第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如右图, 边长为 12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C,D处各有一根木桩, 且AB=BC=CD=3 米. 现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某 根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木 桩上. 【考点】圆与扇形【答案】B【解析】拴在 B 处活动区域最大，为 圆。2. 在所有是 20 的倍数的正整数中, 不超过 2014 并且是 14 的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列【答案】14700【解析】 ， ， .3. 从 1～8 这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数【答案】20【解析】解法一：枚举法 （1）三奇数：135、137、157、357，4 个； （2）三偶数：246、248、268、468，4 个； （3）两奇一偶：136 、 138 、 158 、 147 、 358 、 257 ，6 个； （4）两偶一奇：247 、 258 、 146 、 148 、 168 、 368 ，6 个； 共 4+4+6+6=20 种. 解法二：排除法 1~8 中任取三个数，有 种不同的取法 其中三个连续数有 6 种（123~678） 两个连续数有 5+4+4+4+4+4+5=30 种（如 124、125、126、127、128 等） 则满足题意的取法有 56—6—30=20 种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的 端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米. 【考点】格点与面积【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马 总面积为 56.5个正方形，即面积为 56.5 平方厘米。 2.50.53121.51164320.530.5211.5 边上点数÷2＋内部点数—1=4÷2+1—1=2 黑线圈中部分的面积也可用长方形（蓝框）减去两个三角形5. 如果 成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 . 【考点】最值，分数比较大小【答案】77【解析】 ，通分，将分母统一为□×5， ，□≥9 ，通分能得到 ，○×□＜77 乘积最大为 76，要使和最大，应两数相差最多 76=1×76，当○=1，□=76 时，两数之和最大，为 1＋76=77.6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 0～6 分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是 . 【考点】数阵图，最值【答案】15【解析】要使圆内四个数字的和最大，则中间同时属于三个圆的区域填 6， 同时属于两个圆的区域依次填入 5、4、3 最后填入 0、1、2 即可，如下图。7. 学校组织 1511 人去郊游, 租用 42 座大巴和 25 座中巴两种汽车. 如果要求恰好每人一座且每座一人, 则有 种租车方案. 【考点】不定方程【答案】2【解析】设大巴a辆，中巴b辆 根据题意列不定方程 42a＋25b=1511 1511÷25…11，则 42a÷25…11，42a个位为 6，经试验当a=8 时，b=47 当a=8＋25=33 时，b=5，共 2 组整数解。8. 平面上的五个点A, B, C, D , E 满足: AB = 8 厘米, BC = 4 厘米, AD = 5 厘米, DE = 1 厘米, AC = 12 厘米, AE = 6 厘米. 如果三角形EAB的面积为 24 平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于 厘米【考点】勾股定理6541032 【答案】【解析】（1）由题意AB = 8 厘米 , BC = 4 厘米 , AC = 12 厘米 , 可知点A、B、C在同一条直线上； （2）AD = 5 厘米 , DE = 1 厘米 , AE = 6 厘米 ，可知点A、D、E在同一条直线上； （3）三角形EAB的面积为 24 平方厘米， ，可知AB与AE垂直。画出下图 （4）问题转化为求直角三角形ACD斜边CD上的高，即AF的长度 ，得出CD=13 ，解得AF= .二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n =6 时所有的不同放置方法, 那么n =9 时有多少种不同放置方法? 【考点】操作，计数【答案】25【解析】当层数为 2 时： （1）8+1：7 种；（2）7+2：5 种；（3）6+3：3 种；（4） 5+4：1 种； 当层数为 3 时： （1）6+2+1：4 种；（2）5+3+1：4 种；（3）4+3+2：1 种； 层数为 4 时无法满足， 因此共有 7+5+3+1+4+4+1=25 种不同的放置方法。10. 有一杯子装满了浓度为 16%的盐水. 有大、中、小铁球各一个, 它们的体积比为 10:4:3. 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）【考点】浓度，比例【答案】10.7%【解析】大、中、小球体积比为 10:4:3，盐水的 10%对应小球“3 份”体积， 则大球“10 份”体积对应盐水的 ， 因此最终溢出的盐水量为杯子容积的 ， 此时杯中盐水的浓度为 .11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1 个小时后, 将车速提高五分之一, 就可ABDC 以比预定时间提前 20 分钟赶到; 如果该车先按原速行驶 72 千米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前 30 分钟赶到. 那么从学校到烈士陵园有多少千米？ 【考点】行程【答案】216 千米【解析】比例法 （1）原速：后速=5:6 原时：后时=6:5 原时=6×20=120 分=2 小时，总时间为 2+1=3 小时； （2）原速：后速=3:4 原时：后时=4:3 原时=4×30=120 分=2 小时，按原速行驶 72 千米所用时间为 3—1=1 小时； 从学校到烈士陵园有 72÷1×3=216 千米.12. 如右图, 在三角形 ABC 中, D 为 BC 的中点, AF =2BF, CE=3AE. 连接CF交DE于P点, 求 的值. 【考点】几何【答案】3【解析】连接EF，DF 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 从连续自然数 1, 2, 3, …, 2014 中取出n个数, 使这n个数满足: 任意取其中两个数, 不会有一个数是另一个数的 5 倍. 试求n的最大值, 并说明理由. 【考点】构造，最值【答案】1679【解析】尽可能多取数 （1）2014÷5=402……4，从 2014 取到 403，有 2014—402=1612 个数； （2）402÷5=80……2，402 到 81 不取； （3）80÷5=16，从 80 取到 17，有 80—16=64 个数； （4）16÷5=3……1，16 到 4 不取； （5）最后取 3、2、1； n=1612+64+3=1679.14. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d 和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个. 其中a, b, c, d四个字母代表不同的数字, 求a, b, c, d 代表的数字之和. 【考点】数字谜【答案】10,18,19【解析】如下图 a=5 （1）当c=3 时，b+d进位，取b+d=10 或b+d=11 则a+b+c+d=5+3+10=18 或a+b+c+d=5+3+11=19 （2）当c=4 时，b+d不进位，只能取b+d=1，0+1=1 符合要求 此时a+b+c+d=5+4+1+0=10.