初二数学经典难题　一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二）　2．（10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F．求证：∠DEN=∠F．　3．（10 分）如图，分别以△ABC 的边 AC、BC 为一边，在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．　4．（10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．　5．（10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC，而点 P（﹣1，﹣2）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值．解答：解：（1）设正比例函数解析式为 y=kx，将点 M（﹣2，﹣1）坐标代入得 k= ，所以正比例函数解析式为 y= x，同样可得，反比例函数解析式为 ；（2）当点 Q 在直线 OM 上运动时，设点 Q 的坐标为 Q（m， m），于是 S△OBQ= |OB×BQ|= × m×m= m2，而 S△OAP= |（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有， m2=1，解得 m=±2，所以点 Q 的坐标为 Q1（2，1）和 Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP=CQ，OQ=PC，而点 P（﹣1，﹣2）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值，（8 分）因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 Q（n， ），由勾股定理可得 OQ2=n2+ =（n﹣ ）2+4，所以当（n﹣ ）2=0 即 n﹣ =0 时，OQ2有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ2同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2，由勾股定理得 OP= ，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是 2（OP+OQ）=2（ +2）=2 +4．（10 分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．　8．（10 分）（2008•海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB．（1）求证：① PE=PD；② PE⊥PD；（2）设 AP=x，△PBE 的面积为 y．① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．考点：二次函数综合题。1097743专 动点型。 题：分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点 P 作 GF∥AB，分别交 AD、BC 于 G、F，那么可通过证三角形 GPD 和 EFP 全等来求 PD=PE 以及 PE⊥PD．在直角三角形 AGP 中，由于∠CAD=45°，因此三角形 AGP 是等腰直角三角形，那么 AG=PG，而 PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出 BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出 PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出 PD⊥PE．（2）求三角形 PBE 的面积，就要知道底边 BE 和高 PF 的长，（1）中已得出 BF=FE=AG，那么可用 AP 在等腰直角三角形 AGP 中求出 AG，GP 即 BF，FE 的长，那么就知道了底边 BE 的长，而高 PF=CD﹣GP，也就可求出 PF 的长，可根据三角形的面积公式得出 x，y 的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出 y 的最大值以及对应的 x 的取值．解答：（1）证明：①过点 P 作 GF∥AB，分别交 AD、BC 于 G、F．如图所示．∵四边形 ABCD 是正方形，∴四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形，△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形．∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90 度．又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90 度．∴∠DPE=90 度．∴PE⊥PD．（2）解：①过 P 作 PM⊥AB，可得△AMP 为等腰直角三角形，四边形 PMBF 为矩形，可得 PM=BF，∵AP=x，∴PM= x，∴BF=PM= ，PF=1﹣ ．∴S△PBE= BE×PF=BF•PF= x×（1﹣ x）=﹣ x2+ x．即 y=﹣ x2+ x．（0＜x＜ ）．②y=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+∵a=﹣ ＜0，∴当 x= 时，y最大值= ． 点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．　9．（10 分）（2010•河南）如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 （x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求 k1、k2的值．（2）直接写出 时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC∥OD，OB=CD，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数 k 的几何意义。1097743专题：综合题。分析：（1）先把点 A 代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点 B 代入反比例函数解析式求得 a 的值，再把点 A，B 代入一次函数解析式利用待定系数法求得 k1的值．（2）当 y1＞y2时，直线在双曲线上方，即 x 的范围是在 A，B 之间，故可直接写出范围．（3）设点 P 的坐标为（m，n），易得 C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是 12 列方程，可求得 m 的值，从而求得点 P 的坐标，根据线段的长度关系可知 PC=PE．解答：解：（1）由题意知 k2=1×6=6∴反比例函数的解析式为 y= （x＞0）∵x＞0，∴反比例函数的图象只在第一象限，又∵B（a，3）在 y= 的图象上，∴a=2，∴B（2，3）∵直线 y=k1x+b 过 A（1，6），B（2，3）两点 ∴∴故 k1的值为﹣3，k2的值为 6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣ ＞0，即直线的函数值大于反比例函数值，由图象可知，此时 1＜x＜2，则 x 的取值范围为 1＜x＜2；（3）当 S梯形 OBCD=12 时，PC=PE．设点 P 的坐标为（m，n），过 B 作 BF⊥x 轴，∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴S梯形 OBCD= ，即 12=∴m=4，又 mn=6∴n= ，即 PE= CE∴PC=PE．点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．　10．（10 分）（2007•福州）如图，已知直线 y= x 与双曲线 交于 A，B 两点，且点 A的横坐标为 4．（1）求 k 的值；（2）若双曲线 上一点 C 的纵坐标为 8，求△AOC 的面积；（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 考点：反比例函数综合题。1097743专题：综合题；压轴题。分析：（1）先根据直线的解析式求出 A 点的坐标，然后将 A 点坐标代入双曲线的解析式中即可求出 k 的值；（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出 C 点的坐标，由于△AOC 的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以 A、B、P、Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即 6．可根据双曲线的解析式设出 P 点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA 的面积，由于△POA 的面积为 6，由此可得出关于 P 点横坐标的方程，即可求出 P 点的坐标．解答：解：（1）∵点 A 横坐标为 4，把 x=4 代入 y= x 中得 y=2，∴A（4，2），∵点 A 是直线 y= x 与双曲线 （k＞0）的交点，∴k=4×2=8；（2）解法一：如图，∵点 C 在双曲线上，当 y=8 时，x=1，∴点 C 的坐标为（1，8）．过点 A、C 分别做 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 M、N，得矩形 DMON．∵S矩形 ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．∴S△AOC=S矩形 ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；解法二：如图，过点 C、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F，∵点 C 在双曲线 上，当 y=8 时，x=1，∴点 C 的坐标为（1，8）．∵点 C、A 都在双曲线 上，∴S△COE=S△AOF=4，∴S△COE+S梯形 CEFA=S△COA+S△AOF．∴S△COA=S梯形 CEFA．∵S梯形 CEFA= ×（2+8）×3=15， ∴S△COA=15；（3）∵反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB，∴四边形 APBQ 是平行四边形，∴S△POA=S平行四边形 APBQ×= ×24=6，设点 P 的横坐标为 m（m＞0 且 m≠4），得 P（m， ），过点 P、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E、F，∵点 P、A 在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4，若 0＜m＜4，如图，∵S△POE+S梯形 PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形 PEFA=S△POA=6．∴ （2+ ）•（4﹣m）=6．∴m1=2，m2=﹣8（舍去），∴P（2，4）；若 m＞4，如图，∵S△AOF+S梯形 AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形 PEFA=S△POA=6．∴ （2+ ）•（m﹣4）=6，解得 m1=8，m2=﹣2（舍去），∴P（8，1）．∴点 P 的坐标是 P（2，4）或 P（8，1）． 点评：本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．　 　6．（10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间 t 分．求两根水管各自注水的速度．　7．（10 分）（2009•郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（﹣2，﹣1），且 P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．　8．（10 分）（2008•海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB．（1）求证：① PE=PD；② PE⊥PD； （2）设 AP=x，△PBE 的面积为 y．① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．　9．（10 分）（2010•河南）如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 （x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求 k1、k2的值．（2）直接写出 时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC∥OD，OB=CD，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE⊥OD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．　10．（10 分）（2007•福州）如图，已知直线 y= x 与双曲线 交于 A，B 两点，且点 A的横坐标为 4．（1）求 k 的值；（2）若双曲线 上一点 C 的纵坐标为 8，求△AOC 的面积；（3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标． 　初二数学经典难题参考答案与试题解析　一、解答题（共 10 小题，满分 100 分）1．（10 分）已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。1097743专题：证明题。分析：在正方形内做△DGC 与△ADP 全等，根据全等三角形的性质求出△PDG 为等边，三角形，根据 SAS 证出△DGC≌△PGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．解答：证明：∵正方形 ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形内做△DGC 与△ADP 全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG 为等边三角形（有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形），∴DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC 和△PGC 中，∴△DGC≌△PGC， ∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理 PB=AB=DC=PC，∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC 是正三角形．点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．　2．（10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F．求证：∠DEN=∠F．考点：三角形中位线定理。1097743专题：证明题。分析：连接 AC，作 GN∥AD 交 AC 于 G，连接 MG，根据中位线定理证明 MG∥BC，且 GM= BC，根据AD=BC 证明 GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN 从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接 AC，作 GN∥AD 交 AC 于 G，连接 MG．∵N 是 CD 的中点，且 NG∥AD，∴NG= AD，G 是 AC 的中点，又∴M 是 AB 的中点，∴MG∥BC，且 MG= BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM 为等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F， ∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM 为等腰三角形．　3．（10 分）如图，分别以△ABC 的边 AC、BC 为一边，在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG，点 P 是EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。1097743专题：证明题。分析：分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，则 ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为 R，S，T，Q，则 ER∥PQ∥FS，∵P 是 EF 的中点，∴Q 为 RS 的中点，∴PQ 为梯形 EFSR 的中位线，∴PQ= （ER+FS），∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理 Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，FS=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ= AB． 点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．　4．（10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．考点：四点共圆；平行四边形的性质。1097743专题：证明题。分析：根据已知作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，利用 AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出 AEBP 共圆，即可得出答案．解答：证明：作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥BC．∴四边形 AEPD 是平行四边形，四边形 PEBC 是平行四边形，∴AE∥DP，BE∥PC，∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴AEBP 共圆（一边所对两角相等）．∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，∴∠PAB=∠PCB．点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．　5．（10 分）P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。1097743 专题：综合题。分析：把△ABP 顺时针旋转 90°得到△BEC，根据勾股定理得到 PE=2 a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC 是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点 C 作 CF⊥BE 于点 F，△CEF 是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出 BC 的长度，即可得到正方形的边长．解答：解：如图所示，把△ABP 顺时针旋转 90°得到△BEC，∴△APB≌△CEB，∴BE=PB=2a，∴PE= =2 a，在△PEC 中，PC2=PE2+CE2=9a2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，过点 C 作 CF⊥BE 于点 F，则△CEF 是等腰直角三角形，∴CF=EF= CE= a，在 Rt△BFC 中，BC= = = a，即正方形的边长为 a．点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．　6．（10 分）一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间 t 分．求两根水管各自注水的速度．考点：分式方程的应用。1097743分析：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x，一个圆柱形容器的容积为 V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间 t 分可列方程求解．解答：解：设小水管进水速度为 x 立方米/分，则大水管进水速度为 4x 立方米/分．由题意得：解之得：经检验得： 是原方程解． ∴小口径水管速度为 立方米/分，大口径水管速度为 立方米/分．点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．　7．（10 分）（2009•郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（﹣2，﹣1），且 P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．考点：反比例函数综合题。1097743专题：压轴题。分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为 P（﹣1，﹣2）为双曲线 Y= 上的一点，所以△OBQ、△OAP 面积为 1，依据反比例函数的图象和性质，点 Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；