2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组一试）一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午 9 点出发，1 分钟向前跳 40 米，每跳 3 分钟就原地玩耍 2 分钟；小龟上午 6 点 40 分出发，1 分钟爬行只有 10 米，但途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 15 秒，那么A地到森林游乐园有　 　米．2．（10 分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数．小林得到的结果是 9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是　 　．3．（10 分）a1，a2，a3，…，an是满足 0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然数，且 ＝ + + +…+ ，那么n的最小值是　 　．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）蓝精灵王国的A，B两地的距离等于 2010 米，国王每分钟派一名信使从A地向B地送信．第 1 号信使的速度是 1 米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快 1 米，直到派出第 2010号信使为止．问哪些信使能同时到达B地？5．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值．6．（10 分）13 个不同的自然数的和是 996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这 13 个数．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组一试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题，每题 10 分）1．（10 分）小兔和小龟从A地到森林游乐园，小兔上午 9 点出发，1 分钟向前跳 40 米，每跳 3 分钟就原地玩耍 2 分钟；小龟上午 6 点 40 分出发，1 分钟爬行只有 10 米，但途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 15 秒，那么A地到森林游乐园有　 2370 　 米．【分析】如线段图所示：已知第一阶段为 5 分钟，兔子走 40×3＝120 米，龟 5 分钟走 50 米，兔比龟快：120﹣50＝70（米），第一阶段（即中途玩耍阶段）龟走的路程要大于等于兔的路程，15 秒即 分钟，兔走 40×＝10 米；6：40 至 9：00 中间 140 分钟，140×10＝1400（米），1400﹣10＝1390（米），1390÷70≈19（组），即 19 个 5 分钟 19×5＝95（分钟），则兔子第一阶段的路程：19×120＝ 2280（米），龟第一阶段的路程：1390+95×10＝2340（米）第二阶段：2340﹣2280＝60（米），每五分钟兔子比乌龟快：40﹣10＝30（米），60÷30＝2（分钟）95+2＝97（分钟）总路程：1400+97×10＝2370（米）．【解答】解：如线段图所示：每五分钟，兔子比龟快：40×3﹣50＝70（米）15 秒即 分钟，兔走 40× ＝10 米6：40 至 9：00 中间 140 分钟140×10＝1400（米）1400﹣10＝1390（米）1390÷70≈19（组）即 19 个 5 分钟 19×5＝95（分钟）则兔子第一阶段的路程：19×120＝2280（米）龟第一阶段的路程：1390+95×10＝2340（米）第二阶段：2340﹣2280＝60（米）60÷（40﹣10）＝2（分钟）95+2＝97（分钟）总路程：1400+97×10＝2370（米）．2．（10 分）小林做下面的计算：M÷37，其中M是一个自然数，要求计算结果是经四舍五入后保留六位小数．小林得到的结果是 9.684469，这个结果的整数位是正确的，小数各位的数字也没有错，只是次序乱了，则正确的计算结果是　 9.648649 　 ．【分析】根据题意可设 ＝9+ （m≤36），而 ， ×m≤ ×36＝，所以 是循环节为 3 的纯循环小数，小林得到的结果是 9.684469，是四舍五入后保留的结果，所以是 2 个循环节，三位数相同，这个循环节应是由 6、4、8 组成的，因小数各位的数字也没有错，所以最后的一位 9，是由第七位五入得到的，所以循环节的第一位应是大于或等于 5 的数，第三位是8，所以这个循环节是 648，据此解答．【解答】解：根据题意可设 ＝9+ （m≤36），×m≤ ×36＝ ，所以 是循环节由 3 个数组成的纯循环小数0.684469 是 7 位小数四舍五入的结果，因此是 2 个循环节，它的最后一位是循环节的第 3 位加 1得到的，所以循环节的第一位是 6，循环节的正确排序是 0.所以正确的计算结果是 9.648649．故答案为：9.648649．3．（10 分）a1，a2，a3，…，an是满足 0＜a1＜a2＜a3…＜an的自然数，且 ＝ + + +…+ ，那 么n的最小值是　 4 　 ．【分析】要使n最小，就是使项数最小，则要使每一项都尽量小．0＜a1＜a2＜a3…＜an，告诉我们没有任何两项的分母相同，为了便于表述，不妨设 ＜1，令a1＝2，则 + +…+ ＝ ﹣＝ ＞ ，令a2＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a3＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a4＝231．所以，n最小值是 4．【解答】解：设 ＜1，令a1＝2，则 + +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a2＝3，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ＞ ，令a3＝11，则 +…+ ＝ ﹣ ＝ ，所以a4＝231．所以，n最小值是 4．二、解答题（共 3 题，每题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）蓝精灵王国的A，B两地的距离等于 2010 米，国王每分钟派一名信使从A地向B地送信．第 1 号信使的速度是 1 米/分，以后每一名信使的速度都比前一名每分钟快 1 米，直到派出第 2010号信使为止．问哪些信使能同时到达B地？【分析】从第一名信使到最后一名信使从A地向B地送信，能够同时到达B地的，说明都是 2010的约数，由此求出结论即可．【解答】解：设第m名与第n名信使同时抵达B地．则由tm＝n得出 ＝n，再得出 ＝n，则mn＝2010＝2×3×5×67，由此看出同时抵达B地的信使成对出现，共 8 对：（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）；答：有（1，2010），（2，1005），（3，670），（5，402），（6，335），（10，201），（15，134），（30，67）这 8 对信使各自两人同时到达．5．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，ABPA′B′，BCPB′C′，ACPA′C′，且三对平行线的距离都是 1，若AC＝10，AB＝8，BC＝6，求三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值． 【分析】设该点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1，连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为 24，于是有 5+3b+4a＝24 可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨论．【解答】解：设设点为P，若点P在A′C′上，设该点到AB边和BC边的距离分别为a，b，则该点到三角形ABC的三边距离之和为a+b+1（1），连接AP、BP、CP，由于三角PAB，PBC，PAC面积和为 24，于是有 5+3b+4a＝24 可得b＝ ，a+b+1＝ 然后再分情况进行讨论．当a＝1 时，a+b+1＝7，取得最大值 7；若点P在B′C′边上，则同样方法可得a+c+＝ ＜7．若点P在A′B′边上，则同样方法可得b+c+1＝b+5，而易得b最大是 5，所以此时距离和的最大值也是 7．综上，三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是 7；答：三角形A′B′C′上的点到三角形ABC三边距离的最大值是 7．6．（10 分）13 个不同的自然数的和是 996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这 13 个数．【分析】几个加数的数字和除以 9 余几，这几个加数的和的数字和除以 9 也余几；996 除以 9 余6，所以这 13 个数的数码和除以 9 也 6．又因为这 13 个数的数码和都相等，所以这 13 个数的数码和可能是 6、15、24；进而推算即可．【解答】解：996÷9＝110…6，所以这 13 个数的数码和除以 9 也 6，又因为这 13 个数的数码和都相等，所以这 13 个数的数码和可能是 6、15、24；数字和为 6 的最小 13 个数分别是6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150 这 13 个数的和正好是 996．所以这 13 个数是：6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:20；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800