《微积分(二)》模拟题一. 单项选择1.∫ f(x)dx=x2+c,则∫ xf （ 1−x2） dx=¿()A. 2(1-x2)2+cB. -2(1-x2)2+cC. -1/2(1-x2)2+cD. 1/2(1-x2)2+c[答案]:C2. 设f(x)=e−x,则∫f'(lnx)xdx=¿()A. -1/x+cB. 1/x+cC. lnx+cD. -lnx+c[答案]:B3.∫ f(x)=x2e2 x+c,则 f(x)=()A. 2xe2xB. 2x2e2xC. Xe2x(2+x)D. 2xe2x(1+x)[答案]:D4. 已知f'(1x)=x2,则下列式子中正确的是()A.f(x)= ∫ x2d(1x)=−x+cB.f(1x)= ∫ x2dx=13x2+c,f(x)=13 x3+cC.f'(x)=1x2,f(x)= ∫1x2dx=11x+cD.f(x)= ∫ x2dx=x23+c[答案]:C5. 已知∫ f(x2)dx=ex2+c,则 f(x)=()A.12ex2第 1 页，共 13 页 B.axex+bxC.aex+bxD.axex+b[答案]:D43.二元函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在,是在该点可微的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件[答案]:B44.若 f(x,y)在点(0,0)的两个偏导数存在,则 f(x,y)在点(0,0)()A.连续且可微B.连续但不一定可微C.可微但不一定连续D.不一定可微也不一定连续[答案]:D45.曲线 y=2x/1-x2 的渐近线条数为()A.0B.1C.2D.3[答案]:D46.试求limx →02−√x+4x等于()A.-1/4B.0C.1D.∞[答案]:A47.设 f(x)定义域为(1,2),则 f(lgx)的定义域为()A.(0,lg2)B.(0,lg2]C.(10,100)D.(1,2)[答案]:C48.积分 与()有关A.s,t,x第 10 页，共 13 页 B.s,tC.x,tD.s[答案]:D49 ,则 k=()A.1B.2C.ln2D.1/2ln2D[答案]:C50.limx →0∫0sin 2xln ⁡(1+t)dt1−cosx=¿()A.1B.2C.4D.3[答案]:C二.计算题1.求一阶线性微分方程y'+ y=e− x的通解.[答案]:解:易知P( x )=1 , Q( x )=e−x,则通解为y=e−∫P (x )dx(∫Q( x)e∫P (x )dxdx+C )=e−∫dx(∫e−xe∫dxdx+C )=e− x( x +C )2.计算二重积分∬De−x2− y2dσ,其中 D 是圆环域1≤x2+ y2≤4.[答案]:解:在极坐标下,圆环的表示为1≤r≤2,积分区域D={(r , θ )|1≤r≤2,0≤θ≤2 π },第 11 页，共 13 页 则∬De−x2− y2dσ =∫02 πdθ∫12e−r2rdr=2 π∫12e−r2rdr =π (e−1−e−4)3.求幂级数 的收敛域,并求出它的和函数．[答案]:解:令,因为,故收敛半径为1,收敛区间为(-1,1),在 处,级数为,该级数发散,在 处,级数为,该级数收敛,因此收敛域为[-1,1).设,则,又 所以,即4.设z=f ( x , y )为二元可微函数,又假设x=r cos θ , y=r sin θ,试证明:(∂ z∂r)2+1r2(∂ z∂ θ)2=(∂ z∂ x)2+(∂ z∂ y)2第 12 页，共 13 页 [答案]:证明:因为∂ z∂r=∂ z∂ x∂ x∂ r+∂ z∂ y∂ y∂ r=∂ z∂ xcosθ+∂ z∂ ysin θ,∂ z∂θ=∂ z∂ x∂ x∂θ+∂ z∂ y∂ y∂ θ=∂ z∂ x(−r sin θ )+∂ z∂ yr cos θ,则(∂ z∂r)2+1r2(∂ z∂ θ)2=(∂ z∂ xcosθ+∂ z∂ ysin θ)2+1r2(∂ z∂ x(−r sin θ)+∂ z∂ yr cosθ)2=(∂ z∂ xcosθ)2+(∂ z∂ ysin θ)2+1r2(∂ z∂ xr sinθ)2+1r2(∂ z∂ yr cos θ)2=(∂ z∂ x)2+(∂ z∂ y)2.5.要制造一个带盖的长方体水槽,已知它的底部和顶部造价为每平方米 18 元,侧面造价为每平方米 6 元,设计的总造价为 216 元,问如何选取它的尺寸,才能使水槽的容积最大?最大容积为多少?[答案]:解:设水槽的长为 x 米,宽为 y 米,高为 z 米,则容积为由题设知,约束条件为 ,作拉格朗日函数,得方程组解之得由问题本身可知最大值一定存在,且可能的极值点只有一个,所以当长为√2m,宽为√2m,高为 3√2m 时,水槽容积最大,最大容积为 立方米第 13 页，共 13 页 B.12e√x2C.ex2D.e√x2[答案]:B6. 已知 F(x)是 sinx2的一个原函数,则 dF(x2)=()A. 2xsinx4dxB. Sinx4dxC. 2xsinx2dxD. sinx2dx2[答案]:A7. 若f'(sin x )2=(cos x)2,则 f(x)=()A. sinx-1/2sin2x+cB. x-1/2x2+cC. 1/2x2-x+cD. cosx-sinx+c[答案]:B8.∫dx(sinx)2(cosx)2=¿()A. –cotx+tanx+cB. tanx+cotx+cC. 2cot2x+cD. 2tan2x+c[答案]:A9. 若F'(x)=f(x),则∫ dF(X)=¿()A. f(x)B. F(x)C. f(x)+cD. F(x)+c[答案]:D10. 下列哪个表达式等于 f(x)()A.d ( ∫ f (x)dx)B.∫ df (x)C.( ∫ f (x )dx )’\D.∫ f (x)dx第 2 页，共 13 页 [答案]:C\11. 若 f(x)的导函数是 sinx,则 f(x)有一个原函数为().A. 1+sinxB. 1-sinxC. 1+cosxD. 1-cosx[答案]:B12. 当被积函数含有√x2−a2时,可考虑令 x=()A. asintB. atantC. asectD. accost[答案]:C13. 欲使∫ λf(x)dx=λ ∫ f (x)dx,对常数 λ 有何限制?()A. 没有限制B. λ≠0C. λ＞0D. λ≤0[答案]:A14. 设I= ∫ tanxdx,则()A.ln|secx|+CB.ln|cosx|+CC.ln|sinx|+CD.−ln|sinx|+C[答案]:D15. 设I= ∫ lnxdx则()A.I=1x+CB.I=(lnx)22+CC.I=xlnx+CD.I=xlnx−x+C[答案]:D16.I=∫dxsinx,则 I=()A.ln|sinx|+CB.ln|cscx−ctanx|+C第 3 页，共 13 页 C.ln|tanx|+CD.ln|secx+tanx|+C[答案]:B17. 已知函数 f(x+y,x-y)=x2-y2,则 f(x,y)/x+f(x,y)/y=()A. 2x-2yB. 2x+2yC. x+yD. x-y[答案]:C18. 点()是二元函数 z=x3-y3+3x3+3y2-9x 的极大值点A. (1,0)B. (1,2)C. (-3,0)D. (-3,2)[答案]:D19. 函数z=1ln ⁡(x+ y )的定义域是()A. x+y≠0B. x+y>0C. x+y≠1D. x+y>0 且 x+y≠1[答案]:D20. 设函数y=∫0x(t−1)dt,则 y 有()A. 极小值 1/2B. 极小值-1/2C. 极大值 1/2D. 极大值-1/2[答案]:B21. 若∫01(2 x+k)dx=2,则 k=()A. 0B. -1C. 1D. 1/2[答案]:C第 4 页，共 13 页 22.∫−111x2dx=¿()A. -2B. 2C. 0D. 发散[答案]:D23. 当()时,广义积分∫−∞0e−kxdx收敛A. k>0B. k≥0C. k<0D. k≤0[答案]:C24. 设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则()A. 当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数B. 当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数C. 当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数D. 当 f(x)是单调函数时,F(x)必是单调函数[答案]:A25. 若∫ f(x)dx=x2e2 x+c,则 f(x)=()A. 2xe2xB. 2x2e2xC. xe2xD. 2xe2x(1+x)[答案]:D26.直线 l1: 与直线 l2: 的夹角为().A.B.第 5 页，共 13 页 C.D.[答案]:B27.下列哪一个不是 sin2x 的原函数().A.B.C.D.[答案]:D28. ().A.B.C.D.[答案]:C29.下列级数中,发散的级数是().A.B.C.第 6 页，共 13 页 D.[答案]:D30.设 ,则 在点 O(0,0)处().A.偏导数存在,函数不连续B.偏导数不存在,函数连续C.偏导数存在,函数连续D.偏导数不存在,函数不连续[答案]:A31. ().A.B.C.D.[答案]:A32.设 ,则 有().A.极小值 2-eB.极小值 e-2C.极大值 2-eD.极大值 e-2[答案]:A32.∫01√1−x2dx=().A.B.第 7 页，共 13 页 C.D.[答案]:D33.若 ,则 ().A.B.C.D.[答案]:A34.设f (x+ y , x− y)=x2− y2,则∂f (x , y )∂ x+∂ f ( x , y )∂ y=().A.B.C.D.[答案]:D35.已知 F(x)是 sinx2的一个原函数,则 dF(x2)=().A.2xsinx4dxB.sinx4dxC.2xsinx2dxD.sinx2dx2[答案]:A36.若 f’(sin2x)=cos2x,则 f(x)=().A.sinx-½sin2x+c第 8 页，共 13 页 B.x-½x2+cC.½x2-x+cD.cosx-sinx+c[答案]:B37.若 F’(x)=f(x),则∫ dF(x )=().A.F(x)B.f(x)C.f(x)+cD.F(x)+c[答案]:D38.∫dxsin2x cos2x=().A.-cotx+tanx+cB.tanx+cotx+cC.2cot2x+cD.2tan2x+c[答案]:A39.若∫ f(x)dx=x2+c,则∫ xf (2−x2)dx等于().A.2(1-x2)2+cB.2(2-x2)dxC.-½(2-x2)2+cD.-½(1-x2)2+c[答案]:C40.初等函数 y=f(x)在其定义域[a,b]上一定().A.连续B.可导C.可微D.不连续[答案]:A41.函数 z=xy 在(0,0)点处一定为()A.极大值B.极小值C.无法确定D.不取得极值[答案]:D42.微分方程y -y= {e} ^ {x} +的一个特解应有形式(式中 a,b 为常数)()A.aex+b第 9 页，共 13 页