2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为　 　．2．（20 分）在正八边形的 8 个顶点和中心O处放上 9 个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的 5 个数之和都等于位于顶点的 8 个数之和．那么位于中心O处的数最小是　 　．3．（20 分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有　 　种不同的着色方法．二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？5．（20 分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为 100 米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？6．（20 分）自然数a，b满足 23a﹣13b＝1，求a+b的最小值．2010 年第三届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小学组笔试二）参考答案与试题解析一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）如图，∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，AF交DE于G．则三角形DFG与三角形AGE面积的和为　 　． 【分析】过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I，根据等高的三角形面积比等于底之比求解即可．【解答】解：过E点作EH⊥BC交AF于H，过F点作FI⊥BC交DE于I， 因为∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝3，DC＝5，BC＝6，BE＝EF＝FC，所以EH＝1.5，FI＝2.5，三角形EFH面积＝三角形AEH面积＝2×3÷2÷2＝1.5，三角形EFI面积＝三角形FID面积＝2×5÷2÷2＝2.5．所以HG：GF＝1.5：2.5，IG：GE＝2.5：1.5，所以三角形EGH面积＝1.5×1.5÷（1.5+2.5）＝ ，三角形GFI面积＝2.5×2.5÷（1.5+2.5）＝ ．故三角形DFG与三角形AGE面积的和＝三角形AEH面积+三角形EGH面积+三角形FID面积+三角形GFI面积，＝1.5+ + +2.5＝ ．故答案为： ．2．（20 分）在正八边形的 8 个顶点和中心O处放上 9 个不同的自然数，使得位于每对平行边与中心O上的 5 个数之和都等于位于顶点的 8 个数之和．那么位于中心O处的数最小是　 14 　 ．【分析】设这 9 个数分别为A，B，C，D，E，F，G，H，O．然后根据题意列出式子，求出O的最小值．【解答】解：由题意可知：A+B+E+F+O＝B+C+F+G+O＝C+D+G+H+O＝D+E+H+A+O＝A+B+C+D+E+F+G+H，整理得：A+E＝C+G，B+F＝D+H，所以A+B+C+D+E+F+G+H＝2O，即当A，B，C，D，E，F，G，H为 0，1，2，3，4，5，6，7 时，O最小，即O＝ •（0+1+2+3+4+5+6+7）＝14．故答案为：14．3．（20 分）如图，对A，B，C，D，E，F，G七个区域分别用红、黄、绿、蓝、白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同的颜色．那么有　 2880 　 种不同的着色方法．【分析】将问题分解为七步进行：A→B→C→D→E→F→G，得到每一步的着色方式，利用乘法原理解答即可．【解答】解：对这五个区域，我们分五步依次给予着色： （1）区域A共有 5 种着色方式；（2）区域B因不能与区域A同色，故共有 4 种着色方式；（3）区域C因不能与区域B同色，故共有 4 种着色方式；（4）区域D因不能与区域A，B，C同色，故共有 2 种着色方式；（5）区域E因不能与区域A，D同色，故共有 3 种着色方式．（6）区域F因不能与区域D，E同色，故共有 3 种着色方式．（7）区域G因不能与区域A，E，F同色，故共有 2 种着色方式．于是，根据乘法原理共有 5×4×4×2×3×3×2＝2880 种不同的着色方式．故答案为：2880．二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）对于平面上垂直的两条直线a和b，称 （a，b） 为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？【分析】如下图：当二十条直线有 10 条互相平行；另 10 条不仅互相平行而且与前 10 条垂直时垂直对最多共 100 对．【解答】解：当二十条直线有 10 条互相平行；另 10 条不仅互相平行而且与前 10 条垂直时垂直对最多．10×10＝100（对）答：平面上有二十条直线时最多可组成 100 个“垂直对”．5．（20 分）方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为 100 米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？【分析】由于要沿着网格线修路把三个地点连起来，可以先找到交点D，再分别求出各段的长相加即可．【解答】解：如图所示，可得 100×4+100×3+100×2+100＝1000（米）．答：修的总路长最短为 1000 米． 6．（20 分）自然数a，b满足 23a﹣13b＝1，求a+b的最小值．【分析】由 23a﹣13b＝1，可得 13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1），得到b关于a的解的形式：b＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13．因为a、b都是自然数，因此 3a+1 能被 13 整除，显然a最小为 4，b同时取得最小值b＝7，进而求得a+b的最小值．【解答】解：由 23a﹣13b＝1，可得 13b＝23a﹣1＝26a﹣（3a+1）推出b＝26a÷13﹣（3a+1）÷13＝2a﹣（3a+1）÷13要使 3a+1 能被 13 整除，显然a最小为 4，b同时取得最小值b＝7所以a+b最小值＝4+7＝11．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:46；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800