （x+24）人，由此可得方程：（1﹣ ﹣ ）x﹣24＝ （x+24），解此方程即可．【解答】解：设少年夏令营有x名学生，根据题意，列出方程：（1﹣ ﹣ ）x﹣24＝ （x+24） x﹣24＝x+36， x＝60， x＝180．答：少年夏令营的学生共有 180 名．故答案为：180．7．（10 分）一个正方体展开成一个平面图形，边缘是一个多边形，边数最少是　 8 　 条． 【分析】这是一个多边形，根据多边形边的意义可知，这个多边形有 8 条边．【解答】解：如图，这是一个正方体展开成一个平面图形，边缘是一个多边形，边数最少是 8 条；故答案为：8．8．（10 分）下面是一个算式，9 个汉字代表数字 1 至 9，不同的汉字代表不同的数字．则该式可能的最大值是　 8186 　 ．草×绿+花儿×红+春光明×媚．【分析】观察这个算式，要使这个算式的值最大，那么三位数与一位数的乘积就要尽可能的大，所以春＝8，媚＝9，根据数位原则光在十位上，光×9 要尽可能大，那么光＝7，剩下 5、6，那么红＝6，花＝5，还剩下 1、2、3、4 要使积最大，所以明＝4，儿＝3，草＝2、绿＝1．据此解答．【解答】解：根据以上分析知：2×1+53×6+874×9，＝2+318+7866，＝8186．故答案为：8186．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分）9．（10 分）用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除和括号，写出 2 个都等于 7 的不同的算式．（通过加法、乘法交换律和结合律，使两个算式相同，则视为相同的算式）【分析】因为 4+4＝8，4÷4＝1，8﹣1＝7，所以得出：4+4﹣4÷4＝7；因为 44÷4＝11，11﹣4＝7，所以得出：44÷4﹣4＝7；据此解答．【解答】解：4+4﹣4÷4＝744÷4﹣4＝7．10．（10 分）右图中，ABCD是长方形，EF平行于BC，四边形AECF的面积是 17.5，三角形AFD的面积是 20，三角形BCE的面积是 15，三角形CDF的面积是 12.5，问三角形ABE的面积是多少？【分析】因为：△AFD的面积与△BCE的面积和等于长方形面积的一半，由此求出长方形的面积，进而求出三角形ABE的面积【解答】解：△AFD的吗+△BCE的面积＝长方形面积的一半＝20+15＝35，所以长方形的面积＝35×2＝70，所以△ABE的面积＝70﹣17.5﹣20﹣15﹣12.5＝5．答：三角形ABE的面积是 5．11．（10 分）有 20 堆石子，每堆都有 2006 粒，规定：从任意 19 堆中各取一粒放入另一堆称为一次操作．经过不足 20 次这种操作后，某一堆有石子 1990 粒，另一堆的石子数在 2080 到 2100 之间，这一堆石子有多少粒？【分析】某一堆石子，如果被取一次，则数量减少 1，如果被放入一次，则数量增加 19．考虑有1990 粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多 19 次被取，最后石子数肯定不少于原来的 2006粒．则该石子一次也没被放入过，则总共操作了 16 次．由于另一堆石子数在 2080 与 2100 之间，则只被放入过 5 次，被取 11 次，这一堆石子 19×5﹣11+2006＝2090 粒． 【解答】解：根据题意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，则数量减少 1，如果被放入一次，则数量增加 19．考虑有 1990 粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多 19 次被取，最后石子数肯定不少于原来的 2006 粒．则该石子一次也没被放入过，则总共操作了 16 次．由于另一堆石子数在 2080 与 2100 之间，则只被放入过 5 次，被取 11 次，这一堆石子 19×5﹣11+2006＝2090 粒．答：这一堆石子有 2090 粒．12．（10 分）甲、乙两车同时从A地出发向B地行进，当甲车到达B地时，乙车离B地还有 15 千米．如果从甲车行驶至AB两地中点开始，甲、乙两车的车速都增加一倍，那么当甲车到达B地时，乙车距离B地多少千米？【分析】此题属于行程问题．当甲、乙两车的车速都增加一倍时，那么两车的速度比不变，也就是说，全程的速度比是不变的，据此解答．【解答】解：当甲、乙两车的车速都增加一倍时，那么两车的速度比不变，也就是说，全程的速度比是不变的，那么当甲车到达B地时，乙车仍然距离B地 15 千米．答：当甲车到达B地时，乙车距离B地 15 千米．三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分；要求写出解答过程）13．（15 分）右图是 2×1 的小长方形方格，两个方格是大小相同的小正方形，用 8 个这种长方形，可以拼成一个 4×4 的正方形，这一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，不同的且至少有 2 条对称轴的图形有多少种？【分析】根据轴对称图形的定义和轴对称图形的对称轴的确定方法，画图分析即可解答．【解答】解：当对称轴为中线与中线时，那么得到的图形有：当对称轴为中线与对角线或对角线与对角线时，那么得到的图形有：所以一共有：4+2＝6 种．答：至少有 2 条对称轴的图形一共有 6 种． 14．（15 分）黑板上写有 5 个自然数：1，3，5，7，9，一次操作是指随意选择黑板上两个数，然后擦掉，将它们的和写在黑板上，并且将它们的乘积写在一张纸上．经过 4 次这种操作，黑板上只剩下1 个数，纸上写有 4 个数，求这 4 个数之和．【分析】最基础的方法是从第 1 个和第 2 个数字开始，分别擦去两个数，再写上这两个数的和减1，而且写上的这个数写要写第 1 个数的位置，这样一直循环下去，直到黑板上就会只剩下一个数，从而可以计算出答案．【解答】解：既然是任意 2 两个数，那么我们就来实际操作一下 1、3、5、7、9擦去 1、3；黑板上剩下：4、5、7、9．纸上：3擦去 4、5；黑板上剩下：9、7、9．纸上：3、20擦去 9、7；黑板上剩下：16、9．纸上：3、20、63擦去 16、9；黑板上剩下：25．纸上：3、20、63、144所以纸上四个数的和为：3+20+63+144＝230．答：四个数的和为 230．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:39；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800