《高等数学(一)》模拟题一、单项选择题1.设 ,则f (x2)的定义域是().A.[0,4]B.[-2,2]C.[0,2]D.[1,3][答案]:B2.当 时, 是 的().A.低阶无穷小B.等阶无穷小C.同阶但不等阶无穷小D.高阶无穷小[答案]:C3.设 在 上连续,则a的值为().A.-1B.0C.1D.2[答案]:D4.对于函数 ,下面叙述正确的是().A.函数连续且一阶导数也连续B.函数连续但一阶导数不连续C.函数不连续但一阶导数连续D.函数不连续且一阶导数也不连续[答案]:B5.下列论述正确的是().A.驻点必是极值点B.极值点必是最值点C.可导的极值点必是驻点D.极值点必是拐点[答案]:C6.下列凑微分正确的是(). B.一定可导C.可能可导D.必无极限[答案]:A36.在区间 内下列函数中无界的是()A.B.C.D.[答案]:A37.曲线y=2 x2+3 x−26在点(3,1)处的切线的斜率 k=()A.3B.1C.15D.0[答案]:C38.设y=sin2x ,则dy=()A.2 sin x cos xB.2 cos xdxC.2 sin xdxD.sin 2 xdx[答案]:D39.设函数f (x )在x0处具有二阶导数,且f'( x0)=0,f' '( x0)<0,则f (x0)为A.最小值B.极小值C.最大值D.极大值 [答案]:D40.函数f （ x ）=x√x −3在[0,3]上符合罗尔定理结论中的 ξ=()A.0B.2C.–2D.12[答案]:B41.∫1eln xxdx=()A.12B.e22−12C.12 e2−12D.–1[答案]:A42.当x →0时,()与x是等价无穷小量.A.x2（ x +1）B.√x+1−√x−1C.12ln （1+x ）D.sin xx2[答案]:B 43.已知f(x)={exx<00 x =02 x+1 x >0,则f （ x ）为()A.当x →0时,极限存在B.当x →0时,极限不存在C.在x=0处,连续D.在x=0处,可导[答案]:A44.设已知函数 ()A.2 sin2 xB.4 cos 2 xC.−2 sin 4 xD.2 sin 4 x[答案]:C45. ()A.—1B.0C.1D.—3[答案]:D46. ()A.2tan5xB.tan5xC.—2tan5xD.—tan5x[答案]:C 47.设f （ x ）为[-α,α]上的连续函数,则定积分∫−aaf （−x ）dx=()A.0B.2∫0af （ x） dxC.−∫−aaf （ x ）dxD.∫−aaf （ x ） dx[答案]:D48.下列函数为奇函数的是()A.sinxB.sinx(cosx)C.sinx2D.sin(1+x2)[答案]:A49.当 x→0 时,下列哪个函数是无穷小量()A.ln(1+x)B.cos(1-x)C.lnxD.x1−x[答案]:C50.设由方程 所确定的隐函数为 则 ()A.−y2 xdxB.y2 xdxC.−yxdxD.yxdx[答案]:A 二、填空题1. ();[答案]:12. ();[答案]:23. ();[答案]:4. ();[答案]:5. ();[答案]:6.已知 ,则 ();[答案]:27.函数 的单调增区间为();[答案]: 8. ();[答案]:9. () ;[答案]:10.微分方程 的通解是().[答案]:11. ();[答案]:212. ();[答案]:13. ();[答案]:14.已知 ,则 ();[答案]:215. (); [答案]:16.微分方程 的通解是().[答案]:17.由曲线 所围成的图形的面积是().[答案]:18.设由方程 所确定的隐函数为y= y( x ),则dy=().[答案]: .19.函数 的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为().[答案]: .20.函数y=x +2cos x在区间[0 ，π2]上的最大值为().[答案]:21. =().[答案]:三、计算题1. [答案]: = ===2.设 ,求[答案]: ====3.[答案]: ,所以= ==4.[答案]:令 ,那么 , ,且 , ,故 =∫01et⋅2t⋅dt=2 2=2(e−et|01)=25.[答案]: = === =6.设 ,求[答案]: = ===7.∫1+ x+arctan x1+x2dx[答案]:∫1+ x+arctan x1+x2dx=∫11+ x2dx +∫x1+x2dx +∫arctan x1+x2dx=arctan x +12∫d(1+x2)1+x2+∫arc tan xd (arctan x )=arctan x +12ln(1+x2)+12(arctan x )2+C8.求微分方程dydx=e− y( x+x3)的通解. [答案]:这是变量分离方程,变量分离 ,两边积分,有 ,即 为原方程的通解.9.求微分方程 的通解.[答案]:(1)方程对应齐次方程 的通解.特征方程为 ,故有特征根 .从而齐次方程的通解为(2)考虑 的特解.因为 不是齐次方程的特征根,所以方程有特解形如其中 为待定系数.将它带入到方程中,有从而 .所以此方程的特解为:(3)原方程的通解.根据非齐次线性微分方程解的结构,方程的通解为:10.已知曲线y= y ( x )满足方程xy−ex+ey=0,试求曲线在点(0,0)处的切线方程.[答案]:在方程两边关于 x 求导,有y +x y'−ex+ey⋅y'=0 A.B.C.D.[答案]:A7.设 是 的一个原函数,则有下面成立的是().A.∫f ( x )dx=F (x )B.∫F ( x )dx=f (x )C.∫f ( x )dx=F (x )+CD.∫F ( x )dx=f (x )+C[答案]:C8.微分方程 的阶数为().A.0B.1C.2D.3[答案]:B9.函数 的定义域是().A.(-1,1]B.[-1,1]C.(-1,2]D.[-1,2][答案]:A10.当 时, 是 的().A.低阶无穷小B.等阶无穷小 所以y'=ex− yey+x,曲线在(0,0)处的切线的斜率k切= y'|(0,0)= 1,故切线方程为y=x.11.计算抛物线 与直线 所围成的图形的面积.[答案]:抛物线与直线相交于点(2,-2,),(8,4),如图所示.选取 y 为积分变量,那么.12.已知曲线y= y ( x )满足方程sin y +x⋅ey=0,试求曲线在点(0,0)处的切线方程.[答案]:在方程两边关于 x 求导,有cos y⋅y'+ey+ x⋅ey⋅y'=0所以y'=−eycos y+x⋅ey,曲线在(0,0)处的切线的斜率k切= y'|(0,0)=−1,故切线方程为y=−x.13.计算抛物线y=x2与y2=x所围成的图形的面积.[答案]:两抛物线与直线相交于点(0,0,),(1,1).选取 x 为积分变量,那么s=∫01(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=13.14.要制作一个容积为 V 的圆柱形带盖铁罐,问圆柱的高 h 和底半径 r 各为多少时,可使所用材料最少?[答案]:设铁罐的表面积为 A,那么由已知可得,因为铁罐的容积为 V,所以 ,即 ,代入上式,得面积和半径的函数关 系为：由 ,得唯一驻点 。根据实际问题,最小值存在,故此驻点一定是最小值点,从而当 , 时铁罐用料最省。15.[答案]:====四、论述题1.当x>0时,x>ln(1+x)[答案]:解法一:利用中值定理.考虑函数 ,显然函数在 上满足拉格朗日中值定理,所以存在 ,使得即 ,因为 ,所以x当 >0时， x >ln (1+x )成立.解法二:利用函数的单调性.考虑函数 ,那么 当 ,所以 单调递增.从而.命题得证.2.当x>0时,ex>1+x.[答案]:解法一:利用中值定理.考虑函数 ,显然函数在 上满足拉格朗日中值定理,所以存在 ,使得即 ,因为 ,所以当x>0时,ex>1+x成立.解法二:利用函数的单调性.考虑函数 ,那么当 ,所以 单调递增.从而.命题得证.3. 设 函 数f (x )在[a , b]上 连 续 , 在(a , b)内 可 导 , 且 , 试 证 存 在ξ , η∈(a , b),使得[答案]:设 ,则,即 .又因为存在 ,使得所以 ,即结论成立. C.同阶但不等阶无穷小D.高阶无穷小[答案]:D11.函数 在 点().A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续但可导D.不连续且不可导[答案]:B12.设 是 的一个原函数,则有下面成立的是().A.d[∫abf ( x )dx]=f (x )dxB.ddx[∫f (x )dx]=f ( x )+cC.d[∫axf ( x )dx]= f (x )dxD.ddx[∫axf (x )dx]= f (x )+c[答案]:C13.下列那一项不是常微分方程().A.B.C.D.[答案]:B14.设 ,则 是 的().A.可去间断点 B.跳跃间断点C.振荡间断点D.连续点[答案]:D15.设,则当 时,下列结论正确的是().A.f (x ) x与 是等价无穷小B.f (x ) x与 同阶但非等价无穷小C.f (x )是比 x 高阶的无穷小D.f (x )是比 x 低阶的无穷小[答案]:B16. ().A.不存在B.0C.D.π[答案]:C17.设 具有二阶连续导数,且, ,则下列叙述正确的是().A.是( )f x的极大值B.是( )f x的极小值C.(0)f不是( )f x的极值D.(0)f是( )f x的最小值[答案]:A18.曲线 的全长为().A.1B.2C.3D.4[答案]:D 19.当 为何值时,点(1,3)为曲线 的拐点?().A. ,B. ,C. ,D. ,[答案]:A20.曲线 的凸区间为().A.B.C.D.[答案]:D21. 等于()A.0B.∞C.mD.m2 [答案]:D22.设f (x )在x0处连续,则下列命题正确的是()A.limx → x0f ( x )可能不存在B.limx → x0f ( x )存在,但不一定等于f (x0)C.limx → x0f ( x )必定存在,且等于f (x0)D.f (x0)在点x0必定可导[答案]:C23.设y=2−x,则y'等于()A.2− xB.− 2− xC.2− xln 2D.−2− xln 2[答案]:D24.下列关系中正确的是()A.B.ddx∫axf (t )dt= f ( x)C. D.∫abf'( x )dx= f ( x )+C[答案]:B25.设f (x )为连续的奇函数,则∫−aaf ( x )dx等于()A.2 af ( x )B.2∫0af ( x )dxC.0D.f (a)−f (−a )[答案]:C26.设f (x )在[0,1 ]上连 续 ,在(0,1)内可 导 ,且f (0)=f (1 ),则在(0,1)内曲 线y=f ( x )的所有切线中()A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴[答案]:A27. 等于()A.B.C. D.[答案]:B28.设z= y sin x,则∂2z∂ x ∂ y等于()A.−cos xB.− y cos xC.cos xD.y cos x[答案]:C29.方程y''−3 y'+2 y=xe2 x的待定特解应取()A.Axe2 xB.( Ax +B )e2 xC.Ax2e2 xD.x ( Ax+B )e2 x[答案]:D30.如果∑i=1∞un收敛,则下列命题正确的是()A.limn→∞un可能不存在B.limn→∞un必定不存在C.limn→∞un存在,但limn→∞un≠0 D.limn→∞un=0[答案]:D31.设函数 ,则 等于()A.B.C.D.[答案]:C32.设 是二阶线性常系数微分方程 的两个特解,则 ()A.是所给方程的解,但不是通解B.是所给方程的解,但不一定是通解C.是所给方程的通解D.不是所给方程的通解[答案]:B33.当 时, 与 比较是()A. 是 高阶的无穷小量B. 是 低阶的无穷小量C. 与 是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量D. 与 是等价无穷小量[答案]:D34.设幂级数 在 处收敛,则该级数在 处必定()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定[答案]:C35.若 f(x)在 x=x0 处不连续,则 f(x)在该点处().A.必不可导