2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1 ＝　 　．2．（10 分）中国北京在 2015 年 7 月 31 日获得了 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为 2022 年 2 月 4 日，星期　 　．（今天是 2016 年 3 月 12 日，星期六）3．（10 分）如图中，AB＝5 厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝　 　厘米．4．（10 分）在 9×9 的格子纸上，1×1 小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有　 　个“好点”．5．（10 分）对于任意一个三位数n，用 表示删掉n中为 0 的数位得到的数．例如n＝102 时 ＝12．那么满足 ＜n且 是n的约数的三位数n有　 　个．6．（10 分）共有 12 名同学玩一种扑克游戏，每次 4 人参加，且任意 2 位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩　 　次．7．（10 分）如果 2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为　 　．8．（10 分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的 11 个单位等分为 10，第二把小尺将大尺上 9 个单位等分为 10，两把小尺的起点都为 0，都分别记为 1 至 10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的 0 单位处，B点介于大尺的 18 与19 单位之间，将第一把小尺的 0 单位处于B点时，其单位 3 怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的 0 单位处置于B点，那么第二把小尺的第　 　个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的 ，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4 票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．（10 分）如图，三角形ABC中，AB＝180 厘米，AC＝204 厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米． 11．（10 分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10 小时可将空水池注满；只打开乙，15 小时可将空水池往满．现要求 7 个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．（10 分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有 20 个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，有一张由四个 1×1 的小方格组成的凸字行纸片和一张 5×6 的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14．（15 分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被 20 整除．则n的最小值是多少？2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1 ＝　 2 　 ．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1＝7 ﹣（2.4+ ）÷1＝7 ﹣ ÷1＝7 ﹣＝2故答案为：2．2．（10 分）中国北京在 2015 年 7 月 31 日获得了 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为 2022 年 2 月 4 日，星期　五　．（今天是 2016 年 3 月 12 日，星期六）【分析】首先分析 2016 年的 3 月 12 日到 2022 年的 3 月 13 日是星期几，然后再根据 3 月 12 向前推理出 2 月 4 日即可．【解答】解：依题意可知：平年 365 天是 52 个星期多 1 天．润年是 52 个星期多 2 天．2016 年 3 月 12 到 2022 年 3 月 12 日经过了 5 个平年 1 个闰年，向后推的天数为 1+1+1+1+1+2＝7．恰好为星期六．那么 2022 年的 2 月 4 日到 2022 年的 3 月 12 日．经过 24+12＝36 天．36÷7＝5…1．从星期六前推前天．说明 2022 年的 2 月 4 日是星期五．故答案为：五 3．（10 分）如图中，AB＝5 厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝　 5 　 厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么根据三角形内角和为 180 度可知∠A＝50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么∠A＝50°．∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝85°﹣20°＝65°∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣65°＝65°；∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝5故答案为：54．（10 分）在 9×9 的格子纸上，1×1 小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有　 6 　 个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积＝△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积＝△CDF的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积＝△CAF的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有 6 个． 5．（10 分）对于任意一个三位数n，用 表示删掉n中为 0 的数位得到的数．例如n＝102 时 ＝12．那么满足 ＜n且 是n的约数的三位数n有　 93 　 个．【分析】按题意，能满足 ＜n且 是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为 0，第二种，个位为 0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为 0 的三位数中，能满足 是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉 0 后得：15、18、45 分别为 105、108、405 的约数；第二种，个位为 0 的三位数共有：9×10＝90 个，删掉 0 后均能满足是n的约数，故满足题意的三位数n有 90 个，综上，满足题意的三位数一共有 90+3＝93 个．故答案是：93．6．（10 分）共有 12 名同学玩一种扑克游戏，每次 4 人参加，且任意 2 位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩　 9 　 次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号 1﹣12．如果是 1﹣4 一组，5﹣8 一组，9﹣12 一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组．即第一次是 1，2，3，4．第二次是 1，5，6，7．第三次是 2，5，8，9．第四组是 3，6，8，10．第五组是 4，5，8，11．第六组是 3，5，9，10．第七组是 4，6，9，11第八组是 1，7，9，12第九组是 2，6，10，12．故答案为：97．（10 分）如果 2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为　 108 　 ．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，所以（2n+k﹣1）•k＝22×38，所以k的最大值为 108＝22×33，此时 2n+k﹣1＝35，n＝68，故k的最大值为 108．故答案为 108．8．（10 分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的 11 个单位等分为 10，第二把小尺将大尺上 9 个单位等分为 10，两把小尺的起点都为 0，都分别记为 1 至 10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的 0 单位处，B点介于大尺的 18 与19 单位之间，将第一把小尺的 0 单位处于B点时，其单位 3 怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的 0 单位处置于B点，那么第二把小尺的第　 7 　 个单位怡好与大尺上某一单位相合． 【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是 11：10，第一把小尺的单位 3，相当于大尺的单位 3.3（根据比例求得）大尺 3.3 与 18.7 才能相加得整数，所以小尺的 0 对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以 0 单位为起点，在 1 到 10 之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7 加上几点 3，就是说加上的这个数的小数位是 3．根据大尺与第二把小尺的单位比 9：10 求得第二把小尺是 7 时，大尺的单位数才出现点 3．【解答】解：11：10＝？：3 ？＝3.3 那B点处在单位 18 与 19 之间的应是：18.718.7 只有加上一个末位上是 3 的数（令其为X）才能凑整十数．？是在 1 一 10 之间的自然数，所以只有？＝7 符合条件．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的 ，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4 票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加 4 票，则甲必至少减少 4 票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为 ，由题意得：⇒ ⇒x＜168，又∵x为正整数，且 也为正整数∴x＝147，x＝126，即：①甲得票数是 147 票，乙的得票数是 140 票；②甲得票数是 126 票，乙的得票数是 120 票．故答案是：甲 147 票，乙 140 票．或，甲 126 票，乙 120 票．10．（10 分）如图，三角形ABC中，AB＝180 厘米，AC＝204 厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；同理，可求AE、AF、AG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE＝3S△EDC，所以AE＝3EC＝3×（204÷4）＝153（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE＝2S△EFD，所以AF＝2DF＝2×（144÷3）＝96（厘米）；在△AFE中，因为S△AFG＝S△GFE，所以AG＝GE＝153÷2＝76.5（厘米）；所以，AF+AG＝96+76.5＝172.5（厘米）；答：AF+AG为 172.5 厘米． 11．（10 分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10 小时可将空水池注满；只打开乙，15 小时可将空水池往满．现要求 7 个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为 、 ，总时间为 7 小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为 1 份，甲、乙每小时注水的速度分别为 份/时、 份/时，则甲乙同时开的时候总速度为 + ＝ ，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙 7﹣a﹣b小时，则：a+b+ （7﹣a﹣b）＝1，化简得：2a+3b＝5，又∵a≥1，b≥1，∴a＝1，b＝1，∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b＝7﹣1﹣1＝5（小时）．故答案是：5．12．（10 分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有 20 个五边形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加 360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20 个五边形的度数和为 20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加 360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20 个五边形的度数和为 20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；整理得：K≥38，当K＝38 时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用 18 次将四边形分成 19 个四边形，再用 19 次将每个四边形切成五边形，这样就用 38 次将其切成 20 个五边形．综上，则最少剪 38 次．故答案是：38．三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，有一张由四个 1×1 的小方格组成的凸字行纸片和一张 5×6 的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有： 2×3+2×4＝14（个），有 14 个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有 4×（3×4）＝48（个）．由加法原理知，共有 14+48＝62 中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62÷2＝31（个）．故答案是：31．14．（15 分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被 20 整除．则n的最小值是多少？【分析】首先说明任意 8 个非负整数不能满足条件，因为任意取 9 个非负整数，从中任意取 7 个，它们的两两之和有 21 个，这 21 个和数除以 20 的余数有 21 个，因为余数最多有 20 个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有 4 个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以 20 有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有 3 个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以 20 有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是 20 的倍数，由此循环，即可解决问题．【解答】解：存在 8 个数：0，1，2，4，7，12，20，40 它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于 9．因为任意取 9 个非负整数，从中任意取 7 个，它们的两两之和有 21 个，这 21 个和数除以 20 的余数有 21 个，因为余数最多有 20 个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有 4 个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以 20 有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有 3 个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以 20 有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是 20 的倍数，将a、c取出，在剩下的 7 个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是 20 的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d能被 20 整除．综上所述，n的最小值为 9．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:43；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800