2010年中考数学压轴题（三）及解答
发布时间：2025-01-12 09:01:19浏览次数：462010 年中考数学压轴题（三）及解答55、（2010 年河北省）25．（本小题满分 12 分）如 图 16 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ，，AD=6，BC=8，AB=3√3，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点 P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形EPQ，使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P，Q 运动的时间是 t 秒(t＞0)．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）．（2）当 BP=1 时，求△EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由．【解答】25．解：（1）y=2t；（2）当 BP=1 时，有两种情形：①如图 6，若点 P 从点 M 向点 B 运动，有 MB = = 4，MP=MQ =3，∴PQ=6．连接 EM，∵△EPQ 是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ ．∵AB= ，∴点 E 在 AD 上．∴△EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是△EPQ，其面积为 ． ②若点 P 从点 B 向点 M 运动，由题意得 ．PQ=BM+MQ BP=8，PC=7．设 PE 与 AD 交于点 F，QE 与 AD 或 AD 的延长线交于点 G，过点 P 作 PH⊥AD 于点 H，则HP= ，AH=1．在 Rt△HPF 中，∠HPF=30°， ∴HF=3，PF=6．∴FG=FE =2．又∵FD=2，∴点 G 与点 D 重合，如图 7．此时△EPQ 与梯形 ABCD第 1 页 共 28 页M（备用图）BCDA图 16EQPBCDAM图 7GHFEQMPBCDA图 6EQMPBCDA
（2）存在点 P，使四边形 POP¿C 为菱形．设 P 点坐标为（x，x2−2 x−3），PP¿交 CO 于 E若四边形 POP¿C 是菱形，则有 PC＝PO．连结 PP¿ 则 PE⊥CO 于 E，∴OE=EC=32∴y=−32．……………………………6 分∴x2−2 x−3=−32 解得x1=2+√102，x2=2−√102（不合题意，舍去）∴P 点的坐标为（2+√102，−32）…………………………8 分（3）过点 P 作y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x2−2 x−3），易得，直线 BC 的解析式为y=x −3则 Q 点的坐标为（x，x－3）.S四边形 ABPC=SΔ ABC+SΔ BPQ+SΔCPQ=12AB⋅OC +12QP⋅OE+12QP⋅EB=12×4×3+12(−x2+3 x )×3=−32(x−32)2+758 ……………10 分当x=32时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为(32,−154)，四边形 ABPC 的面积的最大值为758． ………………12 分65、（2010 年湖北省黄冈市）24．（11 分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度 v（米/秒）与时第 10 页 共 28 页
间 t（秒）的关系如图 a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）. （1）求该同学骑自行车上学途中的速度 v 与时间 t 的函数关系式；（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在 OA 和 BC 段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图 b，直线 x＝t（0≤t≤135），与图 a 的图象相交于 P、Q，用字母 S 表示图中阴影部分面积，试求 S 与 t 的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在 t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时 S 的数量关系. 图 a 图 b【解答】24．（1） （2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）（3） (4) 相等的关系66、（2010 年湖北省黄冈市）25．（15 分）已知抛物线 顶点为 C（1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x，y）向直线 作垂线，垂足为M，连 FM（如图）.（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x＝1 上有一点 ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使PM＝PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由.【解答】25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0第 11 页 共 28 页
（2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 ，横坐标为 .此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF 为正三角形.（3）不存在.因为当 t＜ ，x＜1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t＞ ，x＞1 时，PM 与 PN不可能相等.67、（2010 年湖北省黄石市）24.（本小题满分 9 分）在△ABC 中，分别以 AB、BC 为直径⊙O1、⊙O2，交于另一点 D.⑴ 证明：交点 D 必在 AC 上；⑵ 如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为 4︰3，且 DO2与⊙O1相切时，判断△ABC 的形状，并求 tan∠O2DB 的值；⑶ 如图乙，当⊙O1经过点 O2，AB、DO2的延长线交于 E，且 BE＝BD 时，求∠A 的度数.【 解 答】68、（2010 年湖北省黄石市）25.（本小题满分 10 分）已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x +1有两个交点 A、B.⑴ 当 AB 的中点落在 y 轴时，求 c 的取值范围；第 12 页 共 28 页
⑵ 当 AB＝2√2，求 c 的最小值，并写出 c 取最小值时抛物线的解析式；⑶ 设点 P（t ,T ）在 AB 之间的一段抛物线上运动，S（t ）表示△PAB 的面积.① 当 AB＝2√2，且抛物线与直线的一个交点在 y 轴时，求 S（t ）的最大值，以及此时点 P 的坐标；② 当 AB＝m（正常数）时，S（t ）是否仍有最大值，若存在，求出 S（t ）的最大值以及此时点 P的坐标（t ,T ）满足的关系，若不存在说明理由. 【解答】69、（2010 年湖北省荆门市）23．(本题满分 10 分)如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，已知 BC∶CA＝4∶3，点 P在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B 重合)，过 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；第 13 页 共 28 页CDBAOP第 23 题图
(3)当点 P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积 S．【解答】23．解：(1)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴ ．∴AC·CD＝PC·BC；……………………………………………3 分(2)当点 P 运动到 AB 弧中点时，过点 B 作 BE⊥PC 于点 E．∵P 是 AB 中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝ BC＝2 ．又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝ ．∴PE＝ ＝ ＝ ．从而 PC＝PE＋EC＝ ．由(1)得 CD＝ PC＝ …………………………………7 分(3)当点 P 在 AB 上运动时，S△PCD＝ PC·CD．由(1)可知，CD＝ PC．∴S△PCD＝ PC2．故 PC 最大时，S△PCD取得最大值；而 PC 为直径时最大，∴S△PCD的最大值 S＝ ×52＝ ．………………………………10 分70、（2010 年湖北省荆门市）24．(本题满分 12 分)已知：如图一次函数 y＝ x＋1 的图象与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B；二次函数 y＝ x2＋bx＋c 的图象与一次函数 y＝ x＋1 的图象交于 B、C 两点，与x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为(1，0)(1) 求二次函数的解析式；(2) 求四边形 BDEC 的面积 S；(3) 在 x 轴上是否存在点 P，使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 P，若不存在，请说明理由．【解答】24．解：(1)将 B(0，1)，D(1，0)的坐标代入 y＝ x2＋bx＋c 得得解析式 y＝ x2－ x＋1……………………………………………………3 分(2)设 C(x0，y0)，则有解得 ∴C(4，3)．………………………6 分由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为 x＝ 可知 E(2，0)．第 14 页 共 28 页EPOABDC第 23 题图第 24 题图
∴S＝ AE·y0－ AD×OB＝ ×4×3－ ×3×1＝ …………8 分(3)设符合条件的点 P 存在，令 P(a，0)：当 P 为直角顶点时，如图：过 C 作 CF⊥x 轴于 F．∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴ ．即 ．整理得 a2－4a＋3＝0．解得 a＝1 或 a＝3∴所求的点 P 的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点 P 共有二个………………………………………………………12 分71、（2010 年湖北省荆州市）23.（10 分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于 50 万元，每套产品的售价不低于 90 万元．已知这种设备的月产量 x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170−2 x，月产量 x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出y2与 x 之间的函数关系式； （2）求月产量 x 的范围； （3）当月产量 x（套）为多少时，这种设备的利润 W（万元）最大？最大利润是多少？【解答】23.解：（1）y2=500+30 x (2 分)（2）依题意得：{500+30 x≤50 x170− 2 x≥90 ( 4 分)解得：25≤x≤40 (6 分)（3）∵W =x⋅y1− y2=x (170−2 x)−(500+30 x )=−2 x2+140 x−500∴W =−2( x−35 )2+1950 (8 分)而 25<35<40, ∴当 x=35 时，W最大=1950即，月产量为 35 件时，利润最大，最大利润是 1950 万元． （10 分）72、（ 2010 年 湖北省 荆州市 ） 24.（12 分 ）如图 ，直角梯 形 OABC 的直 角顶点 O 是 坐标原 点，边OA ， OC 分 别 在 x 轴 、 y 轴 的 正 半 轴 上 ， OA BC∥ ， D 是 BC 上 一 点 ， BD=14OA=√2，AB=3，∠OAB=45°，E、F 分别是线段 OA、AB 上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．（1）直接写出 D 点的坐标；（2）设 OE=x，AF=y，试确定 y 与 x 之间的函数关系；第 15 页 共 28 页
（3）当△AEF 是等腰三角形时，将△AEF 沿 EF 折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形 OEFBC 重叠部分的面积．【解答】24.解：（1）D 点的坐标是(32√2 ,32√2). （2 分）（2）连结 OD,如图（1），由结论（1）知：D 在∠COA 的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°,又在梯形 DOAB 中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4 分)∴OEAF=ODAE，即：xy=34√2−x∴y 与 x 的解析式为：y=−13x2+4√23x (6 分)（3）当△AEF 为等腰三角形时，存在 EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 种情况.①当 EF=AF 时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF 为等腰直角三角形.D 在 A’E 上（A’E⊥OA）,B 在 A’F 上（A’F⊥EF）∴△A’EF 与五边形 OEFBC 重叠的面积为四边形 EFBD 的面积.∵AE=OA−OE=OA−CD=4√2−32√2=52√2∴AF= AE⋅sin 450=5√22×√22=52SΔ AEF=12EF⋅AF=12×(52)2=258∴S梯形 AEDB=12(BD+AE)⋅DE=12×(√2+52√2 )×3√22=214∴S四边形 BDEF=S梯形 AEDB-SΔ AEF=214−258=178（也可用S阴影=SΔ A'EF-SΔA'BD） (8 分)第 16 页 共 28 页
②当 EF=AE 时，如图（3），此时△A’EF 与五边形 OEFBC 重叠部分面积为△A’EF 面积.∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又 DB∥EA∴四边形 DEAB 是平行四边形∴AE=DB=√2∴SΔ A'EF=SΔ AEF=12AE⋅EFSΔA¿EF=12×(√2)2=1 (10 分)③当 AF=AE 时，如图（4），四边形 AEA’F 为菱形且△A’EF 在五边形 OEFBC 内. ∴此时△A’EF 与五边形 OEFBC 重叠部分面积为△A’EF 面积. 由（2）知△ODE∽△AEF,则 OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=4√2−3 过 F 作 FH⊥AE 于 H,则FH= AF⋅sin 45 °=(4√2−3)×√22=4−3√22∴SΔ A'EF=SΔ AEF=12AE⋅FH=12×(4√2 -3)⋅(4-3√22)=41√2 -484综上所述，△A’EF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为178或 1 或41√2 -484 （12 分） 73、(2010 年湖北省十堰市) 24．（本小题满分 9 分）如图 ， 已知 ⊙O1与⊙O2都过 点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.【解答】解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2 ∴∠O2AB+∠BAO1=90°又O2A=O2C，O1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD.∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90°又由（1）可知∠BO2C=90°∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC第 17 页 共 28 页DCBAO2O1CBAO2O1
∴△O2BC∽△ABD∴ ， ∴AB·BC=O2B·BD 又BD=2BO1 ， ∴AB·BC=2O2B·BO1（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A∴△AO2B∽△DO2A， ∴ ， ∴AO22=O2B·O2D ， ∵O2C=O2A∴O2C2=O2B·O2D ① 又由（2）AB·BC=O2B·BD ②由①－②得，O2C2－AB·BC= O2B2 即 42－12=O1B2∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12 ， ∴BD=6，∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3 74、(2010 年湖北省十堰市) 25．（本小题满分 10 分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数 y= mx2-(3m－1)x+2m－2 的图象与x轴两交点间的距离为 2 时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.【解答】解：（1）分两种情况讨论：①当m=0š时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0不论m为何实数，△≥0 成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0 恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线 y= mx2-(3m－1)x+2m－2 与x轴交点的横坐标.则有x1+x2= ，x1·x2=由| x1－x2|= = = = ，第 18 页 共 28 页
由| x1－x2|=2 得 =2，∴ =2 或 =－2∴m=1 或m=∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－即y1= x（x－2）或y2= （x－2）（x－4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；同理 ，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.由 ， 当y1=y2时，有x=2 或x=1 当x=1 时，y=－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2 时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.75、(2010 年湖北省武汉市)24. (本题满分 10 分) 已知：线段 OAOB，点 C 为 OB 中点，D 为线段 OA 上一点。连结 AC，BD 交于点 P。 (1) 如图 1，当 OA=OB，且 D 为 OA 中点时，求APPC的值； (2) 如图 2，当 OA=OB，且ADAO=14时，求 tanBPC 的值； (3) 如图 3，当 AD：AO：OB=1：n：2√n时，直接写出 tanBPC 的值。第 19 页 共 28 页圖 3圖 2圖 1BAPOCDBAPOCDOPDCBA
ššš的重叠部分就是梯形 FPCG，其面积为 ．（3）能．4≤t≤5．56、（2010 年河北省）26．（本小题满分 12 分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格 y（元/件）与月销量 x（件）的函数关系式为 y =−1100x＋150，成本为 20 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为 w内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为 150 元/件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件（a 为常数，10≤a≤40），当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳1100x2元的附加费，设月利润为 w外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．（1）当 x=1000 时，y= 元/件，w内š= 元；（2）分别求出 w内，w外与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2( 0)y ax bx c a 的顶点坐标是 ．【解答】26．解：（1）140 57500；（2）w内š=x（y-20）-š62500 = x2＋130 x ，w外 = x2＋（150 ）x．（3）当 x= =6500 时，w内最大；分由题意得 ， 解得 a1=30，a2=270（不合题意，舍去）．所以 a=30． （4）当 x =5000 时，w内 = 337500， w外 = ．若 w内 ＜ w外，则 a＜32.5；若 w内 = w外，则 a=32.5；若 w内 ＞ w外，则 a＞32.5．所以，当 10≤a＜32.5 时，选择在国外销售；当 a=32.5 时，在国外和国内销售都一样；当 32.5＜ša≤40 时，选择在国内销售．57、(2010 年河南省)22．（10 分）第 2 页 共 28 页
【解答】24. 解：(1) 延长 AC 至点 E，使 CE=CA，连接 BE，∵C 为 OB 中点， ∴△BCE△OCA，∴BE=OA，E=OAC，∴BE//OA， ∴△APD~△EPB，∴APEP=ADEB。又∵D 为 OA 中点， OA=OB，∴APEP=ADAO=12。∴APEP=AP2 PC + AP=12，∴APPC=2。 (2) 延长 AC 至点 H，使 CH=CA，连结 BH，∵C 为 OB 中点， ∴△BCH△OCA，∴CBH=O=90，BH=OA。由ADAO=14， 设 AD=t，OD=3t，则 BH=OA=OB=4t。在 Rt△BOD 中， BD=√(3 t )2+(4 t )2=5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP， ∴BPDP=BHAD=4 tt=4。∴BP=4PD=45BD=4t，∴BH=BP。 ∴tanBPC=tanH=BCBH=2 t4 t=12。 (3) tanBPC=√nn。76、（湖北省武汉市）25. (本题满分 12 分) 如图，拋物线 y1=ax22axb 经过 A(1，0)， C(2，32)两点，与 x 轴交于另一点 B； (1) 求此拋物线的解析式； (2) 若拋物线的顶点为 M，点 P 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上移动，且MPQ=45，设线 段 OP=x，MQ=√22y2，求 y2与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与拋物线交于点 E，G，与(2)中的 函数图像交于点 F，H。问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求 m，n 之间的数量 关系；若不能，请说明理由。【解答】25. 解：(1) ∵拋物线 y1=ax22axb 经过 A(1，0)，C(0，32)两点，∴{a+2 a+b=0b=32，∴a= 12， b=32，∴拋物线的解析式为 y1= 12x2x32。 (2) 作 MNAB，垂足为 N。由 y1= 12x2x32易得 M(1，2)， N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2√2， MBN=45。根据勾股定理有 BM 2BN 2=PM 2PN 2。 ∴(2√2)222=PM2= (1x)2…，又MPQ=45=MBP， ∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQMB=√22y22√2…。 由、得 y2=12x2x52。∵0x<3，∴y2与 x 的函数关系式为 y2=12x2x52(0x<3)。第 20 页 共 28 页xyOBAQMPBAHPOCDEOPDCBANxyOBAQMP
(3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 mn=2(0m2，且 m1)。∵点 E、G 是抛物线 y1= 12x2x32 分别与直线 x=m，x=n 的交点，∴点 E、G 坐标为 E(m，12m2m32)，G(n，12n2n32)。同理，点 F、H 坐标 为 F(m，12m2m52)，H(n，12n2n52)。 ∴EF=12m2m52(12m2m32)=m22m1，GH=12n2n52(12n2n32)=n22n1。 ∵四边形 EFHG 是平行四边形，EF=GH。∴m22m1=n22n1，∴(mn2)(mn)=0。 由题意知 mn，∴mn=2 (0m2，且 m1)。 因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 mn=2 (0m2，且 m1)。77、（2010 年湖北省咸宁市）23．（本题满分 10 分）在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出发，沿直线匀速驶向 C港，最终达到 C 港．设甲、乙两船行驶 x（h）后，与 B 港的距离分别为 、 （km）， 、 与 x 的函数关系如图所示．（1）填空：A、C 两港口间的距离为 km，a= ；（2）求图中点 P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过 10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时 x 的取值范围．【解答】23．解：（1）120， ；……2 分（2）由点（3，90）求得， ．当 ＞0.5 时，由点（0.5，0），（2，90）求得， ．……3 分当 时， ，解得， ．此时 ．所以点 P 的坐标为（1，30）．……5 分该点坐标的意义为：两船出发 1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离 B 港的距离为 30 km．…6 分求点 P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为 （km/h），乙的速度为 （km/h）．则甲追上乙所用的时间为 （h）．此时乙船行驶的路程为 （km）．所以点 P 的坐标为（1，30）．（3）①当 ≤0.5 时，由点（0，30），（0.5，0）求得， ．依题意， ≤10． 解得， ≥ ．不合题意．……7 分②当 0.5＜ ≤1 时，依题意， ≤10．解得， ≥ ．所以 ≤ ≤1．……8 分③当 ＞1 时，依题意， ≤10．解得， ≤ ．所以 1＜ ≤ ．……9 分第 21 页 共 28 页yxHGFEOx/h乙甲（第 23 题）P30.5a3090y/kmO
综上所述，当 ≤ ≤ 时，甲、乙两船可以相互望见．……10 分78、（2010 年湖北省咸宁市）24．（本题满分 12 分）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥DC， ， ， ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l∥AD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）．（1）当 时，求线段 的长；（2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求 t 的值；（3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．【解答】24．解：（1）过点 C 作 于 F，则四边形 AFCD 为矩形．∴ ， ．此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2 分∴ ．即 ，∴ ．……3 分（2）∵ 为锐角，故有两种情况：①当 时，点 P 与点 E 重合．此时 ，即 ，∴ ．……5 分②当 时，如备用图 1，此时 Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴ ．由（1）知， ，而 ，∴ ． ∴ ．第 22 页 共 28 页E（ 第24题）PMlDCBAQ（备用图 2）DCBA（备用图 1）DCBAMlEPQ（备用图 1）DCBAFE（ 第24题）PMlDCBAQ
综上所述， 或 ．……8 分（说明：未综述，不扣分）（3） 为定值．……9 分当 ＞2 时，如备用图 2，．由（1）得， ．∴ ． ∴ ．∴ ． ∴ ．∴四边形 AMQP 为矩形． ∴ ∥ ．……11 分∴△CRQ∽△CAB．∴ ．……12 分79、（2010 年湖北省宜昌市）23．如图①，P 是△ABC 边 AC 上的动点，以 P 为顶点作矩形 PDEF，顶点D,E 在边 BC 上，顶点 F 在边 AB 上；△ABC 的底边 BC 及 BC 上的高的长分别为 a , h,且是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，设过 D, E,F 三点的⊙O 的面积为 ,矩形 PDEF 的面积为。（1）求证：以 a+h 为边长的正方形面积与以 a、h 为边长的矩形面积之比不小于 4；（2）求 的最小值；（3）当 的值最小时，过点 A 作 BC 的平行线交直线 BP 与 Q，这时线段 AQ 的长与 m , n , k 的取值是否有关？请说明理由。（11 分）第 23 页 共 28 页PFRQM（备用图 2）DCBA图①ABCPDFEB CA
【解答】23．解：解法一：（1）据题意，∵a+h=−nm, a⋅h=km.∴所求正方形与矩形的面积之比： (a+h)2a⋅h=(−nm)2km=n2mk·················1 分∵ n2− 4 mk≥0 ,∴ n2≥ 4 mk ,由ah=km知m , k同号, ∴ mk>0······················2 分（说明:此处未得出 只扣 1 分, 不再影响下面评分）∴n2mk≥4 mkmk=4 ,·······················3 分即正方形与矩形的面积之比不小于 4.（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.∴⊙O的面积为： ．······4 分矩形PDEF的面积： ．∴面积之比： 设EFDE=f ,, ∴π4(√f −1√f)2+π2≥π2, ，即 时（EF=DE）, 的最小值为 ······7 分第 24 页 共 28 页⊙⊙⊙⊙……………………………………………………………6 分
（3）当 的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.由BC∥MQ,得：BM =AG =h.∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,∴△FBP∽△ABQ. ·······················8 分（说明：此处有多种相似关系可用，要同 等分步骤评分）∴ ,……9 分∴eAQ=eh.∴AQ=h……10 分∴ AQ=−n±√n2−4 mk2 m……11 分∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）解法二：（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于 0， ∴ah＞０…………1 分（说明:此处未得出 只扣 1 分,再不影响下面评分） ∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立. 故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０．··········2 分 ∴（a＋h）２≥４a h， ∴ ≥４．（﹡）····················3 分 这就证得(a+h)2a⋅h≥４．（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 . S⊙O= …………4 分, S矩形PDEF=xy= =π4[( x2+2 xy+ y2)−2 xyxy]=π4[(x + y )2xy− 2]· · · · ·6 分由（1）（*）， .∴π4[( x + y )2xy−2]≥π4(4−2)=π2.第 25 页 共 28 页 （第23题）GOQEDFBCAPNM⊙⊙
∴ 的最小值是 ···················7 分（3）当 的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.∵△AGB∽△FEB，∴ .……8 分∵△AQB∽△FPB, ，……9 分∴ = ．而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10 分∴AG=h＝ ,或者AG=h＝ ··················11 分∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可）80、（2010 年湖北省宜昌市）24.（12 分）如图，直线 y=hx+d 与 x 轴和 y 轴分别相交于点 A(-1,0),B(0,1),与 双 曲 线 y= 在 第 一 象 限 相 交 于 点 C ； 以 AC 为 斜 边 、为内角的直角三角形，与以 CO 为对角线、一边在 x 轴上 的 矩 形 面 积 相 等 ； 点 C,P 在 以 B 为 顶 点 的 抛 物 线 y=上 ； 直 线 y=hx+d 、 双 曲 线 y= 和 抛 物 线同时经过两个不同的点 C，D。（1） 确定 t 的值（2）确定 m , n , k 的值（3）若无论 a , b , c 取何值，抛物线 都不经过点 P，请确定 P 的坐标 （第 24 题）【解答】24．解：（1）直线过点A，B，则 0=－h+d和 1=d,即y=x+1.·········1 分双曲线 y= 经过点C（x1，y1），x1y1=t． 以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为 ×y1×(1+x1);第 26 页 共 28 页 （第23题）GOQEDFBCAP⊙⊙ABOyxC
以CO为对角线的矩形面积为x1y1，×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于 0，故得x1＝1，所以y1=2.故有，2=t1，即t=2. ····················2 分（2）∵B 是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－ ，得到n=0，k=1. ······················3 分∵C 是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有 2＝m(1)2+1,得 m=1．· · ·4 分（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，其中求得D点坐标为（－2，－1）．···············5 分.解法一：故 2＝a＋b＋c，－1＝4a－2b＋c． 解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. ·················6 分（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ） 于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a）···········7 分∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a．··········8 分[来源:学+科+网Z+X+X+K]（或者，令p2-p=(p2+p-2)a··············7 分∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，∴此方程无解，或有解但不合题意··········8 分） 故∵a≠０，∴①解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0. ···· ·· ···9 分∴符合题意的P点为（0，1）. …………10 分② ，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.得p＝－2.··························11 分符合题意的P点为（－2，5）．·················12 分∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.解法二：则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0·················7 分即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0有p－1=0 时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上. · ·8 分或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p当p=0 时a=0 与a≠0 矛盾···················9 分得点P（0，1）························10 分或者p=－2 时，无解······················11 分[来源:学科网]得点P（－2，5）·······················12 分故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）解法三：第 27 页 共 28 页．
如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．(只经过直线CD上的C，D点). ·················6 分由 ·························7 分解得交点为C（1，2），B（0，1）．故符合题意的点P为（0，1）. ·················8 分抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2 上除D外的其他点. ·······9 分由 ··························10 分解得交点P为（－2，5）．……11 分抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1 上除C外的其他点,而 解得交点为C（1，2）. ……12 分故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.（说明：1.仅由图形看出一个点的坐标给 1 分，二个看出来给 2 分. 2.解题过程叙述基本清楚即可）第 28 页 共 28 页AB(P)CDPxyO
（1）操作发现如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，且点 G 在举行 ABCD 内部．小明将 BG 延长交 DC 于点 F，认为 GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若 DC=2DF，求ADAB的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若 DC=nDF，求ADAB的值．【解答】58、（2010 年河南省）23．（11 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(−4,0 )，B(0 ,−4 )，C(2,0 )三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标 为m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线y=−x上的动 点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为 平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．第 3 页 共 28 页GABCDEGMCBAOxy
【解答】59、（2010 年黑龙江省哈尔滨市）27．（本题 10 分） 如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 AOCB 是梯形，AB OC∥ ，点 A 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动，过点 P 作 PH OB⊥ ，垂足为 H，设△HBP 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点 P 作 PM CB∥ 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MR OC⊥ ，垂足为 R，线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF，当 t 为何值时，EFEG=√52？第 4 页 共 28 页
【解答】60、（2010 年黑龙江省哈尔滨市）28．(本题 10 分） 已知：在△ABC 中 AB＝AC，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点 M 在线段 DF 上，∠ABE＝∠DBM． （1）如图 1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝√2MD； （2）如图 2，当∠ABC＝60°时，则线段 AE、MD 之间的数量关系为： 。第 5 页 共 28 页
（3）在（2）的条件下延长 BM 到 P，使 MP＝BM，连接 CP，若 AB＝7，AE＝2√7，求 tan ACP∠ 的值．【解答】61、（2010 年黑龙江省齐齐哈尔市）27．(本小题满分 10 分) ．为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B 两种世博会纪念品．若购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 5 件，需要 1000 元；若购进 A 种纪念品 5 件，B 种纪念品 3 件，需要 550 元． （1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定拿出 1 万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进 A 种纪念品的数量不少于 B 种纪念品数量的 6 倍，且不超过 B 种纪念品数量的 8 倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件 A 种纪念品可获利润 20 元，每件 B 种纪念品可获利润 30 元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？第 6 页 共 28 页
【解答】解：（1）设该商店购进一件 A 种纪念品需要 a 元，购进一件 B 种纪念品需要 b 元 则 ………………………………………1 分∴解方程组得 ………1 分∴购进一件 A 种纪念品需要 50 元，购进一件 B 种纪念品需要 100 元 …………1 分（2）设该商店购进 A 种纪念品 x 个，购进 B 种纪念品 y 个∴ ………………………………2 分解得 20≤y≤25 ………………………………………………1 分∵y 为正整数 ∴共有 6 种进货方案………………………1 分（3）设总利润为 W 元 W ＝20x＋30y＝20(200－2 y)＋30y ＝－10 y ＋4000 (20≤y≤25) ………………………2 分∵－10＜0∴W 随 y 的增大而减小∴当 y＝20 时，W 有最大值 …………………………………1 分W最大＝－10×20＋4000＝3800(元)∴当购进 A 种纪念品 160 件，B 种纪念品 20 件时，可获最大利润，最大利润是 3800 元 ……………………………1 分62、(2010 年黑龙江省齐齐哈尔市)28．(本小题满分 10 分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x＋12 的图象分别交x 轴、y 轴于 A、B 两点．过点 A 的直线交 y 轴正半轴于点M，且点 M 为线段 OB 的中点．△ABP△AOB（1）求直线 AM 的解析式；（2）试在直线 AM 上找一点 P，使得 S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点 P 的坐标；（3）若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A、B、M、H 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数的解析式为 y＝2x＋12 ∴A(－6,0)，B(0,12) ………………1 分∵点 M 为线段 OB 的中点 ∴M(0,6) ……………………………1 分设直线 AM 的解析式为：y＝kx＋b 第 7 页 共 28 页
∵ …………………………2 分∴k＝1 b＝6 ………………………………………………………1 分∴直线 AM 的解析式为：y＝x＋6 ………………………………………1 分（2）P1(－18，－12)，P2(6，12) ………………………………………………2 分（3）H1(－6，18)，H2(－12，0)，H3(－，)………………………………3 分63、（2010 年湖北省恩施州）23.(10 分)(1)计算:如图 10①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求 O1A的长（用含a的代数式表示）.（2） 探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图 10② 所示的方案一和如图 10③ 所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和 （用含n、a的代数式表示）.（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3.1 米，高为 3.1 米.用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0.1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（√3≈1.73）【解答】23. 解(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切， ∴O1O2=O2O3=O1O3=a 又∵O2A= O3A第 8 页 共 28 页 图 10① ③②
∴O1A⊥O2O3 ………………………………………………1 分 ∴O1A=√a2+14a2 =√32a ……………………………………………3 分（2） hn=na ………………………4 分 =√32(n−1)a+a， ………………………6 分(3) 方案二装运钢管最多。即：按图 10③ 的方式排放钢管，放置根数最多.根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30 根，……设钢管的放置层数为 n,可得√32(n−1)×0 .1+0. 1≤3 . 1………………………8 分解得n≤35 .68 ∵ n为正整数 ∴n=35钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）…………………………10 分64、（2010 年湖北省恩施市）24.(12 分) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP¿C， 那么是否存在点 P，使四边形 POP¿C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.【解答】24、 解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得{3 b+c=0 ¿¿¿¿ ……………………2 分解得：{b=−2 ¿¿¿¿ 所以二次函数的表达式为：y=x2−2 x−3 ……………………………3 分第 9 页 共 28 页 图 11
