中国地质大学(北京)继续教育学院《复变函数与积分变换》模拟题一.单选题1.下列等式中,对任意复数 z 都成立的等式是().A.z ∙ z=ℜ(z∙ z)B.z∙ z=ℑ(z ∙ z)C.z+z=ℜ(z+z )D.z ∙ z=|z|[答案]:C2.下列函数中,不在全平面内解析的函数是().A.w=RezB.w=z2C.w=ezD.w=z+cosz[答案]:A3.下列复数中,位于第 2 象限的复数是().A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i[答案]:C4.下列命题错误的是().A.函数在一点解析一定在该点可导B.函数在一点解析一定在该点的领域内可导C.函数在邻域 D 内解析一定在邻域 D 内可导D.函数在邻域 D 内可导不一定在领域 D 内解析[答案]:D5.设 C 为正向圆周|z|=1,则 等于().A.0B.12 πiC.2 πiD.πi[答案]:A6.z=0 是ez−1z2().第 1 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院A.二阶极点B.可去奇点C.本性奇点D.一阶极点[答案]:D7.对于幂级数,下列命题正确的是().A.在收敛圆内,幂级数条件收敛B.在收敛圆内,幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上,幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上,幂级数必处处发散[答案]:B8.解析函数f(z)=u(x , y)+iv(x , y )的导函数为().A.f'(z)= ux+iuyB.f'(z)=ux− i uyC.f'(z)=ux+i vyD.f'(z)= uy+i vx[答案]:B9.C 是正向圆周|z|=3,如果函数 f(z)=(),则A.3z−2B.3(z−1)z−2C.3(z−1)(z−2)2D.3(z−2)2[答案]:D10.下列结论正确的是().A.如果函数 f(z)在 z0点可导,则 f(z)在 z0点一定解析B.如果 f(z)在 C 所围成的区域内解析,则C.如果 ,则函数 f(z)在 C 所围成的区域内一定解析D.函数f(z)=u(x , y)+iv(x , y )在区域内解析的充分必要条件是 u(x,y),v(x,y)在该区域内均第 2 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院为调和函数.[答案]:D11.下列结论不正确的是().A.∞为sin1z的可去奇点B.∞为sin z的本性奇点C.∞为1sin1z的孤立奇点D.∞为1sin z的孤立奇点[答案]:B12.下列结论不正确的是().A.lnz 是复平面上的多值函数B.cosz 是无界函数C.sinz 是复平面上的有界函数D.ez是周期函数.[答案]:C13.如果级数∑n=1∞cnzn在z=2点收敛,则级数在().A.z=−2点条件收敛B.z=2 i点绝对收敛C.z=1+i点绝对收敛D.z=1+2 i点一定发散.[答案]:C14.a=()时 f(z)=x2+2xy-y2+i(ax2+2xy+y2)在复平面内处处解析.A.-1B.0C.1D.2[答案]:A二.判断题1.若函数 f(z)在区域 D 内解析,则 f(z)在区域 D 内沿任意一条闭曲线 C 的积分为 0.()[答案]:F第 3 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院2.z=0 是sin zz的一阶极点.()[答案]:F3.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同.()[答案]:T4.函数在某区域内的解析性与可导性等价.()[答案]:T5.若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D 内解析当且仅当∂ u∂ x,∂u∂ y,∂ v∂ x,∂ v∂ y连续且满足柯西-黎曼方程.()[答案]:F6.若 u(x,y)的共轭调和函数,那么 v(x,y)是(x,y)的共轭调和函数.()[答案]:F7.函数若在某点可导一定在该点解析.()[答案]:T8.函数在一点解析的充要条件是它在这点的邻域内可展开成幂级数.()[答案]:F9.z=0 是1−cos zz2的本性奇点.()[答案]:F三.填空题1. 的收敛半径为###.[答案]:∞2.函数5 z2−z+24 z2+1的解析区域为###.[答案]:z≠ ±i23.(1−i1+i)4=###.第 4 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院[答案]:14. =###.[答案]:2πi5.(z+1z−1)2的孤立奇点的类型为###(可去奇点,极点,本性奇点).[答案]:极点6.(1+√3i1−√3 i)3=###.[答案]:17.e1z的孤立奇点的类型为###(可去奇点,极点,本性奇点).[答案]:本性奇点8.L[t2+3t+2]=###.[答案]:2s3+3s2+2S9.设 z=x+iy,求 z3的虚部=###.[答案]:3x2y-y310.设z=e3+ iπ4,则 Rez=###.[答案]:e311.11+ z2在 z=0 的邻域内展开为泰勒级数为###或 .[答案]:11+ z2=1−z2+z4−⋯ +(−1)nzn+…12.积分∫0+∞e−3 tsinωtdt=###.[答案]:ω9+ω213.1−i√32的幅角是###第 5 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院[答案]:−π3+2 kπ , k =0 , ±1 , ±2 ⋯14.Ln(-1+i)的主值是###[答案]:12ln 2+3 π4i15.f(z)=11+z2,f(5)(0)=###[答案]:016.z=0 是z−sinzz4的###极点[答案]:一级17.f(z)=1z,Res[f(z),∞]=###[答案]:-1四.计算题1.分别给出z=−3+4 i的三角形式的指数形式.[答案]:|z|=√(−3 )2+42=5,Argz= arctan (−43)+π +2 kπ=π −arctan43,因此三角形式为z=5(cos(π −arctan43)+isin (π −acr tan43)).指数形式为z=5 ei( π−arctan43)2.判断函数f (z )=( x2− y2−x )+i(2 xy − y2)在何处可导,何处解析?[答案]:u( x , y )=x2− y2−x ,v ( x , y )=2 xy− y2,∂u∂ x=2 x−1 ,∂ u∂ y=−2 y ,∂ v∂ x=2 y,∂v∂ y=2 x−2 y四个偏导函数均连续,但要满足柯西黎曼方程∂u∂ x=2 x−1=2 x−2 y =∂ v∂ y,∂ u∂ y=−∂ v∂ x需在y=12处成立,故函数在y=12处可导,处处不解析.第 6 页(共 7 页) 中国地质大学(北京)继续教育学院3.求解微分方程x'(t )+x(t )=sin t , x(0 )=−1 .[答案]:设 L[x(t)]=X(s)对方程两边实行拉普拉斯变换得到sX (s)− X (0 )+ X (s )=11+s2即sX (s )+1+X ( s)=11+s2所以X ( s )=−s2(1+s2)(s +1)=−12s1+s2+1211+s2−1211+s,故x (t )=12(sin t− cost−e−t).4.求函数f (t )=¿{et, t≤0¿¿¿¿的傅里叶变换.[答案]:F[f(t)]=∫−∞+∞f (t )e− jωtdt=∫−∞0ete− jωtdt=∫−∞0e(1− jω )tdt=11− jωe(1− jω )t|−∞0=11− jω.第 7 页(共 7 页)