2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 C 卷）一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）如果 ＝ （其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（　　）A．1243 B．1343 C．4025 D．40292．（10 分）甲、乙、丙三位同学都把 25 克糖放入 100 克水中混合变成糖水，然后他们又分别做了以下事情：最终，（　　）得到的糖水嘴甜．A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙3．（10 分）一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（　　）分钟．A．22 B．20 C．17 D．164．（10 分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2α×3β×5γ，其中 α、β、γ 是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ 的最小值是（　　）A．10 B．17 C．23 D．315．（10 分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（　　）个三角形．A．9 B．10 C．11 D．126．（10 分）从 1～11 这 11 个整数中任意取出 6 个数，则下面结论正确的共（　　）个．①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）有四个人去书店买书，每人买了 4 本不同的书，且每两个人恰有 2 本书相同，那么这 4 个人至少买了　 　种书．8．（10 分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为 3：2：4，那么小明上学与放学回家所用的时间比是　 　． 9．（10 分）黑板上有 11 个 1，22 个 2，33 个 3，44 个 4，做以下操作：每次擦掉 3 个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写 2 个．例如：某次操作擦掉 1 个 1，1 个 2，1 个 3，那就在写上 2 个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下 3 个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是　 　．10．（10 分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的 8 个三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面积是　 　．2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）如果 ＝ （其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（　　）A．1243 B．1343 C．4025 D．4029【分析】 ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．【解答】解： ＝ ＝ ＝ ，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．故选：B．2．（10 分）甲、乙、丙三位同学都把 25 克糖放入 100 克水中混合变成糖水，然后他们又分别做了以下事情：最终，（　　）得到的糖水嘴甜．A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【分析】此题首先理解含糖率，含糖率＝ ×100%，然后分别求出三人的含糖率进行比较即可．【解答】解：甲的含糖率：50×20%＝10（克），×100%＝ ×100%＝20%； 乙的含糖率： ×100%＝ ×100%≈25.7%；丙的含糖率：100× ＝40（克），×100%＝ ≈28.9%，答：最终丙得到的糖水嘴甜．故选：C．3．（10 分）一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（　　）分钟．A．22 B．20 C．17 D．16【分析】下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的 3 倍；爬 1 米和滑 1 米的时间相同，以爬 3 米，滑 1 米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17 米，即 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m或滑 1m所用时间为 1 分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2；解答即可．【解答】解：以爬 3 米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬了 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m或滑 1m所用时间为 1 分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2＝22 分钟；故选：A．4．（10 分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2α×3β×5γ，其中 α、β、γ 是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ 的最小值是（　　）A．10 B．17 C．23 D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ 是 2 的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ 是 3 的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1 是 5 的倍数；要α+β+γ 的值最小，分别求满足条件的 α、β、γ 值，然后求出 α+β+γ 的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ 是 2 的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ 是 3 的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1 是 5 的倍数；要 α+β+γ 的值最小，分别求满足条件的 α、β、γ 值：3×5﹣1 是 2 的倍数，α 的最小值为15，2×3﹣1 是 5 的倍数，γ 的最小值为 6，2×5﹣1 是 3 的倍数，β 的最小值为 10，所以 α+β+γ 的最小值是：15+6+10＝31；故选：D．5．（10 分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（　　）个三角形．A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】把所有的情况都画出来然后通过比较找出三角形最多的图形，所有的图如下：【解答】解：根据题干分析，观察画出的图形可得，第 7 个图形中的三角形最多，有 11 个．故选：C．6．（10 分）从 1～11 这 11 个整数中任意取出 6 个数，则下面结论正确的共（　　）个．①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】①根据互质数的意义，公因数只有 1 的两个数叫做互质数，在这 11 个中，质数有2、3、5、7、11，任何两个质数一定是互质数，又因为在这 11 个数中偶数有 2、4、6、8、10 五个，奇数有六个，所以任意取出 6 个数，其中必有两个数互质．②比如取 5 个偶数一个奇数，在这 5 个偶数中 4、6、8、10 都是 2 的倍数，如果取1、3、5、7、9、11，其中 9 是 3 的倍数；如果取 6、7、8、9、10、11，就没有倍数关系；③比如 1 的 2 倍是 2，2 是 2 的倍数，2 的 2 倍是 4，4 是 4 的倍数．据此解答．【解答】解：根据上面的分析可知：从 1～11 这 11 个整数中任意取出 6 个数，①其中必有两个数互质；此说法正确．③其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数．此说法正确．故选：B．二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）有四个人去书店买书，每人买了 4 本不同的书，且每两个人恰有 2 本书相同，那么这 4 个人至少买了　 7 　 种书．【分析】从简单的性质思考：若只有两个人，为符合题意，一定有 6 本不同的书，给这 6 本书编号：1、2、3、4、5、6．设甲买的是 1、2、3、4，乙买的是 1、2、5、6．这时丙来了．为符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为 3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三个人只买6 本书时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书，为了使问题好理解，列表格解答（见解答部分）．【解答】解：若只有两个人，为符合题意，一定有 6 本不同的书，给这 6 本书编号为1、2、3、4、5、6．设甲买的是 1、2、3、4，乙买的是 1、2、5、6．这时丙来了．为符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为 3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三个人只买 6本书时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书，列表格：1 2 3 4 5 6甲 √ √ √ √乙 √ √ √ √丙 √ √ √ √这时丁来了，站在丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书，所以 4 个人的时候至少是 7 本．即甲买的书编号为（1、2、3、4），则乙买的书编号为（1、2、5、6），丙买的书编号为（3、4、5、6），丁可以买（1、3、5、7）．因此 4 个人的时候至少买（1、2、3、4、5、6、7）， 即 7 种书．故答案为：7．8．（10 分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为 3：2：4，那么小明上学与放学回家所用的时间比是　 19 ： 16 　 ．【分析】假设一段平路AB的路程是y、一段上坡路BC是 2y和一段下坡路CD是y，平路、上坡路、下坡路上的速度分别为 3x，2x，4x，然后运用路程速度时间之间的关系求出上学与放学回家所用的时间比．【解答】解：上学用的时间；+ ，＝ ，＝ ；放学用的时间；+ + ，＝ ，＝ ，小明上学与放学回家所用的时间比是：： ，＝ ，＝19：16；答：小明上学与放学回家所用的时间比是 19：16．故答案为：19：16．9．（10 分）黑板上有 11 个 1，22 个 2，33 个 3，44 个 4，做以下操作：每次擦掉 3 个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写 2 个．例如：某次操作擦掉 1 个 1，1 个 2，1 个 3，那就在写上 2 个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下 3 个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是　 12 　 ．【分析】本题属于操作问题，倒推最简单情况，黑板上只剩下 3 个数字，而且无法按规定继续进行操作，只有两种情况 2 个a，一个b，或 3 个a．我们根据规则进行操作，当剩下 3 个数字，无法继续进行操作，问题得解．【解答】解：本题列表推理如下： 1 2 3 4 11 22 33 44 33 11 22 33 22 33 11 22 11 22 33 11 0 11 22 33 22 0 11 22 11 22 0 115 16 12 5 0 11 7 15 14 4 0 8 10 0 8 4 6 8 4 0 2 4 0 8 0 2 4 6 4 0 2 4 2 4 0 2 1 3 2 1 3 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0最后剩下了 2 个 2，一个 3，它们的积是：2×2×3＝12；故答案为：12．10．（10 分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的 8 个三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面积是　 64 　 ．【分析】如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC于N．设正方形面积为“1”，则正方形边长为 1，根据正方形ABCD被分成了面积相同的 8 个三角形，可求出BI、HA的长度，再根据四边形FGHI是平行四边形，求出FG、GO、GM的长度，在直角三角形GMD中，根据勾股定理求出DG的长度，最后根据如果DG＝5，求出正方形的边长，最后算出面积． 【解答】解：如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC于N．设正方形面积为“1”，则正方形边长为 1，图中每个小三角形的面积都是 ，所以BI＝HA＝ ，又因为四边形FGHI是平行四边形，所以HI＝FG＝ ，GO＝GM＝ ，FN＝ ，在直角三角形GMD中，MG＝ ，MD5＝1﹣ ﹣ ＝ ，根据勾股定理DG＝ ＝ ，所以正方形的边长是 5÷ ＝8，正方形面积＝8×8＝64．故答案为：64．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:55:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800