2017 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛 A 卷）一、解答题（共 11 小题，满分 0 分）1．算式 67×67﹣34×34+67+34 的计算结果是　 　．2．在横式 × +C×D＝2017 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么 代表的两位数是　 　．3．如图中共有　 　个平行四边形．4．小兔与蜘蛛共 50 名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔　 　只．（注：蜘蛛有 8 只脚）5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为 100，若从第 1 项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差　 　．6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6 个面上分别有 1 到 6 个点，其相对两面点数的和都等于 7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是 1，最大是 15（15＝4+5+6），那么在 1～15 中，不可能看到的点数和是　 　．7．一排格子不到 100 个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第 3 格，第 7 格中有棋子，第 4、5、6 格中没棋子，则可以在第 5 格中放一枚棋子；但第 4 格，第 7 格中有棋子，第5、6 格没棋子，则第 5、6 格都不能放）．这几名同学每人都放了 9 次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有　 　名同学．8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买 2 只山羊，那么每只羊的平均价格会增加 60 元，如果她少买2 只山羊，那么每只羊的平均价格会减少 90 元．蕾蕾一共买了　 　只羊．9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在 2016 年 12 月 1 日～5 日各值班三天，每天将有 3 名安保值班，每位安保值班安排 5 天一循环．今天（2017 年 1 月 1 日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他 3 人都多；B：我与其余 4 人在这个月都一起值过班；C：12 月 3 日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣诞节（12 月 25 日）那天我和A都值班了．那么，安保A在 12 月份中第 2 次、第 6 次、第 10 次值班日期顺次排列组成的五位数是　 　．（如果第 2 次、第 6 次、第 10 次值班分别在 12 月 3 日、12 月 17 日，则答案为，31217）10．如图中每个小正三角形的面积是 12 平方厘米，那么大正三角形的面积为　 　平方厘米．11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了 3 次都没有在任何房间相遇，那么他们有　 种不同的走法． 2017 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛 A 卷）参考答案与试题解析一、解答题（共 11 小题，满分 0 分）1．算式 67×67﹣34×34+67+34 的计算结果是　 3434 　 ．【解答】解：67×67﹣34×34+67+34＝67×（67+1）﹣34×34+34＝67×2×34﹣34×34+34＝101×34＝3434故答案为：3434．2．在横式 × +C×D＝2017 中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，若等式成立，那么 代表的两位数是　 14 　 ．【解答】解：由于 0＜C×D＜100，所以 1900＜ × ＜2017，因为 130×13＝1690，140×14＝1960，150×15＝2250，所以 ＝14，进一步可得C×（14+D）＝57，C＝3，D＝5．故答案为 14．3．如图中共有　 15 　 个平行四边形．【解答】解：根据分析可得，①单个的（红色）有：4 个；②两个组成的（蓝色）有 8 个；③ 6 部分组成的（黄色）有：3 个；共有：4+8+3＝15（个）；答：图中共有 15 个平行四边形．故答案为：15．4．小兔与蜘蛛共 50 名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔　 40 　 只．（注：蜘蛛有 8 只脚）【解答】解：每走一只小兔，总腿数少了 4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了 8，由此要总腿数不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，把增加的蜘蛛当作 1 份，那么原蜘蛛数量也是 1份，走了的兔子数量是 2 份，原有兔子数量为 4 份，则原有动物共 5 份，是 50 只，1 份有 10 只，所以原有兔子 4×10＝40 只．故答案为 40．5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为 100，若从第 1 项开始，将每个奇数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新数列的和与原数列的和相差　 9900 　 ．【解答】解：设这个等差数列的奇数项分别为a1，a3，a5，…，公差为d，那么将每个奇数项与后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并后的四位数列可以表示为a1×100+a1+d，a2×100+a2+d，…，所以新数列的和与原数列的和相差 99×（a1+a3+a5+…）， 由于奇数项的和为 100，所以 99×（a1+a3+a5+…）＝99×100＝9900，故答案为 9900．6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6 个面上分别有 1 到 6 个点，其相对两面点数的和都等于 7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是 1，最大是 15（15＝4+5+6），那么在 1～15 中，不可能看到的点数和是　 13 　 ．【解答】解：骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面，在 1～15中，点数 1～6 显然可以看到，7＝1+2+7，8＝6+2，9＝6+3，10＝6+4，11＝6+5，12＝6+2+4，14＝6+5+3，15＝4+5+6，13 无法拆出，即在 1～15 中，不可能看到的点数和是 13．故答案为 13．7．一排格子不到 100 个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第 3 格，第 7 格中有棋子，第 4、5、6 格中没棋子，则可以在第 5 格中放一枚棋子；但第 4 格，第 7 格中有棋子，第5、6 格没棋子，则第 5、6 格都不能放）．这几名同学每人都放了 9 次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有　 7 　 名同学．【解答】解：由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．第一轮只能在最中间放 1 枚棋子，此时将格子分为前半部分和后半部分，那么第二轮在每一部分的中间，都可以放 1 枚棋子，总共可以放 2 枚，此时将格子分成了 4，第三轮在每一部分的中间，都可以放 1 枚棋子，总共可以放 4 枚，以此类推，总共放下的棋子个数应该为等比数列 1，2，4，8，…的和，而由于每人都放 9 次，因此这个和为 9 的倍数，且该和不能超过 100，枚举可得1+2+4+8+16+32＝63，满足条件，则共有 63÷9＝7 名同学，棋子分布依次为：1，651，33，651，17，33，49，651，9，17，25，33，41，49，57，65，…故答案为 7．8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买 2 只山羊，那么每只羊的平均价格会增加 60 元，如果她少买2 只山羊，那么每只羊的平均价格会减少 90 元．蕾蕾一共买了　 10 　 只羊．【解答】解：假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元，买 2 只山羊，每只羊的平均价格会增加60 元，总价格增加 60x+2（a+60）元；少买 2 只山羊，那么每只羊的平均价格会减少 90 元，总价格减少 90x+2（a﹣90）元，两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，所以 60x+2（a+60）＝90x+2（a﹣90），解得x＝10，故答案为 10．9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在 2016 年 12 月 1 日～5 日各值班三天，每天将有 3 名安保值班，每位安保值班安排 5 天一循环．今天（2017 年 1 月 1 日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他 3 人都多；B：我与其余 4 人在这个月都一起值过班；C：12 月 3 日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；D：E每次都和我安排在一起；E：圣诞节（12 月 25 日）那天我和A都值班了．那么，安保A在 12 月份中第 2 次、第 6 次、第 10 次值班日期顺次排列组成的五位数是　 41016 ．（如果第 2 次、第 6 次、第 10 次值班分别在 12 月 3 日、12 月 17 日，则答案为，31217）【解答】解：12 月份值班表如下： 由E说的话可知，25 日A和E都值班，又由D的话可知D和E永远在一起，那么可以判断 5 日这一竖列值班人为A，D，E．由C的话可知，3 日他不值班，由于每天必须有 3 人值班，所以D，E中必须有一个，又因为D，E在一起，所以 3 日这一竖列，D，E都值班．通过A的话判断，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么 1 那一列必须是C，D，E值班，每天都要有 3 人值班，D，E现在已经排满，因此第 1，4 列为A，B，C值班．还剩第 3 列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B．A在 12 月份中第 2，6，10 次值班日期依次为 4，10，16，故五位数为 41016．故答案为 41016．10．如图中每个小正三角形的面积是 12 平方厘米，那么大正三角形的面积为　 84 　 平方厘米．【解答】解：如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半为 12×4÷2＝24 平方厘米，那么△ABC面积为 3×24+12＝84 平方厘米．故答案为 84．11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了 3 次都没有在任何房间相遇，那么他们有　1476 　 种不同的走法． 【解答】解：考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对．相邻：如 1 与 2，那么下一步都顺时针走，可变为 2 与 3，都逆时针走，变为 6 与 1，一个顺时针，一个逆时针变为 2 与 1 或 6 与 3，都有 3 种可能相邻，1 种可能相对；相隔：如 1 与 3，那么下一步可能变为 2 与 4，6 与 2，6 与 4，都有 3 种可能相邻；相对：如 1 与 4，那么下一步可能变为 2 与 3，6 与 5，6 与 3，2 与 5，即有 2 种相邻的可能和 2种相对的可能．假设警察初始房间为 1，小偷与其相邻可能为 2 或 6，那么 3 次之后不相遇的走法有2×（27+9+6+6+6+2+4+4）＝128 种相隔⇌3 相隔⇌9 相隔⇌27 相隔．假设警察初始房间为 1，小偷与其相邻可能为 3 或 5，那么 3 次之后不相遇的走法有 2×27＝54种，假设警察初始房间为 1，小偷与其相对为 4，那么 3 次之后不相遇的走法有 18+6+4+4+12+4+8+8＝64 种，综上所述，警察若初始位置为 1，满足题目条件的走法有 128+54+64+246 种，那么警察初始位置还能选择 2～6，因此共有 246×6＝1476 种走法．故答案为 1476．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:17:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800