用积分法求梁的变形

发布时间:2024-02-04 20:02:28浏览次数:14
用积分法求梁的变形一 、 挠度和转角梁在平面弯曲的情况下,其轴线为一光滑连续的平面曲线,称为挠曲线。由图可见,梁变形后任一横截面将产生两种位移:( 1 )挠度。梁任一横截面的形心沿 y 轴方向的线位移 ,称为该截面的挠度,通常用 y 表示,并以向下为正。其单位用 mm 或 m。( 2 )转角。梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度,称为该截面的转角,用 表示,并以顺时针转动为正。单位为弧度(rad)。梁的挠曲线可用方程 y=f (x)来表示,称为梁的挠曲线方程。截面转角 就等于挠曲线在该处的切线与 x 轴的夹角。挠曲线上任意一点处的斜率为。于是上式可写成 。二、梁的挠曲线近似微分方程略去了剪力对梁弯曲变形的影响,并且在推导过程中略去了高阶微量,曲率采用近似的公式,所以称为梁的挠曲线近似微分方程。对此微分方程求解,即可得到挠度方程和转角方程。三、积分法计算梁的位移对等截面梁,便得到梁的转角和挠度方程。这种应用两次积分法求出挠曲线方程的方法称为积分法。方程中的积分常数可通过挠曲线上已知的位移条件(通常称之为边界条件)来确定。四、用叠加法求挠度和转角所谓叠加法,就是首先将梁上所承受的复杂荷载分解为几种简单荷载,然后分别计算梁在每种简单荷载单独作用下产生的位移,最后,再将这些位移代数相加。由于梁在各种简单荷载作用下计算位移的公式均有表可查,因而用叠加法计算梁的位移就比较简单。例 如图(a)所示的悬臂梁。求自由端 A 截面的挠度和转角。 解:梁的变形分为两段。 BC 段相当于跨度为 a 的悬臂梁截面 C 的挠度和转角可由表 9-3 查得  五、梁的刚度校核土建工程中常以允许的挠度与梁跨长的比值 作为校核的标准。梁的刚度条件可写为: 梁应同时满足强度条件和刚度条件,但在一般情况下,强度条件起控制作用。故应在设计梁时,一般先由强度条件选择截面或确定许用荷载,再按刚度条件校核,若不满足,则需按刚度条件重新设计。例如图 (a)所示的一矩形截面悬臂梁,q=10kN/m, 3m,容许单位跨度内的挠度值 ,材料的许用应力 ,弹性模量 ,截面尺寸比 h / b=2 。试确定截面尺寸 h、b。解:该梁既要满足强度条件,又要满足刚度条件,这时可分别按强度条件和刚度条件来设计截面尺寸,取其较大者。 ( 1 )按强度条件 设计截面尺寸。弯矩图如图( b )所示。最大弯矩、抗弯截面系数分别为: 把 M 及 代人强度条件,得( 2 )按刚度条件 设计截面尺寸。又 把 及 代人刚度条件,得:( 3 )所要求的截面尺寸按大者选取,即 h = 356 mm , b=178mm。另外,工程上截面尺寸应符合模数要求,取整数即 h = 360mm, b = 180mm。
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