2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4＝　 　．2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完．那么草场上每天长出来的草够　 　头牛吃一天．4．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于　 　．5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是　 　分钟．6．（10 分）如图，正方形ABCD的边长为 5，E，F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝　 　．7．（10 分）如果 2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为　 　．8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B＝　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分）9．（10 分）计算：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ + ）+．10．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值 50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由．11．（10 分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为 20，BD＝2，EC＝4，求三角形ABC的面积． 12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数．三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，正方形ABCD的面积为 1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．14．（15 分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5 方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4＝　 4.1 　 ．【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果．【解答】解：根据分析，原式＝（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4＝（ ）× ﹣2.4＝（ ）×11×＝（ ）× ﹣2.4＝ ﹣2.4＝ ﹣2.4＝＝ ﹣2.4＝ ﹣2.4 ＝ ﹣2.4＝6.5﹣2.4＝4.1故答案是：4.1．2．（10 分）如图，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有 16 个面；从下面看有 16 个面；从前面看有 10 个面；从后面看有 10 个面；从左面看有 10 个面；从右面看有 10 个面．由此即可解决问题．【解答】解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2＝72（个）所以这个几何体的表面积是：1×1×72＝72（平方米）答：这个立体图形的表面积等于 72 平方米．3．（10 分）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草； 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完．那么草场上每天长出来的草够　 5 　 头牛吃一天．【分析】转换思想，将 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完转换成 13 头牛吃 5 天即可解决问题．【解答】解：依题意可知：10×8﹣（15+14+13+12+11）＝15（份）． 15 头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完可以转换成 13 头牛吃 5 天．15÷（8﹣5）＝5（份）故答案为：54．（10 分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于　 92° 　 ．【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得∠C的度数，折叠后，利用三角形外角和以及四边形的内角和求得∠CDA．【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，∠C＝180°﹣74°﹣70°＝36°，折叠后，∠EOD＝∠C+∠CEO＝36°+20°＝56°；∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣56°＝124°，∠CDA＝360°﹣∠ABE﹣∠BAE﹣∠BOD＝360°﹣70°﹣74°﹣124°＝92°．故答案是：92°． 5．（10 分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟．如果在出发后第 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是　 126 　 分钟．【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间．【解答】解：70﹣45＝25（分钟），甲走 25 分钟路程与乙走 45 分钟的路程相同，那么甲的速度：乙的速度＝45：25，行完全程两者所用的时间比就是：25：45；乙走一圈用的时间是：70÷25×45＝126（分）．答：乙走一圈的时间是 126 分钟．故答案为：126．6．（10 分）如图，正方形ABCD的边长为 5，E，F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝　 98 　 ．【分析】可以将EA、FD、FC、EB分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾股定理，不难求得EF2．【解答】解：根据分析，如图：将EA、FD、FC、EB分别延长，这样就把图形扩展成一个大的正方形，∵AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，∴CM＝OA＝DF＝EB＝3，BM＝OD＝CF＝AE＝4又∵DF2+CF2＝CD2，AE2+EB2＝AB2，OA2+OD2＝AD2，CM2+BM2＝BC2∴∠AEB＝∠DFC＝∠AOD＝∠BMC＝90°，∴EO＝FO＝3+4＝7∴EF2＝OE2+OF2＝72+72＝98故答案是：987．（10 分）如果 2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为　 108 　 ．【分析】首先可将k个连续的正整数设出来，求其和，抓住k取最大进行求解．【解答】解：设k的连续整数分别是n+1，n+2，n+3，…，n+k，则和＝ ＝ ，由于k最大，则n最小，且k＜2n+k+1，＝2×38，即k×（2n+k+1）＝22×38＝（22×34）×34＝35×（22×33），因此k的最大值为 34＝108．故答案为：108． 8．（10 分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B＝　 　．【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算A○B的结果．【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：□ ○1＝13；2□2○1＝5，⇒ □ ○1＝13；由 2□2○1＝5，可知 2+2+1＝5，2×2+1＝5，若 2+2+1＝5，则 + +1＝13 不成立，故排除，所以 2×2+1＝5；综上，□为“×”，○为“+”，由表可知，A＝2□ ○1＝2× +1＝ ；B＝ □2○1＝ ＝ ，A○B＝A+B＝ + ＝ ．故答案是： ．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分）9．（10 分）计算：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ + ）+．【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可．【解答】解：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ + ）+＝ +（ + ）+（ + + ）+…+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）＝ +1+ +…+ +＝ + + +…+ +＝＝101556010．（10 分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每 100 元可得一张价值 50 元的代金券．这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过 1550 元的现金，她能买到价值2300 元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明理由． 【分析】此题首先看一下 1550 最多能得多少代金券，即 1500÷2＝750，而 2300＝1550+750 刚好不多不少，也就是说，1550 现金必须和所有能得到的 750 代金券全部消费掉才能买到价值 2300 的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是 100 或 150 以上均无法买到价值 2300 的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由此推断，要想买到价值 2300 的商品，最后一次消费必须是 50 现金+50 代金券（为什么是 50 代金券，而不是 100 代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由 50 元代金券可知上次消费的现金是 100，而和同步用的代金券也必须是100，如是推理，请看如下所示：50+50（代金券）100+100（代金券）200+200（代金券）400+400（代金券）800 左边是现金 800+400+200+100+50＝1550 元，右边是代金券 400+200+100+50＝750 元，这样能买到的商品价值是 1550+750＝2300 元，故能买到．据此解答即可．【解答】解：根据题意可知：（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有 1500 元的钱需要换 750 元的购物券，到最后一次最多可以用 50 元现金；（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次购物获得；（3）第一次只能用现金．这样最后一次用 50 元现金和 50 元代金券；倒数第二次用 100 元现金和 100 元代金券；倒数第三次用 200 元现金和 200 元代金券；倒数第四次用 400 元现金和 400 元代金券；倒数第五次用 800 元现金．满足条件的答案为：第一次用 800 元现金；第二次用 400 元现金和 400 元代金券；第三次用 200 元现金和 200 元代金券；第四次用 100 元现金和 100 元代金券；第五次用 50 元现金和 50 元代金券．总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50＝2300（元）所以用不超过 1550 元的现金，她能买到价值 2300 元的商品．11．（10 分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为 20，BD＝2，EC＝4，求三角形ABC的面积．【分析】可以利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的 4 变成了 6，此时不难计算出三角形ABC的面积．【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，而此时EC的长从原来的 4 变成了 6，如图所示： 过E作EG⊥AC交AC于G，Rt△EGC中，不难得知，EG＝GC＝ ，又∵等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为 20，即梯形ACEF的面积为 20，∴（EF+AC）×EG× ＝（EF+AG+GC）×EG× ＝（2×EF+3 ）×3 × ＝20⇒EF＝ ，则BF＝ ，△BEF的面积＝BF×EF＝ ＝ ，三角形ABC的面积＝△BEF的面积+20＝ ＝ ．故答案是： ．12．（10 分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是 11 的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除的数．【分析】五位数的最大数，根据被 11 整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差是 11的倍数，因此五位数不能被 11 整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数字【解答】解：根据分析，设此五位数为 ，最大的五位数，则a＝9，若此五位数为 90000，显然不能被 11 整除，故符合题意的最大的五位数必大于 90000，若b＝9，则 划去 后为 99，能被 11 整除，故b≠9，若b＝8，则 划去 后为 98，不能被 11 整除，∴b＝8，若c＝9 或 8，则 划去 8 再划去 后，为 99，不和题意， 划去 再划去 9 后为 88，不合题意，∴c＝7， 划去若干数字后不能被 11 整除，若d＝9，8，或 7，均不合题意，d＝6 时 划去若干数后不能被 11 整除，∴d＝6若e＝9，8，7 或 6，均不合题意，故e＝5，综上所述，此五位数为：98765三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，正方形ABCD的面积为 1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．【分析】过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，利用线段之间的比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，∵M为CD中点，所以QM：PC＝1：2，∴QM：BF＝1：4，所以GM：GB＝1：4，∴BG：BM＝4：5；又因为BF：BC＝2：3， ；∵E为BC边上三等分点，所以EP：CM＝1：3，∴EP：AB＝1：6，∴BH：HP＝6：1，∴BH：HM＝6：15＝2：5，BH：BG＝2：7， 又∵GM：GB＝1：4，∴BH：BG＝5：14，∴ ，∴ ．故答案是： ．14．（15 分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所示的5×5 方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四连方”就不能再放了？【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个“四连方”之后，没有空间再放置任何一个“四连方”．【解答】解：本题需要尽可能“不合理”利用空间，使用尽可能少的“四连方”占据空间，使余下的空白方格不能容下任何一个“四连方”，如下图所示，放入 3 个之后，再没有空间放任何一个“四连方”，而如果只放 2 个的话，还余下 25﹣2×4＝17 块，必然会存在连续的空间可以放下“四连方”．所以：最少放 3 个“四连方”就不能再放了．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:02:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800