1995 年北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试卷一、填空题（共 13 小题，满分 99 分）1．（7 分）计算： ＝　 　．2．（7 分）用长短相同的火柴棍摆成 3×1996 的方格（每一小方格的边长为一根火柴棍，如图）．一共需用　 　根火柴棍．3．（7 分）如果图 1 使常见的一副七巧板的图；图 2 是用这副七巧板的七块板拼成的小房子图．那么，第 2 快板的面积等于整幅图的面积的　 　；第 4 块板的面积与第 7 块板的面积的和等于整幅图的面积的　 　．4．（7 分）李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆零件中拿 15 个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍，那么，甲堆原来有零件　 　个，李师傅这一天共生产了零件　 　个．5．（7 分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有　 　种不同的着色方法．6．（7 分）为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时施工．第一天甲、乙各掘进了 10 米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2 倍，乙队每天的工作效率总是前一天的 1.5 倍．那么挖通这条隧道需要　 　天．7．（7 分）已知一串有规律的数：1， ， ， ， …．那么，在这串数中，从左往右数，第 10 个数是　 　．8．（7 分）比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的 5 条边分别与5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有 12 块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有正六边形皮子　 　块．9．（7 分）光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出 14 个节目．如果每个班至少演出 3 个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有　 　种．10．（9 分）已知四边形ABCD是直角梯形，上底AD＝8 厘米，下底BC＝10 厘米，直角腰CD＝6 厘米，E是AD的中点，F是BC上的点，BF＝ BC，G为DC上的点，三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等．那么，三角形ABG的面积是　 　平方厘米． 11．（9 分）用 70 元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共 10 册．已知甲，乙，丙，丁四种书每本价格分别为 3 元，5 元，7 元，11 元，而且每种书至少买了一本．那么共有　 　种不同的购买方法．12．（9 分）数 1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列（如图），依次在 2，3，5，7，10，…等数的位置处拐弯．（1）如果 2 算作第一次拐弯，那么，第 45 次拐弯处的数是　 　．（2）从 1978 到 2010 的自然数中，恰在拐弯处的数是　 　．13．（9 分）小于 8 且分母为 24 的最简分数共有　 　个；这些最简分数的和是　 　．二、解答题（请写出简要的解题过程。第一题满分 21 分，第二题满分 21 分。共 21 分）14．（10 分）用一批纸装订一种练习本．如果已装订 120 本，剩下的纸是这些纸的 40%；如果装订了185 本，则还剩下 1350 张纸．这批纸一共有多少张？15．（11 分）如图，圆周上顺次排列着 1、2、3、…、12 这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4 变为 4、3、2、1，又如：11、12、1、2 变为 2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．1995 年北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 13 小题，满分 99 分）1．（7 分）计算： ＝　 90 　 ．【解答】解：＝ ，＝ ，＝7.2× ，＝72× ，＝90； 故答案为：90．2．（7 分）用长短相同的火柴棍摆成 3×1996 的方格（每一小方格的边长为一根火柴棍，如图）．一共需用　 13975 　 根火柴棍．【解答】解：4 行一共的根数：1996×4＝7984（根）；1997 列一共的根数：3×1997＝5991（根）；一共需用的根数：7984+5991＝13975（根）．故答案为：13975．3．（7 分）如果图 1 使常见的一副七巧板的图；图 2 是用这副七巧板的七块板拼成的小房子图．那么，第 2 快板的面积等于整幅图的面积的　 　；第 4 块板的面积与第 7 块板的面积的和等于整幅图的面积的　 　．【解答】解：（1） × ＝ ；（2） × + × ＝ ；答：第 2 快板的面积等于整副图的面积的 ；第 4 块板的面积与第 7 块板的面积的和等于整副图的面积的 ；故答案为： ，4．（7 分）李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆零件中拿 15 个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍，那么，甲堆原来有零件　 75 　 个，李师傅这一天共生产了零件　 120 　 个．【解答】解：后来乙堆零件的个数：（15×2+30）÷（3﹣1）＝60÷2＝30（个）后来甲堆零件的个数：30×3＝90（个）原来甲堆零件的个数：90﹣15＝75（个）李师傅这一天共生产的零件的个数：30+90＝120（个）答：甲堆原来有零件 75 个，李师傅这一天共生产了零件 120 个．故答案为：75、120．5．（7 分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有　 96 　 种不同的着色方法． 【解答】解：（1）用三种颜色，有 4×6×1＝24 种；（2）如果用 4 种颜色，有两种涂法：①D仍与A同色，有 4×6×2＝48 种；②D与A不同色，有 4×6×1＝24 种．综上所述，共有涂法 24+48+24＝96 种．故答案为：96．6．（7 分）为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时施工．第一天甲、乙各掘进了 10 米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2 倍，乙队每天的工作效率总是前一天的 1.5 倍．那么挖通这条隧道需要　 　天．【解答】解：甲队：10 米，10×2＝20（米），20×2＝40（米），40×2＝80（米），80×2＝160（米）乙队：10 米，10×1.5＝15（米），15×1.5＝22.5（米），22.5×1.5＝33.75（米），33.75×1.5＝50.625（米）应该用了 4 天多．4 天共完成（10+20+30+40）+（10+15+22.5+33.75）＝231.25（米）还剩下 300﹣231.25＝68.75（米）需要的时间是 68.75÷（160+50.625）＝ （天）或≈0.326（天）4+ ＝ （天）或≈4.326（天）答：两队挖通这条隧道需要 天．7．（7 分）已知一串有规律的数：1， ， ， ， …．那么，在这串数中，从左往右数，第 10 个数是　 　．【解答】解：有原题得出规律从第三个数开始，分子是前一个分数的分子与分母的和，分母是本身的分子与前一个分数的分母的和．所以后面的分数依次为： 第 10 个数为 ．第 10 个数为 ．故答案为 ．8．（7 分）比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子的 5 条边分别与5 块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的 6 条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起，另 3 条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有 12 块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有正六边形皮子　 20 　 块．【解答】解：设这个足球有x块正六边形，一共有 6x条边，其中白皮三条边和黑皮相连，根据题意可得方程 3x＝12×5 x＝20答：这个足球应有正六边形皮子 20 块．故答案为：20． 9．（7 分）光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出 14 个节目．如果每个班至少演出 3 个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有　 21 　 种．【解答】解：共有不同的排列方法3×3+6×2＝21（种）．每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，故一共有 21 种不同情况．故答案为：21．10．（9 分）已知四边形ABCD是直角梯形，上底AD＝8 厘米，下底BC＝10 厘米，直角腰CD＝6 厘米，E是AD的中点，F是BC上的点，BF＝ BC，G为DC上的点，三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等．那么，三角形ABG的面积是　 26.7 　 平方厘米．【解答】解：设DG为h，则CG＝6﹣h，因：三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等；即：4×h÷2＝ ×10×（6﹣h）÷2；求得：h＝ 厘米，6﹣h＝ 厘米；三角形AGD的面积＝8× ÷2≈10.9 平方厘米；三角形BCG的面积＝10× ÷2≈16.4 平方厘米；三角形ABG的面积＝（10+8）×6÷2﹣10.9﹣16.4，＝26.7 平方厘米；故此题应填 26.7．11．（9 分）用 70 元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共 10 册．已知甲，乙，丙，丁四种书每本价格分别为 3 元，5 元，7 元，11 元，而且每种书至少买了一本．那么共有　 4 　 种不同的购买方法．【解答】解：3+5+7+11＝26（元），70﹣26＝44（元），10﹣4＝6（本），所以，44 元要去买 6 本书，（1）买 1 本价格 11 元、4 本价格 7 元的、1 本 5 元的，11×1+7×4+5×1＝44（元），（2）买 2 本价格 11 元、1 本价格 7 元的、3 本 5 元的， 11×2+7×1+5×3＝44（元），（3）买 2 本价格 11 元、2 本价格 7 元的、1 本 5 元的、1 本 3 元的，11×2+7×2+5×1+3×1＝44（元），（4）买 3 本价格 11 元、2 本价格 3 元的、1 本 5 元的， 11×3+3×2+5×1＝44（元），共有 4 种，故答案为：4．12．（9 分）数 1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列（如图），依次在 2，3，5，7，10，…等数的位置处拐弯．（1）如果 2 算作第一次拐弯，那么，第 45 次拐弯处的数是　 530 　 ．（2）从 1978 到 2010 的自然数中，恰在拐弯处的数是　 1981 　 ． 【解答】观察拐弯处的数的规律，可以得到 n个拐弯处的数，当n 为奇数时为：1+（1+3+5+…+n）＝（　 　）2+1；当n 为偶数时为：1+2×（1+2+3+…+ ）＝（1+ ）× +1．（1）第 45 次拐弯处的数是（ ）2+1＝530．（2）试算n＝89 时，拐弯处的数是（ ）2+1＝2026；n＝88 时，拐弯处的数是（1+ ）× +1＝1981；n＝87 时，拐弯处的数是（ ）2+1＝1937；所以 1978～2010 中，恰在拐弯处的数是 1981．故答案为：（1）530，（2）1981．13．（9 分）小于 8 且分母为 24 的最简分数共有　 64 　 个；这些最简分数的和是　 256 　 ．【解答】解：24＝23×38×24＝192 所有小于 192 且不能被 2、3 整除的数为分子则满足题意也即所有 6N+1＜192 和 6N+5＜192（N为自然数）N的个数总和．6N+1＜192 解得N＜32，也就是小于 32 的自然数都符合，即 32 个．同理可得 6N+5＜192 解得N＜32，N的个数也是 32 个．故：32+32＝64（个）由上面的两个不等式可知，小于 8 且分母为 24 的最简分数的分子是两个等差数列组成的，即一个是 1，7，13…，另一个是 5，11，17…，它们的公差都是 6，而且个数都是 32 个．由等差公式求和公式可得：32×1+[32×（32﹣1）×6]÷2＝300832×5+[32×（32﹣1）×6]÷2＝3136分子和就是：3008+3136＝6144这些最简分数的和是：6144÷24＝256故填：64，256．二、解答题（请写出简要的解题过程。第一题满分 21 分，第二题满分 21 分。共 21 分）14．（10 分）用一批纸装订一种练习本．如果已装订 120 本，剩下的纸是这些纸的 40%；如果装订了185 本，则还剩下 1350 张纸．这批纸一共有多少张？【解答】解：120÷﹙1﹣40%﹚＝200（本）， 1350÷﹙200﹣185﹚＝90（张）， 90×200＝18000 张；答：这批纸共有 18000 张．15．（11 分）如图，圆周上顺次排列着 1、2、3、…、12 这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4 变为 4、3、2、1，又如：11、12、1、2 变为 2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由． 【解答】解：能，如上图所示，经过两次变换，10、11、12 三个数被顺时针移动了两个位置．仿此，再经过 3 次这样的两次变换，10、11、12 三个数又被顺时针移动了六个位置，变为下图，图中十二个数的顺序符合题意．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:10:36；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800